Sistemi di equazioni (Sostituzione)

Impara a risolvere sistemi di equazioni usando il metodo di sostituzione.

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Definizione

Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni con le stesse variabili. Il metodo di sostituzione risolve il sistema:
  1. 1.Isolando una variabile in un'equazione
  2. 2.Sostituendo quell'espressione nell'altra equazione
  3. 3.Risolvendo l'equazione risultante
  4. 4.Sostituendo di nuovo per trovare l'altra variabile
Per esempio, per risolvere:
{y=2x+13x+y=11\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}
Sostituisci y=2x+1y = 2x + 1 nella seconda equazione:
3x+(2x+1)=113x + (2x + 1) = 11
5x+1=115x + 1 = 11
x=2x = 2
Poi trova yy: y=2(2)+1=5y = 2(2) + 1 = 5
Soluzione: (2,5)(2, 5)

Prova subito

Nel sistema {y=x+32x+y=9\begin{cases} y = x + 3 \\ 2x + y = 9 \end{cases}, in quale equazione devi sostituire?

Esempi svolti

Risolvi il sistema:
{y=3x−42x+y=6\begin{cases} y = 3x - 4 \\ 2x + y = 6 \end{cases}
1

Identifica la variabile isolata

La prima equazione ha già yy isolata: y=3x−4y = 3x - 4 → Pronto per sostituire
2

Sostituisci nella seconda equazione

Sostituisci yy con (3x−4)(3x - 4) in 2x+y=62x + y = 6: 2x+(3x−4)=62x + (3x - 4) = 6 → 2x+3x−4=62x + 3x - 4 = 6
3

Risolvi per xx

5x−4=65x - 4 = 6 5x=105x = 10 x=2x = 2
4

Sostituisci di nuovo per trovare yy

y=3(2)−4=6−4=2y = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2 → y=2y = 2
5

Verifica la soluzione

Controlla in entrambe le equazioni: y=3(2)−4=2y = 3(2) - 4 = 2 ✓ 2(2)+2=62(2) + 2 = 6 ✓ → Soluzione verificata

Errori comuni

Dimenticare di distribuire quando si sostituisce

Perché è sbagliato: Quando si sostituisce un'espressione come (3x−4)(3x - 4), le parentesi indicano che l'intera espressione sostituisce la variabile.

Corretto: Usa sempre le parentesi e distribuisci: 2(3x−4)=6x−82(3x - 4) = 6x - 8, non 2⋅3x−4=6x−42 \cdot 3x - 4 = 6x - 4

Sostituire di nuovo nell'equazione sbagliata

Perché è sbagliato: Se sostituisci di nuovo nell'equazione usata per isolare, potresti ottenere un'identità banale invece di un valore.

Corretto: Dopo aver trovato una variabile, sostituisci nell'ALTRA equazione originale o nell'equazione di isolamento.

Errori di segno quando si isolano le variabili

Perché è sbagliato: Spostare termini dall'altro lato dell'uguale richiede di cambiare segni.

Corretto: Da x+2y=8x + 2y = 8, otteniamo x=8−2yx = 8 - 2y (non x=8+2yx = 8 + 2y)

Non verificare la soluzione in entrambe le equazioni

Perché è sbagliato: La soluzione deve soddisfare entrambe le equazioni contemporaneamente. Controllare solo un'equazione può tralasciare errori.

Corretto: Sostituisci sempre (x,y)(x, y) in ENTRAMBE le equazioni originali per verificare.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

-2-10123456-4-202468xy(2; 2)

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

y = 3x - 42x + y = 6
  • Punto di intersezione: (2; 2)

Risolutore di equazioni

Risolvi per x,yx, y:

(1)y=3x−4(2)2x+y=6\begin{aligned} (1)\quad y &= 3x - 4 \\ (2)\quad 2x + y &= 6 \end{aligned}
1
(1)y=3x−4(2)2x+y=6\begin{aligned} (1)\quad y &= 3x - 4 \\ (2)\quad 2x + y &= 6 \end{aligned}
L'equazione (1) ti dice già quanto vale yyScegli la variabile più facile da isolare

Suggerimenti:

  • • Quello che fai da un lato, fallo dall'altro
  • • Annulla le operazioni in ordine inverso
  • • Verifica la risposta sostituendo

Segui mentre risolviamo l'equazione passo dopo passo.

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-10-50510-10-50510xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = 3x - 4

m=3, b=-4

y = 6 - 2x

m=-2, b=6

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

15 esercizi
Problema 1 di 15
Facile
Nel sistema {y=x+32x+y=9\begin{cases} y = x + 3 \\ 2x + y = 9 \end{cases}, in quale equazione devi sostituire?

Perché è importante

I sistemi di equazioni modellano situazioni reali dove esistono più vincoli contemporaneamente:
  • Affari: Trovare il punto di pareggio dove i costi uguagliano i ricavi
  • Chimica: Bilanciare miscele con diverse concentrazioni
  • Fisica: Determinare dove si incontrano due oggetti
  • Economia: Trovare l'equilibrio di mercato tra domanda e offerta
Il metodo di sostituzione è particolarmente efficiente quando un'equazione ha già una variabile isolata, rendendolo l'approccio più veloce in molti problemi pratici.

Applicazioni nel mondo reale

Analisi del punto di pareggio

Le aziende usano sistemi di equazioni per trovare dove i ricavi uguagliano i costi.

Esempio:

Se il costo C=500+10xC = 500 + 10x (500€ fissi più 10€ per articolo) e il ricavo R=25xR = 25x (25€ per articolo), il punto di pareggio è quando C=RC = R: 500+10x=25x500 + 10x = 25x, quindi x=33,3x = 33,3 articoli.

1Provaci tu stesso

Una pasticceria ha costi fissi di 200€ al giorno. Ogni torta costa 8€ da fare e si vende a 20€.

Quante torte devono essere vendute per raggiungere il punto di pareggio?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Uguaglia costo e ricavo: 200+8x=20x200 + 8x = 20x

Problemi di miscele

Scienziati e farmacisti usano sistemi per creare soluzioni con concentrazioni specifiche.

Esempio:

Per fare 100 mL di soluzione acida al 30% da soluzioni al 20% e 50%: Sia xx = mL al 20%, yy = mL al 50%. Allora x+y=100x + y = 100 e 0,20x+0,50y=300,20x + 0,50y = 30.

2Provaci tu stesso

Un chimico ha bisogno di 200 mL di soluzione alcolica al 40%. Ha a disposizione soluzioni al 30% e 60%.

Quanto di ogni soluzione deve mescolare?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il sistema: x+y=200x + y = 200 e 0,30x+0,60y=800,30x + 0,60y = 80

Punti chiave

  • 1Il metodo di sostituzione risolve sistemi sostituendo una variabile con un'espressione equivalente
  • 2Scegli di isolare la variabile con il coefficiente più semplice (idealmente 1 o -1)
  • 3Usa le parentesi quando sostituisci espressioni e distribuisci attentamente
  • 4Sostituisci di nuovo per trovare la seconda variabile dopo aver risolto la prima
  • 5Verifica sempre la tua soluzione in ENTRAMBE le equazioni originali

Domande frequenti

Usa la sostituzione quando un'equazione ha già una variabile isolata (come y=2x+3y = 2x + 3) o quando una variabile ha coefficiente 1 o -1. Usa l'eliminazione quando le variabili hanno coefficienti facili da uguagliare o cancellare.
Usa la sostituzione quando un'equazione ha già una variabile isolata (come y=2x+3y = 2x + 3) o quando una variabile ha coefficiente 1 o -1. Usa l'eliminazione quando le variabili hanno coefficienti facili da uguagliare o cancellare.
Se ottieni un'affermazione falsa come 0=50 = 5, il sistema non ha soluzione. Le rette sono parallele e non si intersecano mai.
Se ottieni un'affermazione vera come 0=00 = 0 senza variabili, il sistema ha infinite soluzioni. Le equazioni rappresentano la stessa retta.

Glossario

Sistema di equazioni
Due o più equazioni con le stesse variabili che devono essere risolte simultaneamente
Sostituzione
Sostituire una variabile con un'espressione equivalente da un'altra equazione
Soluzione di un sistema
La coppia ordinata (x,y)(x, y) che soddisfa tutte le equazioni del sistema
Isolare
Riscrivere un'equazione per avere una variabile da sola da un lato
Sostituzione inversa
Sostituire un valore trovato in un'equazione per trovare l'altra variabile

Scheda formule

Passo 1: Isolare

y=mx+by = mx + b (o risolvi per xx)

Risolvere un'equazione per una variabile

Passo 2: Sostituire

Sostituire quella variabile nell'altra equazione

Usare le parentesi intorno all'espressione

Passo 3: Risolvere

Risolvere l'equazione risultante

Ora c'è solo una variabile

Passo 4: Sostituire di nuovo

Inserire il valore nell'equazione di isolamento

Trovare l'altra variabile

Passo 5: Verificare

Controllare (x,y)(x, y) in entrambe le equazioni

Entrambe le equazioni devono essere vere

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