Una variabile già isolata

Risolvi il sistema: $$\begin{cases} y = 3x - 4 \\ 2x + y = 6 \end{cases}$$

Identifica la variabile isolata: La prima equazione ha già $y$ isolata: $y = 3x - 4$ = Pronto per sostituire

Sostituisci nella seconda equazione: Sostituisci $y$ con $(3x - 4)$ in $2x + y = 6$: $2x + (3x - 4) = 6$ = $2x + 3x - 4 = 6$

Risolvi per $x$: $5x - 4 = 6$ $5x = 10$ $x = 2$ = $x = 2$

Sostituisci di nuovo per trovare $y$: $y = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$ = $y = 2$

Verifica la soluzione: Controlla in entrambe le equazioni: $y = 3(2) - 4 = 2$ ✓ $2(2) + 2 = 6$ ✓ = Soluzione verificata

Answer: $(2, 2)$

Isolare prima una variabile

Risolvi il sistema: $$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$

Scegli quale variabile isolare: Nell'equazione 1, $x$ ha coefficiente 1, quindi isola $x$: $x = 8 - 2y$ = $x = 8 - 2y$

Sostituisci nella seconda equazione: Sostituisci $x$ in $3x - y = 3$: $3(8 - 2y) - y = 3$ = $24 - 6y - y = 3$

Risolvi per $y$: $24 - 7y = 3$ $-7y = -21$ $y = 3$ = $y = 3$

Sostituisci di nuovo per trovare $x$: $x = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2$ = $x = 2$

Verifica la soluzione: Controlla: $2 + 2(3) = 8$ ✓ $3(2) - 3 = 3$ ✓ = Soluzione verificata

Answer: $(2, 3)$

Sistema con sostituzione semplice

Risolvi il sistema: $$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x = y + 1 \end{cases}$$

Identifica la variabile isolata: La seconda equazione ha $x$ isolata: $x = y + 1$ = Pronto per sostituire

Sostituisci nella prima equazione: Sostituisci $x$ con $(y + 1)$ in $2x + 3y = 12$: $2(y + 1) + 3y = 12$ = $2y + 2 + 3y = 12$

Risolvi per $y$: $5y + 2 = 12$ $5y = 10$ $y = 2$ = $y = 2$

Sostituisci di nuovo per trovare $x$: $x = 2 + 1 = 3$ = $x = 3$

Verifica la soluzione: Controlla: $2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12$ ✓ $3 = 2 + 1$ ✓ = Soluzione verificata

Answer: $(3, 2)$

Applicazione: Vendita di biglietti

Un teatro ha venduto 150 biglietti. I biglietti per adulti costano 12€ e quelli per bambini 8€. Il ricavo totale è stato di 1480€. Quanti biglietti di ogni tipo sono stati venduti?

Definisci le variabili e scrivi le equazioni: Sia $a$ = biglietti adulti, $b$ = biglietti bambini Totale biglietti: $a + b = 150$ Ricavo totale: $12a + 8b = 1480$ = Sistema creato

Isola una variabile: Dall'equazione 1: $a = 150 - b$ = $a = 150 - b$

Sostituisci nell'equazione del ricavo: $12(150 - b) + 8b = 1480$ $1800 - 12b + 8b = 1480$ = $1800 - 4b = 1480$

Risolvi per $b$: $-4b = -320$ $b = 80$ = 80 biglietti bambini

Trova i biglietti adulti: $a = 150 - 80 = 70$ = 70 biglietti adulti

Verifica: $70 + 80 = 150$ ✓ $12(70) + 8(80) = 840 + 640 = 1480$ ✓ = Soluzione verificata

Answer: 70 biglietti adulti e 80 biglietti bambini

Mistake: Dimenticare di distribuire quando si sostituisce

Why: Quando si sostituisce un'espressione come $(3x - 4)$, le parentesi indicano che l'intera espressione sostituisce la variabile.

Correct: Usa sempre le parentesi e distribuisci: $2(3x - 4) = 6x - 8$, non $2 \cdot 3x - 4 = 6x - 4$

Mistake: Sostituire di nuovo nell'equazione sbagliata

Why: Se sostituisci di nuovo nell'equazione usata per isolare, potresti ottenere un'identità banale invece di un valore.

Correct: Dopo aver trovato una variabile, sostituisci nell'ALTRA equazione originale o nell'equazione di isolamento.

Mistake: Errori di segno quando si isolano le variabili

Why: Spostare termini dall'altro lato dell'uguale richiede di cambiare segni.

Correct: Da $x + 2y = 8$, otteniamo $x = 8 - 2y$ (non $x = 8 + 2y$)

Mistake: Non verificare la soluzione in entrambe le equazioni

Why: La soluzione deve soddisfare entrambe le equazioni contemporaneamente. Controllare solo un'equazione può tralasciare errori.

Correct: Sostituisci sempre $(x, y)$ in ENTRAMBE le equazioni originali per verificare.

Analisi del punto di pareggio

Le aziende usano sistemi di equazioni per trovare dove i ricavi uguagliano i costi.

Se il costo $C = 500 + 10x$ (500€ fissi più 10€ per articolo) e il ricavo $R = 25x$ (25€ per articolo), il punto di pareggio è quando $C = R$: $500 + 10x = 25x$, quindi $x = 33,3$ articoli.

Problemi di miscele

Scienziati e farmacisti usano sistemi per creare soluzioni con concentrazioni specifiche.

Per fare 100 mL di soluzione acida al 30% da soluzioni al 20% e 50%: Sia $x$ = mL al 20%, $y$ = mL al 50%. Allora $x + y = 100$ e $0,20x + 0,50y = 30$.

Q: Quando dovrei usare la sostituzione invece dell'eliminazione?

A: Usa la sostituzione quando un'equazione ha già una variabile isolata (come $y = 2x + 3$) o quando una variabile ha coefficiente 1 o -1. Usa l'eliminazione quando le variabili hanno coefficienti facili da uguagliare o cancellare.

Q: Cosa succede se ottengo qualcosa come $0 = 5$?

A: Se ottieni un'affermazione falsa come $0 = 5$, il sistema non ha soluzione. Le rette sono parallele e non si intersecano mai.

Q: Cosa succede se ottengo qualcosa come $0 = 0$?

A: Se ottieni un'affermazione vera come $0 = 0$ senza variabili, il sistema ha infinite soluzioni. Le equazioni rappresentano la stessa retta.