Introduzione ai sistemi di equazioni

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Cos'è un sistema di equazioni?
1. a)Un grafico con più rette
2. b)Due o più equazioni con le stesse variabili
3. c)Un'equazione con una variabile
4. d)Un'espressione con più termini
Risposta: Due o più equazioni con le stesse variabili
Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni che condividono le stesse variabili e devono essere risolte insieme.
2.
Cosa rappresenta graficamente la soluzione di un sistema di equazioni?
1. a)Il punto di intersezione delle rette
2. b)L'intercetta y di entrambe le rette
3. c)La pendenza delle rette
4. d)La distanza tra le rette
Risposta: Il punto di intersezione delle rette
La soluzione di un sistema di due equazioni lineari è il punto in cui entrambe le rette si intersecano. Questo punto soddisfa entrambe le equazioni contemporaneamente.
3.
è una soluzione del sistema: e ?
1. a)Sì, soddisfa entrambe le equazioni
2. b)No, non soddisfa nessuna equazione
3. c)No, soddisfa solo la seconda equazione
4. d)No, soddisfa solo la prima equazione
Risposta: Sì, soddisfa entrambe le equazioni
Verifica: (vero) e (vero). Poiché entrambe le equazioni sono soddisfatte, è la soluzione.
4.
Se e , qual è il valore di ?
Risposta: 7
Sommando le equazioni: , quindi , che dà .
5.
Se e , qual è il valore di ?
Risposta: 3
Dal problema precedente, . Sostituendo in : , quindi .
6.
Cosa succede quando due rette sono parallele?
1. a)Il sistema non ha soluzione
2. b)Il sistema ha infinite soluzioni
3. c)Il sistema ha esattamente una soluzione
4. d)Il sistema non può essere determinato
Risposta: Il sistema non ha soluzione
Le rette parallele hanno la stessa pendenza ma intercette y diverse. Poiché non si intersecano mai, non c'è nessun punto che soddisfi entrambe le equazioni, quindi il sistema non ha soluzione.
7.
Verifica se è una soluzione di: e
Risposta: Yes
1. Sostituisci e nella prima equazione . Cosa ottieni? 10
2. La prima equazione è soddisfatta? (sì/no) sì
3. Sostituisci e nella seconda equazione . Cosa ottieni? -1
4. La seconda equazione è soddisfatta? (sì/no) sì
8.
Le rette e si intersecano in un punto. Qual è la coordinata di quel punto?
Risposta: 2
Uguagliando: . Aggiungendo ad entrambi i lati: . Sottraendo 1: . Dividendo: .
9.
Le rette e si intersecano in un punto. Qual è la coordinata di quel punto?
Risposta: 5
Dal problema precedente, . Sostituendo in : .
10.
Trova la soluzione di: e
Risposta: (3, 5)
1. Somma entrambe le equazioni. Quanto fa ? 3x
2. Quanto fa ? 9
3. Quindi . Qual è ? 3
4. Sostituisci in . Qual è ? 5
11.
In un negozio, 3 matite e 2 gomme costano 8 euro. 1 matita e 4 gomme costano 6 euro. Trova il prezzo di una matita.
Risposta: 2
1. Sia = prezzo di una matita, = prezzo di una gomma. Scrivi la prima equazione. 3m + 2g = 8
2. Scrivi la seconda equazione. m + 4g = 6
3. Dall'equazione 2, esprimi in funzione di . m = 6 - 4g
4. Sostituisci nell'equazione 1 e risolvi per . Qual è il valore di ? 1
5. Ora trova usando . Qual è il valore di ? 2
12.
Quale sistema ha infinite soluzioni?
1. a) e
2. b) e
3. c) e
4. d) e
Risposta: e
La seconda equazione si semplifica in , che è identica alla prima equazione. Poiché entrambe le equazioni rappresentano la stessa retta, ogni punto su quella retta è una soluzione.
13.
La somma di due numeri è 15 e la loro differenza è 3. Qual è il numero maggiore?
Risposta: 9
Sia = numero maggiore, = numero minore. Sistema: e . Sommando: , quindi .
14.
Un parcheggio ha auto e motociclette. Ci sono 50 veicoli in totale e 160 ruote. Quante auto ci sono?
Risposta: 30
1. Sia = auto, = motociclette. Scrivi l'equazione per il totale dei veicoli. a + m = 50
2. Le auto hanno 4 ruote, le motociclette ne hanno 2. Scrivi l'equazione delle ruote. 4a + 2m = 160
3. Dall'equazione 1, esprimi in funzione di . m = 50 - a
4. Sostituisci nell'equazione delle ruote e semplifica. 4a + 2(50 - a) = 160
5. Risolvi per . Quante auto ci sono? 30
15.
Trova dove le rette e si intersecano.
Risposta: (2, 3)
1. Dalla seconda equazione , esprimi in funzione di . x = y - 1
2. Sostituisci in . Quale equazione ottieni? 3(y - 1) + 2y = 12
3. Semplifica e risolvi per . Qual è il valore di ? 3
4. Ora trova usando . Qual è il valore di ? 2
16.
I biglietti del cinema costano importi diversi per adulti e bambini. 2 biglietti per adulti e 3 per bambini costano 36 euro. 3 biglietti per adulti e 2 per bambini costano 39 euro. Qual è il prezzo di un biglietto per adulti in euro?
Risposta: 9
Sistema: e . Moltiplicare la prima equazione per 2: . Moltiplicare la seconda per 3: . Sottrarre: , quindi euro.