Metodo di eliminazione

Impara a risolvere sistemi di equazioni eliminando una variabile attraverso addizione o sottrazione.

Intermedio25 minLezione

Definizione

Il metodo di eliminazione (chiamato anche metodo di addizione) risolve sistemi di equazioni sommando o sottraendo le equazioni per eliminare una variabile.

Idea chiave: Quando sommiamo due equazioni, possiamo far sparire una variabile se i suoi coefficienti sono opposti.

Sommando queste equazioni:

I termini in ( e ) sono opposti, quindi si annullano quando sommiamo!

Prova subito

Quale sistema è pronto per l'eliminazione per addizione (senza moltiplicazione)?

Esempi svolti

Risolvi il sistema:

Identifica coefficienti opposti

I coefficienti di sono e - sono opposti! → Pronto per sommare

Somma le equazioni

→

Risolvi per

→

Sostituisci per trovare

→

Verifica la soluzione

Equazione 1: ✓ Equazione 2: ✓ → Entrambe le equazioni soddisfatte

Risposta: La soluzione è

Errori comuni

Dimenticare di moltiplicare l'intera equazione

Perché è sbagliato: Quando moltiplichi per creare coefficienti opposti, ogni termine deve essere moltiplicato, inclusa la costante a destra.

Corretto: Se moltiplichi per , ottieni , non .

Sommare quando dovresti sottrarre (o viceversa)

Perché è sbagliato: Perché l'eliminazione funzioni, i coefficienti devono essere veramente opposti (come e ). Se sono uguali, devi sottrarre.

Corretto: Stessi segni: sottrai le equazioni. Segni opposti: somma le equazioni.

Non verificare la soluzione in entrambe le equazioni

Perché è sbagliato: Una soluzione deve soddisfare entrambe le equazioni originali. Verificare solo un'equazione può far sfuggire errori.

Corretto: Sostituisci sempre la tua risposta in ENTRAMBE le equazioni originali per verificare.

Visuale interattivo

Risolutore di equazioni

Pronto a risolvere equazioni?

Tipo di equazione:

Segui mentre risolviamo l'equazione passo dopo passo.

Esplora funzioni lineari

y = x

Pendenza (m)1

Intercetta Y (b)0

corsa

salita

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

Prova questi esempi:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

16 esercizi

Problema 1 di 16

Facile

Quale sistema è pronto per l'eliminazione per addizione (senza moltiplicazione)?

Perché è importante

Il metodo di eliminazione è potente perché:

Efficiente per certi sistemi: Quando i coefficienti sono già opposti o uguali, l'eliminazione è più veloce della sostituzione
Nessuna frazione necessaria: Spesso evita frazioni complicate che la sostituzione crea
Base per matematica avanzata: Le operazioni con matrici in algebra lineare usano lo stesso concetto
Applicazioni reali: Gli ingegneri usano sistemi di equazioni per analizzare circuiti, bilanciare equazioni chimiche e ottimizzare risorse

Scegliere tra sostituzione ed eliminazione è come scegliere lo strumento giusto per un lavoro - entrambi funzionano, ma uno può essere più facile per un problema particolare.

Applicazioni nel mondo reale

Vendita di biglietti per concerti

Gli organizzatori di eventi usano sistemi di equazioni per analizzare le vendite di biglietti quando categorie diverse hanno prezzi diversi.

Esempio:

Un concerto ha venduto 500 biglietti in totale. I biglietti VIP costano 80 euro e i biglietti normali 40 euro. Il ricavo totale è stato 28.000 euro. Quanti di ogni tipo sono stati venduti?

1Provaci tu stesso

Sia = biglietti VIP e = biglietti normali. Sistema: (totale biglietti) (ricavo totale)

Quanti biglietti VIP sono stati venduti?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica la prima equazione per e somma per eliminare :

Chimica: bilanciare miscele

I chimici usano l'eliminazione per determinare quanto di ogni soluzione mescolare per ottenere una concentrazione desiderata.

Esempio:

Una chimica ha bisogno di 100 mL di una soluzione acida al 30%. Ha disponibili soluzioni acide al 20% e al 50%. Quanto di ognuna deve mescolare?

2Provaci tu stesso

Sia = mL di soluzione al 20% e = mL di soluzione al 50%. Sistema: (volume totale) (quantità di acido: mL)

Quanti mL di soluzione al 50% servono?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica la prima equazione per e somma:

Punti chiave

1Il metodo di eliminazione elimina una variabile sommando o sottraendo equazioni
2Se i coefficienti sono già opposti, somma le equazioni direttamente
3Se i coefficienti sono uguali, sottrai le equazioni
4Se nessuno dei due casi, moltiplica una o entrambe le equazioni per creare coefficienti opposti
5Verifica sempre la tua soluzione sostituendola in entrambe le equazioni originali

Domande frequenti

Usa l'eliminazione quando: (1) i coefficienti sono già opposti o uguali, (2) nessuna equazione è già risolta per una variabile, o (3) la sostituzione creerebbe frazioni complicate. Usa la sostituzione quando un'equazione è già risolta per una variabile (come ).

Glossario

Metodo di eliminazione: Una tecnica per risolvere sistemi di equazioni sommando o sottraendo equazioni per eliminare una variabile
Coefficienti opposti: Coefficienti che sommati danno zero, come e
mcm (Minimo Comune Multiplo): Il numero più piccolo che è multiplo di entrambi i coefficienti; usato per trovare i moltiplicatori necessari per creare coefficienti opposti
Verificare: Controllare che una soluzione soddisfi entrambe le equazioni originali

Scheda formule

Strategia di eliminazione

Decidi se sommare o sottrarre in base ai coefficienti

Creare opposti

Usa il mcm per trovare i moltiplicatori

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