Quando una variabile è già isolata

Risolvi il sistema: $$\begin{cases} y = 3x - 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$$

Identifica la variabile isolata: La prima equazione ha già $y$ isolata: $y = 3x - 2$ = $y = 3x - 2$

Sostituisci nell'altra equazione: Sostituisci $y$ con $(3x - 2)$ nella seconda equazione: $2x + (3x - 2) = 8$ = $2x + 3x - 2 = 8$

Risolvi per $x$: $5x - 2 = 8$ $5x = 10$ $x = 2$ = $x = 2$

Sostituisci per trovare $y$: $y = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4$ = $y = 4$

Verifica la soluzione: Controlla nella seconda equazione: $2(2) + 4 = 4 + 4 = 8$ ✓ = Soluzione verificata!

Answer: La soluzione è $(2, 4)$

Isolare prima una variabile

Risolvi il sistema: $$\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - 3y = -6 \end{cases}$$

Scegli quale variabile isolare: Dalla prima equazione, isola $x$: $x = 7 - y$ = $x = 7 - y$

Sostituisci nell'altra equazione: Sostituisci $x$ con $(7 - y)$ nella seconda equazione: $2(7 - y) - 3y = -6$ = $2(7 - y) - 3y = -6$

Distribuisci e semplifica: $14 - 2y - 3y = -6$ $14 - 5y = -6$ = $14 - 5y = -6$

Risolvi per $y$: $-5y = -6 - 14$ $-5y = -20$ $y = 4$ = $y = 4$

Sostituisci per trovare $x$: $x = 7 - 4 = 3$ = $x = 3$

Verifica in entrambe le equazioni: Equazione 1: $3 + 4 = 7$ ✓ Equazione 2: $2(3) - 3(4) = 6 - 12 = -6$ ✓ = Entrambe le equazioni soddisfatte!

Answer: La soluzione è $(3, 4)$

Sistema con soluzione intera

Risolvi il sistema: $$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 4x - y = 5 \end{cases}$$

Identifica la variabile isolata: $y$ è già isolata nella prima equazione = $y = 2x + 1$

Sostituisci nella seconda equazione: $4x - (2x + 1) = 5$ = $4x - 2x - 1 = 5$

Risolvi per $x$: $2x - 1 = 5$ $2x = 6$ $x = 3$ = $x = 3$

Trova $y$: $y = 2(3) + 1 = 7$ = $y = 7$

Verifica: Controllo: $4(3) - 7 = 12 - 7 = 5$ ✓ = Verificato!

Answer: La soluzione è $(3, 7)$

Scegliere la variabile migliore da isolare

Risolvi il sistema: $$\begin{cases} 3x + y = 10 \\ 5x - 2y = -4 \end{cases}$$

Scegli la variabile più facile da isolare: Nella prima equazione, $y$ ha coefficiente 1, quindi isola $y$: $y = 10 - 3x$ = $y = 10 - 3x$

Sostituisci nella seconda equazione: $5x - 2(10 - 3x) = -4$ = $5x - 2(10 - 3x) = -4$

Distribuisci e combina: $5x - 20 + 6x = -4$ $11x - 20 = -4$ = $11x - 20 = -4$

Risolvi per $x$: $11x = 16$ $x = \frac{16}{11}$ = $x = \frac{16}{11}$

Trova $y$: $y = 10 - 3 \cdot \frac{16}{11} = 10 - \frac{48}{11} = \frac{110 - 48}{11} = \frac{62}{11}$ = $y = \frac{62}{11}$

Verifica: Controlla la prima equazione: $3 \cdot \frac{16}{11} + \frac{62}{11} = \frac{48 + 62}{11} = \frac{110}{11} = 10$ ✓ = Soluzione verificata!

Answer: La soluzione è $\left(\frac{16}{11}, \frac{62}{11}\right)$

Mistake: Dimenticare di distribuire quando si sostituisce

Why: Quando sostituisci un'espressione come $(3x - 2)$ e c'è un coefficiente davanti, devi distribuire.

Correct: Se hai $2(3x - 2)$, distribuisci per ottenere $6x - 4$, non $6x - 2$.

Mistake: Sostituire nella stessa equazione

Why: Se risolvi l'equazione 1 per $y$ e sostituisci nell'equazione 1, ottieni solo $0 = 0$ (sempre vero) e non impari nulla.

Correct: Sostituisci sempre nell'ALTRA equazione per creare una nuova equazione con una variabile.

Mistake: Errori di segno nella distribuzione dei negativi

Why: Sottrarre un'espressione come $-(2x + 3)$ significa moltiplicare ogni termine per $-1$.

Correct: $-(2x + 3) = -2x - 3$, non $-2x + 3$.

Mistake: Non verificare la soluzione in ENTRAMBE le equazioni

Why: Una soluzione deve soddisfare entrambe le equazioni. Verificare solo un'equazione non garantisce la correttezza.

Correct: Sostituisci sempre la tua risposta in entrambe le equazioni originali per verificare.

Confrontare piani telefonici

Le compagnie telefoniche offrono diversi piani. Il metodo di sostituzione aiuta a trovare quando due piani costano uguale.

Il Piano A costa 20 euro al mese più 0,10 euro al minuto. Il Piano B costa 30 euro al mese più 0,05 euro al minuto. Quando sono uguali?

Mescolare soluzioni in chimica

Gli scienziati spesso devono mescolare soluzioni di diverse concentrazioni per ottenere un risultato desiderato.

Un chimico ha bisogno di 100 mL di una soluzione acida al 30%. Ha a disposizione soluzioni al 20% e al 50%.

Pianificazione del budget

Le aziende usano sistemi di equazioni per bilanciare costi e ricavi.

Un'azienda vende prodotti base e premium. Se vendono 50 articoli e guadagnano 2000 euro, con il base a 30 euro e il premium a 50 euro, quanti di ogni tipo hanno venduto?

Q: Quando dovrei usare la sostituzione invece dell'eliminazione?

A: Usa la sostituzione quando una variabile è già isolata o ha coefficiente 1. Usa l'eliminazione quando entrambe le equazioni hanno coefficienti simili che possono essere facilmente annullati.

Q: Cosa significa ottenere $0 = 0$ o una contraddizione come $0 = 5$?

A: Se ottieni $0 = 0$, il sistema ha infinite soluzioni (le rette sono coincidenti). Se ottieni qualcosa di impossibile come $0 = 5$, non c'è soluzione (rette parallele).

Q: È importante quale variabile isolo prima?

A: Matematicamente, no - otterrai la stessa risposta. Praticamente, scegli la variabile più facile da isolare (coefficiente più piccolo, già parzialmente isolata).