Coefficienti già opposti

Risolvi il sistema: $$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - 2y = 1 \end{cases}$$

Identifica coefficienti opposti: I coefficienti di $y$ sono $+2$ e $-2$ - sono opposti! = Pronto per sommare

Somma le equazioni: $(x + 2y) + (x - 2y) = 7 + 1$ $2x + 0y = 8$ = $2x = 8$

Risolvi per $x$: $2x = 8$ $x = 4$ = $x = 4$

Sostituisci per trovare $y$: $4 + 2y = 7$ $2y = 3$ $y = 1,5$ = $y = 1,5$

Verifica la soluzione: Equazione 1: $4 + 2(1,5) = 4 + 3 = 7$ ✓ Equazione 2: $4 - 2(1,5) = 4 - 3 = 1$ ✓ = Entrambe le equazioni soddisfatte

Answer: La soluzione è $(4; 1,5)$

Moltiplicare per creare opposti

Risolvi il sistema: $$\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x + y = 6 \end{cases}$$

Scegli una variabile da eliminare: Eliminiamo $y$. I coefficienti di $y$ devono diventare opposti. = Obiettivo: eliminare $y$

Moltiplica l'equazione 2 per $-2$: $-2(x + y) = -2(6)$ $-2x - 2y = -12$ = Nuova equazione 2: $-2x - 2y = -12$

Somma le equazioni: $(3x + 2y) + (-2x - 2y) = 16 + (-12)$ $x + 0y = 4$ = $x = 4$

Sostituisci per trovare $y$: $4 + y = 6$ $y = 2$ = $y = 2$

Verifica la soluzione: Equazione 1: $3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16$ ✓ Equazione 2: $4 + 2 = 6$ ✓ = Entrambe le equazioni soddisfatte

Answer: La soluzione è $(4; 2)$

Moltiplicare entrambe le equazioni

Risolvi il sistema: $$\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}$$

Scegli una variabile da eliminare: Eliminiamo $x$. Coefficienti attuali: $2$ e $3$. Il mcm è $6$. = Servono coefficienti $6$ e $-6$

Moltiplica l'equazione 1 per $3$: $3(2x + 3y) = 3(13)$ $6x + 9y = 39$ = $6x + 9y = 39$

Moltiplica l'equazione 2 per $-2$: $-2(3x + 2y) = -2(12)$ $-6x - 4y = -24$ = $-6x - 4y = -24$

Somma le equazioni: $(6x + 9y) + (-6x - 4y) = 39 + (-24)$ $5y = 15$ = $y = 3$

Sostituisci per trovare $x$: $2x + 3(3) = 13$ $2x + 9 = 13$ $2x = 4$ $x = 2$ = $x = 2$

Verifica la soluzione: Equazione 1: $2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13$ ✓ Equazione 2: $3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12$ ✓ = Entrambe le equazioni soddisfatte

Answer: La soluzione è $(2; 3)$

Mistake: Dimenticare di moltiplicare l'intera equazione

Why: Quando moltiplichi per creare coefficienti opposti, ogni termine deve essere moltiplicato, inclusa la costante a destra.

Correct: Se moltiplichi $x + 2y = 5$ per $3$, ottieni $3x + 6y = 15$, non $3x + 6y = 5$.

Mistake: Sommare quando dovresti sottrarre (o viceversa)

Why: Perché l'eliminazione funzioni, i coefficienti devono essere veramente opposti (come $+3$ e $-3$). Se sono uguali, devi sottrarre.

Correct: Stessi segni: sottrai le equazioni. Segni opposti: somma le equazioni.

Mistake: Non verificare la soluzione in entrambe le equazioni

Why: Una soluzione deve soddisfare entrambe le equazioni originali. Verificare solo un'equazione può far sfuggire errori.

Correct: Sostituisci sempre la tua risposta in ENTRAMBE le equazioni originali per verificare.

Vendita di biglietti per concerti

Gli organizzatori di eventi usano sistemi di equazioni per analizzare le vendite di biglietti quando categorie diverse hanno prezzi diversi.

Un concerto ha venduto 500 biglietti in totale. I biglietti VIP costano 80 euro e i biglietti normali 40 euro. Il ricavo totale è stato 28.000 euro. Quanti di ogni tipo sono stati venduti?

Chimica: bilanciare miscele

I chimici usano l'eliminazione per determinare quanto di ogni soluzione mescolare per ottenere una concentrazione desiderata.

Una chimica ha bisogno di 100 mL di una soluzione acida al 30%. Ha disponibili soluzioni acide al 20% e al 50%. Quanto di ognuna deve mescolare?

Q: Quando devo usare l'eliminazione invece della sostituzione?

A: Usa l'eliminazione quando: (1) i coefficienti sono già opposti o uguali, (2) nessuna equazione è già risolta per una variabile, o (3) la sostituzione creerebbe frazioni complicate. Usa la sostituzione quando un'equazione è già risolta per una variabile (come $y = 3x + 2$).

Q: Cosa succede se entrambe le variabili vengono eliminate?

A: Se ottieni un'affermazione vera come $0 = 0$, il sistema ha infinite soluzioni (le rette sono coincidenti). Se ottieni un'affermazione falsa come $0 = 5$, il sistema non ha soluzione (le rette sono parallele).

Q: Importa quale variabile elimino prima?

A: No! Otterrai la stessa risposta in ogni caso. Scegli la variabile che richiede la moltiplicazione più semplice per creare coefficienti opposti.