Risoluzione di equazioni irrazionali

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Risolvi: $\sqrt{x} = 4$
1. a) $x = 8$
2. b) $x = 16$
3. c) $x = 4$
4. d) $x = 2$
Risposta: $x = 16$
Eleva al quadrato entrambi i membri: $(\sqrt{x})^2 = 4^2$ , quindi $x = 16$ . Verifica: $\sqrt{16} = 4$ ✓
2.
Risolvi: $\sqrt{x} = 7$
Risposta: 49
Eleva al quadrato: $x = 7^2 = 49$ . Verifica: $\sqrt{49} = 7$ ✓
3.
Qual è la soluzione di $\sqrt{x} = -5$ ?
1. a) $x = -25$
2. b) $x = 25$
3. c) $x = -5$
4. d)Nessuna soluzione
Risposta: Nessuna soluzione
La radice quadrata aritmetica è sempre non negativa. Poiché $\sqrt{x} \geq 0$ per ogni $x$ reale, non c'è soluzione.
4.
Risolvi: $\sqrt{x + 1} = 5$
Risposta: 24
1. Eleva al quadrato entrambi i membri. Quanto fa $5^2$ ? 25
2. Ora abbiamo $x + 1 = 25$ . Ricava $x$ . 24
3. Verifica: Quanto fa $\sqrt{24 + 1}$ ? 5
5.
Risolvi: $\sqrt{x - 3} = 6$
Risposta: 39
Al quadrato: $x - 3 = 36$ . Aggiungi 3: $x = 39$ . Verifica: $\sqrt{39 - 3} = \sqrt{36} = 6$ ✓
6.
Risolvi: $\sqrt{2x + 1} = 5$
Risposta: 12
1. Eleva al quadrato. Quanto fa $5^2$ ? 25
2. Abbiamo $2x + 1 = 25$ . Sottrai 1 da entrambi i lati. 24
3. Ora $2x = 24$ . Dividi per 2. 12
7.
Risolvi: $\sqrt{x} + 3 = 7$
1. a) $x = 49$
2. b) $x = 16$
3. c) $x = 4$
4. d) $x = 10$
Risposta: $x = 16$
Isolare: $\sqrt{x} = 4$ . Al quadrato: $x = 16$ . Verifica: $\sqrt{16} + 3 = 4 + 3 = 7$ ✓
8.
Risolvi: $\sqrt{3x - 2} = 4$
Risposta: 6
Al quadrato: $3x - 2 = 16$ . Aggiungi 2: $3x = 18$ . Dividi per 3: $x = 6$ . Verifica: $\sqrt{3(6) - 2} = \sqrt{16} = 4$ ✓
9.
Risolvi: $\sqrt{x - 5} - 2 = 1$
Risposta: 14
1. Prima, isola il radicale. Aggiungi 2 a entrambi i lati. Quanto vale $\sqrt{x - 5}$ ? 3
2. Eleva al quadrato. Quanto fa $3^2$ ? 9
3. Aggiungi 5 a entrambi i lati. Quanto vale $x$ ? 14
10.
Risolvi: $2\sqrt{x} = 10$
1. a) $x = 25$
2. b) $x = 50$
3. c) $x = 5$
4. d) $x = 100$
Risposta: $x = 25$
Dividi per 2: $\sqrt{x} = 5$ . Al quadrato: $x = 25$ . Verifica: $2\sqrt{25} = 2(5) = 10$ ✓
11.
Risolvi: $\sqrt{x + 7} = x - 5$ . Inserisci tutte le soluzioni valide.
Risposta: 9
Al quadrato: $x + 7 = x^2 - 10x + 25$ . Riorganizza: $x^2 - 11x + 18 = 0$ . Fattorizza: $(x-9)(x-2) = 0$ . Soluzioni: $x = 9$ o $x = 2$ . Verifica $x = 9$ : $\sqrt{16} = 4$ e $9 - 5 = 4$ ✓. Verifica $x = 2$ : $\sqrt{9} = 3$ ma $2 - 5 = -3$ ✗. Solo $x = 9$ è valida.
12.
Risolvi: $\sqrt{x + 3} = x - 3$
Risposta: 6
1. Eleva al quadrato. Il lato sinistro diventa $x + 3$ . Cosa dà $(x-3)^2$ ? x^2-6x+9
2. Abbiamo $x + 3 = x^2 - 6x + 9$ . Porta tutti i termini in un membro e scrivi l'intera equazione nella forma $x^2 + bx + c = 0$ . x^2-7x+6=0
3. Fattorizza: $x^2 - 7x + 6 = (x - ?)(x - ?)$ . Quali sono i due numeri? 6,1
4. Verifica $x = 6$ : È $\sqrt{6+3} = 6-3$ ? Quanto fa $\sqrt{9}$ ? 3
5. Verifica $x = 1$ : il membro sinistro vale $\sqrt{1+3} = 2$ . Quanto vale il membro destro, $1 - 3$ ? -2
13.
Risolvi: $\sqrt{2x + 5} = x - 5$ . Quante soluzioni valide ci sono?
1. a)Nessuna
2. b)Una: $x = 10$
3. c)Una: $x = 2$
4. d)Due: $x = 10$ e $x = 2$
Risposta: Una: $x = 10$
Al quadrato: $2x + 5 = x^2 - 10x + 25$ . Riorganizza: $x^2 - 12x + 20 = 0$ . Fattorizza: $(x-10)(x-2) = 0$ . Verifica $x = 10$ : $\sqrt{25} = 5 = 10-5$ ✓. Verifica $x = 2$ : $\sqrt{9} = 3$ ma $2-5 = -3$ ✗. Solo $x = 10$ è valida.
14.
Risolvi: $\sqrt{x - 1} = x - 7$
Risposta: 10
1. Prima di elevare al quadrato: è richiesto $x - 7 \geq 0$ . Qual è il valore minimo di $x$ ? 7
2. Eleva al quadrato. A che cosa è uguale $(x-7)^2$ ? x^2-14x+49
3. Abbiamo $x - 1 = x^2 - 14x + 49$ . Porta tutti i termini in un membro e scrivi l'intera equazione nella forma $x^2 + bx + c = 0$ . x^2-15x+50=0
4. Fattorizza: $(x-10)(x-5) = 0$ . Quale soluzione soddisfa $x \geq 7$ ? 10
5. Verifica $x = 10$ : $\sqrt{10-1} = \sqrt{9} = ?$ 3
15.
Risolvi: $\sqrt{x + 2} + 4 = x$ . Inserisci tutte le soluzioni valide.
Risposta: 7
Isolare: $\sqrt{x + 2} = x - 4$ . Al quadrato: $x + 2 = x^2 - 8x + 16$ . Riordina: $x^2 - 9x + 14 = 0$ . Scomponi: $(x - 7)(x - 2) = 0$ , quindi $x = 7$ o $x = 2$ . Verifica $x = 7$ : $\sqrt{9} + 4 = 3 + 4 = 7$ ✓. Verifica $x = 2$ : $\sqrt{4} + 4 = 6 \neq 2$ ✗. Solo $x = 7$ è valida.
16.
Un pendolo ha periodo $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9{,}8}}$ secondi. Se il periodo è 2 secondi, trova la lunghezza $L$ in metri (arrotonda a 1 decimale).
Risposta: 1.0
1. Sostituisci $T = 2$ : $2 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9{,}8}}$ . Dividi entrambi i membri per $2\pi$ . Quanto vale $\sqrt{\frac{L}{9{,}8}}$ , arrotondato a 3 decimali? 0.318
2. Eleva al quadrato entrambi i membri. Quanto vale $\frac{L}{9{,}8}$ , arrotondato a 3 decimali? 0.101
3. Moltiplica per 9,8. Quanto vale $L$ circa? ( $\pi^2 \approx 9{,}87$ ) 1.0