Metodo di sostituzione
Impara a risolvere i sistemi di equazioni sostituendo un'equazione nell'altra.
Definizione
Prova subito
Esempi svolti
Risolvi il sistema:
Identifica la variabile isolata
La prima equazione ha già isolata: →
Sostituisci nell'altra equazione
Sostituisci con nella seconda equazione: →
Risolvi per
→
Sostituisci per trovare
→
Verifica la soluzione
Controlla nella seconda equazione: ✓ → Soluzione verificata!
Risposta: La soluzione è
Errori comuni
Dimenticare di distribuire quando si sostituisce
Perché è sbagliato: Quando sostituisci un'espressione come e c'è un coefficiente davanti, devi distribuire.
Corretto: Se hai , distribuisci per ottenere , non .
Sostituire nella stessa equazione
Perché è sbagliato: Se risolvi l'equazione 1 per e sostituisci nell'equazione 1, ottieni solo (sempre vero) e non impari nulla.
Corretto: Sostituisci sempre nell'ALTRA equazione per creare una nuova equazione con una variabile.
Errori di segno nella distribuzione dei negativi
Perché è sbagliato: Sottrarre un'espressione come significa moltiplicare ogni termine per .
Corretto: , non .
Non verificare la soluzione in ENTRAMBE le equazioni
Perché è sbagliato: Una soluzione deve soddisfare entrambe le equazioni. Verificare solo un'equazione non garantisce la correttezza.
Corretto: Sostituisci sempre la tua risposta in entrambe le equazioni originali per verificare.
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Segui mentre risolviamo l'equazione passo dopo passo.
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Prova questi esempi:
y = 2x + 1
m=2, b=1
Calcolatrice di espressioni
Prova questi:
Cronologia
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Esercizi pratici
16 eserciziNel sistema , quale espressione devi sostituire per nella seconda equazione?
Perché è importante
- Risposte esatte: A differenza dei grafici, la sostituzione fornisce soluzioni precise, non stime
- Funziona per tutti i sistemi: Può risolvere sistemi difficili da rappresentare graficamente con precisione
- Base per la matematica avanzata: La stessa tecnica di sostituzione viene usata in analisi, fisica e ingegneria
- Applicazioni reali: Confrontare piani telefonici, mescolare soluzioni e pianificare budget usano questo metodo
Applicazioni nel mondo reale
Confrontare piani telefonici
Le compagnie telefoniche offrono diversi piani. Il metodo di sostituzione aiuta a trovare quando due piani costano uguale.
Esempio:
Il Piano A costa 20 euro al mese più 0,10 euro al minuto. Il Piano B costa 30 euro al mese più 0,05 euro al minuto. Quando sono uguali?
Piano A: (costo per minuti) Piano B:
Dopo quanti minuti i due piani costano uguale?
Passo 1: Scrivi l'espressione matematica
Uguaglia i costi e risolvi:
Mescolare soluzioni in chimica
Gli scienziati spesso devono mescolare soluzioni di diverse concentrazioni per ottenere un risultato desiderato.
Esempio:
Un chimico ha bisogno di 100 mL di una soluzione acida al 30%. Ha a disposizione soluzioni al 20% e al 50%.
Sia = mL di soluzione al 20%, = mL di soluzione al 50%. Volume totale: Contenuto acido:
Quanto di ogni soluzione è necessario?
Passo 1: Scrivi l'espressione matematica
Dalla prima equazione: . Sostituisci:
Pianificazione del budget
Le aziende usano sistemi di equazioni per bilanciare costi e ricavi.
Esempio:
Un'azienda vende prodotti base e premium. Se vendono 50 articoli e guadagnano 2000 euro, con il base a 30 euro e il premium a 50 euro, quanti di ogni tipo hanno venduto?
Sia = prodotti base, = prodotti premium. Totale articoli: Ricavo totale:
Quanti di ogni tipo di prodotto sono stati venduti?
Passo 1: Scrivi l'espressione matematica
Dalla prima equazione: . Sostituisci:
Punti chiave
- 1Il metodo di sostituzione risolve i sistemi sostituendo una variabile con un'espressione equivalente
- 2Scegli la variabile con coefficiente 1 o già isolata per risolvere più facilmente
- 3Sostituisci sempre nell'ALTRA equazione, non in quella che hai risolto
- 4Dopo aver trovato una variabile, sostituisci per trovare l'altra
- 5Verifica la tua soluzione controllando entrambe le equazioni originali
Domande frequenti
Glossario
- Metodo di sostituzione
- Una tecnica per risolvere sistemi dove sostituisci una variabile con un'espressione equivalente da un'altra equazione
- Sistema di equazioni
- Due o più equazioni con le stesse variabili che devono essere risolte simultaneamente
- Retrosostituzione
- Inserire un valore trovato in un'equazione per trovare la variabile rimanente
- Soluzione di un sistema
- La coppia ordinata che rende vere entrambe le equazioni
Scheda formule
Passaggi del metodo di sostituzione
Segui questi cinque passaggi per risolvere qualsiasi sistema con sostituzione