Metodo di eliminazione

Impara a risolvere sistemi di equazioni eliminando una variabile attraverso addizione o sottrazione.

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Definizione

Il metodo di eliminazione (chiamato anche metodo di addizione) risolve sistemi di equazioni sommando o sottraendo le equazioni per eliminare una variabile.
Idea chiave: Quando sommiamo due equazioni, possiamo far sparire una variabile se i suoi coefficienti sono opposti.
{2x+3y=122x−3y=0\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 2x - 3y = 0 \end{cases}
Sommando queste equazioni:
4x+0y=124x + 0y = 12
x=3x = 3
I termini in yy (+3y+3y e −3y-3y) sono opposti, quindi si annullano quando sommiamo!

Prova subito

Quale sistema è pronto per l'eliminazione per addizione (senza moltiplicazione)?

Esempi svolti

Risolvi il sistema:
{x+2y=7x−2y=1\begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - 2y = 1 \end{cases}
1

Identifica coefficienti opposti

I coefficienti di yy sono +2+2 e −2-2 - sono opposti! → Pronto per sommare
2

Somma le equazioni

(x+2y)+(x−2y)=7+1(x + 2y) + (x - 2y) = 7 + 1 2x+0y=82x + 0y = 8 → 2x=82x = 8
3

Risolvi per xx

2x=82x = 8 x=4x = 4
4

Sostituisci per trovare yy

4+2y=74 + 2y = 7 2y=32y = 3 y=1,5y = 1,5
5

Verifica la soluzione

Equazione 1: 4+2(1,5)=4+3=74 + 2(1,5) = 4 + 3 = 7 ✓ Equazione 2: 4−2(1,5)=4−3=14 - 2(1,5) = 4 - 3 = 1 ✓ → Entrambe le equazioni soddisfatte

Errori comuni

Dimenticare di moltiplicare l'intera equazione

Perché è sbagliato: Quando moltiplichi per creare coefficienti opposti, ogni termine deve essere moltiplicato, inclusa la costante a destra.

Corretto: Se moltiplichi x+2y=5x + 2y = 5 per 33, ottieni 3x+6y=153x + 6y = 15, non 3x+6y=53x + 6y = 5.

Sommare quando dovresti sottrarre (o viceversa)

Perché è sbagliato: Perché l'eliminazione funzioni, i coefficienti devono essere veramente opposti (come +3+3 e −3-3). Se sono uguali, devi sottrarre.

Corretto: Stessi segni: sottrai le equazioni. Segni opposti: somma le equazioni.

Non verificare la soluzione in entrambe le equazioni

Perché è sbagliato: Una soluzione deve soddisfare entrambe le equazioni originali. Verificare solo un'equazione può far sfuggire errori.

Corretto: Sostituisci sempre la tua risposta in ENTRAMBE le equazioni originali per verificare.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

-2024680510xy(4; 2)

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

3x + 2y = 16x + y = 6
  • Punto di intersezione: (4; 2)

Risolutore di equazioni

Risolvi per x,yx, y:

(1)x+2y=7(2)x−2y=1\begin{aligned} (1)\quad x + 2y &= 7 \\ (2)\quad x - 2y &= 1 \end{aligned}
1
(1)x+2y=7(2)x−2y=1\begin{aligned} (1)\quad x + 2y &= 7 \\ (2)\quad x - 2y &= 1 \end{aligned}
Sottrai l'equazione (2) dall'equazione (1)I termini in xx si annullano

Suggerimenti:

  • • Quello che fai da un lato, fallo dall'altro
  • • Annulla le operazioni in ordine inverso
  • • Verifica la risposta sostituendo

Segui mentre risolviamo l'equazione passo dopo passo.

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-10-50510-10-50510xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = (16 - 3x)/2

m=-1,5, b=8

y = 6 - x

m=-1, b=6

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

16 esercizi
Problema 1 di 16
Facile
Quale sistema è pronto per l'eliminazione per addizione (senza moltiplicazione)?

Perché è importante

Il metodo di eliminazione è potente perché:
  • Efficiente per certi sistemi: Quando i coefficienti sono già opposti o uguali, l'eliminazione è più veloce della sostituzione
  • Nessuna frazione necessaria: Spesso evita frazioni complicate che la sostituzione crea
  • Base per matematica avanzata: Le operazioni con matrici in algebra lineare usano lo stesso concetto
  • Applicazioni reali: Gli ingegneri usano sistemi di equazioni per analizzare circuiti, bilanciare equazioni chimiche e ottimizzare risorse
Scegliere tra sostituzione ed eliminazione è come scegliere lo strumento giusto per un lavoro - entrambi funzionano, ma uno può essere più facile per un problema particolare.

Applicazioni nel mondo reale

Vendita di biglietti per concerti

Gli organizzatori di eventi usano sistemi di equazioni per analizzare le vendite di biglietti quando categorie diverse hanno prezzi diversi.

Esempio:

Un concerto ha venduto 500 biglietti in totale. I biglietti VIP costano 80 euro e i biglietti normali 40 euro. Il ricavo totale è stato 28.000 euro. Quanti di ogni tipo sono stati venduti?

1Provaci tu stesso

Sia vv = biglietti VIP e rr = biglietti normali. Sistema: v+r=500v + r = 500 (totale biglietti) 80v+40r=2800080v + 40r = 28000 (ricavo totale)

Quanti biglietti VIP sono stati venduti?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica la prima equazione per −40-40 e somma per eliminare rr:

Chimica: bilanciare miscele

I chimici usano l'eliminazione per determinare quanto di ogni soluzione mescolare per ottenere una concentrazione desiderata.

Esempio:

Una chimica ha bisogno di 100 mL di una soluzione acida al 30%. Ha disponibili soluzioni acide al 20% e al 50%. Quanto di ognuna deve mescolare?

2Provaci tu stesso

Sia xx = mL di soluzione al 20% e yy = mL di soluzione al 50%. Sistema: x+y=100x + y = 100 (volume totale) 0,20x+0,50y=300,20x + 0,50y = 30 (quantità di acido: 100×0,30=30100 \times 0,30 = 30 mL)

Quanti mL di soluzione al 50% servono?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica la prima equazione per −0,20-0,20 e somma:

Punti chiave

  • 1Il metodo di eliminazione elimina una variabile sommando o sottraendo equazioni
  • 2Se i coefficienti sono già opposti, somma le equazioni direttamente
  • 3Se i coefficienti sono uguali, sottrai le equazioni
  • 4Se nessuno dei due casi, moltiplica una o entrambe le equazioni per creare coefficienti opposti
  • 5Verifica sempre la tua soluzione sostituendola in entrambe le equazioni originali

Domande frequenti

Usa l'eliminazione quando: (1) i coefficienti sono già opposti o uguali, (2) nessuna equazione è già risolta per una variabile, o (3) la sostituzione creerebbe frazioni complicate. Usa la sostituzione quando un'equazione è già risolta per una variabile (come y=3x+2y = 3x + 2).
Usa l'eliminazione quando: (1) i coefficienti sono già opposti o uguali, (2) nessuna equazione è già risolta per una variabile, o (3) la sostituzione creerebbe frazioni complicate. Usa la sostituzione quando un'equazione è già risolta per una variabile (come y=3x+2y = 3x + 2).
Se ottieni un'affermazione vera come 0=00 = 0, il sistema ha infinite soluzioni (le rette sono coincidenti). Se ottieni un'affermazione falsa come 0=50 = 5, il sistema non ha soluzione (le rette sono parallele).
No! Otterrai la stessa risposta in ogni caso. Scegli la variabile che richiede la moltiplicazione più semplice per creare coefficienti opposti.

Glossario

Metodo di eliminazione
Una tecnica per risolvere sistemi di equazioni sommando o sottraendo equazioni per eliminare una variabile
Coefficienti opposti
Coefficienti che sommati danno zero, come +3+3 e −3-3
mcm (Minimo Comune Multiplo)
Il numero più piccolo che è multiplo di entrambi i coefficienti; usato per trovare i moltiplicatori necessari per creare coefficienti opposti
Verificare
Controllare che una soluzione soddisfi entrambe le equazioni originali

Scheda formule

Strategia di eliminazione

Opposti: +a e −a→SOMMARE\text{Opposti: } +a \text{ e } -a \rightarrow \text{SOMMARE}
Uguali: +a e +a→SOTTRARRE\text{Uguali: } +a \text{ e } +a \rightarrow \text{SOTTRARRE}

Decidi se sommare o sottrarre in base ai coefficienti

Creare opposti

Moltiplicare le equazioni per ottenere ±mcm dei coefficienti\text{Moltiplicare le equazioni per ottenere } \pm\text{mcm dei coefficienti}

Usa il mcm per trovare i moltiplicatori

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