Calcolare una potenza con esponente negativo

Calcola $2^{-3}$.

Applica la regola dell'esponente negativo: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ = $2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

Calcola la potenza al denominatore: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ = $\frac{1}{8}$

Controlla il segno: La base $2$ è positiva, quindi il risultato è positivo = $\frac{1}{8} = 0{,}125$

Answer: $2^{-3} = \frac{1}{8}$, un piccolo numero positivo, non $-8$.

Piccole potenze di 10

Scrivi $10^{-3}$ come frazione e come numero decimale.

Applica la regola dell'esponente negativo: $10^{-3} = \frac{1}{10^3}$ = $\frac{1}{10^3}$

Calcola $10^3$: $10^3 = 1000$ = $\frac{1}{1000}$

Scrivi come numero decimale: Un millesimo: l'1 è alla terza cifra dopo la virgola = $0{,}001$

Answer: $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001$. L'esponente $-3$ ti dice che l'1 è al terzo posto dopo la virgola.

Una frazione con esponente negativo

Calcola $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.

Capovolgi la frazione e rendi positivo l'esponente: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ = $\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$

Eleva al quadrato numeratore e denominatore: $\frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$ = $\frac{9}{4}$

Verifica con la definizione: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}$ = Stesso risultato

Answer: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{9}{4} = 2{,}25$

Spostare fattori oltre la linea di frazione

Riscrivi $\frac{x^{-3}}{y^{-2}}$ con esponenti positivi.

Sposta $x^{-3}$ dal numeratore al denominatore: $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$, quindi diventa $x^3$ sotto la linea = $\frac{1}{x^3 \, y^{-2}}$

Sposta $y^{-2}$ dal denominatore al numeratore: $\frac{1}{y^{-2}} = y^2$, quindi diventa $y^2$ sopra la linea = $\frac{y^2}{x^3}$

Controlla che tutti gli esponenti siano positivi: $y^2$ e $x^3$ = Fatto

Answer: $\frac{x^{-3}}{y^{-2}} = \frac{y^2}{x^3}$. Un fattore cambia il segno del suo esponente quando attraversa la linea di frazione.

Combinare tutte le proprietà delle potenze

Semplifica $\frac{6a^{-2}b^{3}}{3a^{4}b^{-1}}$ e scrivi il risultato con esponenti positivi.

Dividi i coefficienti: $6 : 3 = 2$ = $2$

Quoziente di potenze per $a$: $a^{-2-4} = a^{-6}$ = $a^{-6}$

Quoziente di potenze per $b$ (sottrarre un numero negativo): $b^{3-(-1)} = b^{3+1} = b^{4}$ = $b^{4}$

Scrivi con esponenti positivi: $2a^{-6}b^{4} = \frac{2b^{4}}{a^{6}}$ = $\frac{2b^{4}}{a^{6}}$

Answer: $\frac{6a^{-2}b^{3}}{3a^{4}b^{-1}} = \frac{2b^{4}}{a^{6}}$. Solo $a^{-6}$ scende; il coefficiente $2$ resta sopra.

Mistake: Pensare che un esponente negativo renda negativo il numero: $2^{-3} = -8$

Why: Il segno meno è nell'esponente, non davanti al numero. Significa "reciproco", non "negativo".

Correct: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$, un numero positivo.

Mistake: Spostare anche il coefficiente: $2x^{-3} = \frac{1}{2x^3}$

Why: L'esponente $-3$ appartiene solo a $x$. Il $2$ ha esponente $1$ e resta dov'è.

Correct: $2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$. Scrivi $\frac{1}{(2x)^3}$ solo quando il testo dice $(2x)^{-3}$ con le parentesi.

Mistake: Capovolgere la frazione ma dimenticare la potenza, oppure renderla negativa: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{3}{2}$ o $-\frac{4}{9}$

Why: Il segno meno capovolge la frazione, e il $2$ la eleva comunque al quadrato. Entrambe le parti dell'esponente hanno un compito.

Correct: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$

Mistake: Sottrarre male un esponente negativo: $\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{3}$

Why: Il quoziente di potenze sottrae l'intero esponente, segno compreso: $5 - (-2)$, non $5 - 2$.

Correct: $\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{5-(-2)} = x^{7}$

Misure minuscole nelle scienze

Gli scienziati scrivono lunghezze molto piccole con potenze di 10 negative. I prefissi milli, micro e nano valgono $10^{-3}$, $10^{-6}$ e $10^{-9}$.

Un millimetro è $10^{-3}$ m $= 0{,}001$ m, e un batterio tipico è lungo circa $2 \times 10^{-6}$ m.

Gli stop di esposizione in fotografia

I fotografi misurano la luce in stop. Ogni stop più scuro dimezza la luce, quindi $n$ stop lasciano passare $2^{-n}$ della luce iniziale.

Un filtro da 3 stop lascia passare $2^{-3} = \frac{1}{8}$ della luce.

Diluire campioni in laboratorio

In laboratorio un campione viene spesso diluito 1 a 10 più volte di seguito. Dopo $n$ diluizioni, la concentrazione è $10^{-n}$ volte quella iniziale.

Dopo 3 diluizioni, un campione ha solo $10^{-3} = 0{,}001$ della sua concentrazione iniziale.

Q: Perché $a^{-1}$ è il reciproco di $a$?

A: Per il prodotto di potenze con la stessa base, $a^{1} \times a^{-1} = a^{0} = 1$. Il numero per cui moltiplichi $a$ per ottenere $1$ è $\frac{1}{a}$, quindi $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Q: Una potenza con esponente negativo può essere negativa?

A: Solo se la base stessa è negativa. Ad esempio, $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$. L'esponente negativo da solo non aggiunge mai un segno meno.

Q: Perché la base non può essere zero?

A: $0^{-2}$ vorrebbe dire $\frac{1}{0^2} = \frac{1}{0}$, e la divisione per zero non è definita. Per questo la regola dice $a \neq 0$.

Q: È sbagliato lasciare esponenti negativi in una risposta?

A: $x^{-3}$ e $\frac{1}{x^3}$ sono uguali, quindi nessuno dei due è sbagliato. Molti insegnanti e libri chiedono esponenti positivi nel risultato finale, quindi riscrivi alla fine, a meno che il testo dica altro.