Una potenza con esponente negativo può essere negativa?

Solo se la base stessa è negativa. Ad esempio, $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$. L'esponente negativo da solo non aggiunge mai un segno meno.

Perché la base non può essere zero?

$0^{-2}$ vorrebbe dire $\frac{1}{0^2} = \frac{1}{0}$, e la divisione per zero non è definita. Per questo la regola dice $a \neq 0$.

È sbagliato lasciare esponenti negativi in una risposta?

$x^{-3}$ e $\frac{1}{x^3}$ sono uguali, quindi nessuno dei due è sbagliato. Molti insegnanti e libri chiedono esponenti positivi nel risultato finale, quindi riscrivi alla fine, a meno che il testo dica altro.

Risorse per insegnanti

Esponenti negativi

Q: Perché $a^{-1}$ è il reciproco di $a$?

Per il prodotto di potenze con la stessa base, $a^{1} \times a^{-1} = a^{0} = 1$. Il numero per cui moltiplichi $a$ per ottenere $1$ è $\frac{1}{a}$, quindi $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Impara che cosa significa un esponente negativo, perché dà un reciproco e non un numero negativo, e come scrivere ogni espressione con esponenti positivi.

Intermedio25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Un esponente negativo ti dice di prendere il reciproco della potenza con lo stesso esponente positivo:

a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad (a \neq 0)

Ad esempio,

2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}

Da dove viene? Osserva le potenze di 2. Ogni volta che l'esponente scende di 1, dividi per 2:

2^3 = 8,\; 2^2 = 4,\; 2^1 = 2,\; 2^0 = 1,\; 2^{-1} = \frac{1}{2},\; 2^{-2} = \frac{1}{4},\; 2^{-3} = \frac{1}{8}

Lo schema continua semplicemente sotto l'esponente zero.

Da ricordare:

Un esponente negativo non rende negativo il numero: $2^{-3} = \frac{1}{8}$ è positivo.
Funziona in entrambe le direzioni: $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$ , quindi un fattore può attraversare la linea di frazione se il suo esponente cambia segno.
Una frazione con esponente negativo si capovolge: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ .
Le potenze di 10 con esponente negativo sono piccoli numeri decimali: $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001$ .

Prova subito

Qual è il valore di

2^{-3}

Esempi svolti

Calcola $2^{-3}$ .

Applica la regola dell'esponente negativo

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ → $2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

Calcola la potenza al denominatore

$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ → $\frac{1}{8}$

Controlla il segno

La base $2$ è positiva, quindi il risultato è positivo → $\frac{1}{8} = 0{,}125$

Risposta: $2^{-3} = \frac{1}{8}$ , un piccolo numero positivo, non $-8$ .

Errori comuni

Pensare che un esponente negativo renda negativo il numero: $2^{-3} = -8$

Perché è sbagliato: Il segno meno è nell'esponente, non davanti al numero. Significa "reciproco", non "negativo".

Corretto: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ , un numero positivo.

Spostare anche il coefficiente: $2x^{-3} = \frac{1}{2x^3}$

Perché è sbagliato: L'esponente $-3$ appartiene solo a $x$ . Il $2$ ha esponente $1$ e resta dov'è.

Corretto: $2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$ . Scrivi $\frac{1}{(2x)^3}$ solo quando il testo dice $(2x)^{-3}$ con le parentesi.

Capovolgere la frazione ma dimenticare la potenza, oppure renderla negativa: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{3}{2}$ o $-\frac{4}{9}$

Perché è sbagliato: Il segno meno capovolge la frazione, e il $2$ la eleva comunque al quadrato. Entrambe le parti dell'esponente hanno un compito.

Corretto: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$

Sottrarre male un esponente negativo: $\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{3}$

Perché è sbagliato: Il quoziente di potenze sottrae l'intero esponente, segno compreso: $5 - (-2)$ , non $5 - 2$ .

Corretto: $\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{5-(-2)} = x^{7}$

Visuale interattivo

Potenze come fattori ripetuti

Quoziente di potenze

Stessa base, si divide: si sottraggono gli esponenti.

\frac{x^{2}}{x^{5}}

Scrivi ogni potenza come prodotto di fattori uguali

x

x

x

x

x

x

x

2 fattori comuni si semplificano sopra e sotto

Restano 3 fattori al denominatore: esponente negativo

\displaystyle \frac{1}{x^{3}} = x^{-3}

Risultato

\displaystyle \frac{x^{2}}{x^{5}}

=

\displaystyle x^{2 - 5}

=

\displaystyle x^{-3}

=

\displaystyle \frac{1}{x^{3}}

Vale per ogni base tranne 0

Esponente m2Esponente n5

Base:

Calcola:10³ = 1000

Guarda come le potenze di un numero crescono sulla linea numerica. Cambia la base e l'esponente.

Base:

Calcola:2³ = 8

Guarda come le potenze di un numero crescono sulla linea numerica. Cambia la base e l'esponente.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Qual è il valore di $2^{-3}$ ?

Perché è importante

Gli esponenti negativi ci permettono di scrivere numeri molto piccoli con la stessa facilità di quelli molto grandi, e fanno funzionare le proprietà delle potenze in ogni caso:

Scienze: un globulo rosso è largo circa $8 \times 10^{-6}$ metri, e un nanosecondo dura $10^{-9}$ secondi
Prefissi del sistema metrico: milli significa $10^{-3}$ e micro significa $10^{-6}$ , quindi 1 mm $= 10^{-3}$ m
Fotografia: ogni stop della fotocamera dimezza la luce, quindi 3 stop lasciano passare $2^{-3} = \frac{1}{8}$ della luce
Algebra: con il quoziente di potenze con la stessa base, $\frac{x^2}{x^5} = x^{2-5} = x^{-3}$ . Senza esponenti negativi, questo risultato non avrebbe senso

Quando passi da

x^{-3}

\frac{1}{x^3}

senza pensarci, semplificare espressioni lunghe diventa un'abitudine.

Applicazioni nel mondo reale

Misure minuscole nelle scienze

Gli scienziati scrivono lunghezze molto piccole con potenze di 10 negative. I prefissi milli, micro e nano valgono $10^{-3}$, $10^{-6}$ e $10^{-9}$.

Esempio:

Un millimetro è $10^{-3}$ m $= 0{,}001$ m, e un batterio tipico è lungo circa $2 \times 10^{-6}$ m.

1Provaci tu stesso

Un capello umano ha uno spessore di circa $10^{-4}$ metri.

Scrivi lo spessore del capello come numero decimale in metri.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Riscrivi $10^{-4}$ come $\frac{1}{10^4}$ e dividi:

Gli stop di esposizione in fotografia

I fotografi misurano la luce in stop. Ogni stop più scuro dimezza la luce, quindi $n$ stop lasciano passare $2^{-n}$ della luce iniziale.

Esempio:

Un filtro da 3 stop lascia passare $2^{-3} = \frac{1}{8}$ della luce.

2Provaci tu stesso

Una fotografa mette un filtro da 5 stop davanti all'obiettivo.

Quale frazione della luce raggiunge la fotocamera?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Ogni stop dimezza la luce, quindi la frazione è $2^{-5}$ :

Diluire campioni in laboratorio

In laboratorio un campione viene spesso diluito 1 a 10 più volte di seguito. Dopo $n$ diluizioni, la concentrazione è $10^{-n}$ volte quella iniziale.

Esempio:

Dopo 3 diluizioni, un campione ha solo $10^{-3} = 0{,}001$ della sua concentrazione iniziale.

3Provaci tu stesso

Un campione contiene 20000 batteri per millilitro. Viene diluito 1 a 10 quattro volte di seguito.

Quanti batteri per millilitro restano?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica la quantità iniziale per $10^{-4}$ :

Punti chiave

1Un esponente negativo significa reciproco: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ per $a \neq 0$
2Un esponente negativo non rende negativo il numero: $2^{-3} = \frac{1}{8}$
3La regola funziona in entrambe le direzioni: $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$ , quindi un fattore attraversa la linea di frazione cambiando il segno del suo esponente
4Una frazione con esponente negativo si capovolge: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$
5Le potenze di 10 negative sono piccoli numeri decimali: $10^{-3} = 0{,}001$
6Prodotto, quoziente e potenza di una potenza funzionano anche con esponenti negativi; alla fine riscrivi tutto con esponenti positivi

Domande frequenti

Per il prodotto di potenze con la stessa base,

a^{1} \times a^{-1} = a^{0} = 1

. Il numero per cui moltiplichi

a

per ottenere

1

\frac{1}{a}

, quindi

a^{-1} = \frac{1}{a}

Glossario

Esponente negativo: Un esponente minore di zero. $a^{-n}$ significa $\frac{1}{a^n}$ .
Reciproco (inverso): Il numero per cui si moltiplica per ottenere 1. Il reciproco di $5$ è $\frac{1}{5}$ , e il reciproco di $\frac{2}{3}$ è $\frac{3}{2}$ .
Base: Il numero che viene moltiplicato per sé stesso. In $10^{-3}$ la base è $10$ .
Forma con esponenti positivi: Un'espressione riscritta in modo che tutti gli esponenti siano positivi, ad esempio $\frac{y^2}{x^3}$ invece di $x^{-3}y^{2}$ .
Coefficiente: Il numero davanti a una variabile. In $2x^{-3}$ il coefficiente è $2$ e l'esponente non lo riguarda.

Scheda formule

Esponente negativo

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Un esponente negativo significa reciproco ($a \neq 0$)

Esponente negativo al denominatore

\frac{1}{a^{-n}} = a^n

Un fattore attraversa la linea di frazione e il suo esponente cambia segno

Frazione con esponente negativo

\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n

Capovolgi la frazione, poi usa l'esponente positivo

Piccole potenze di 10

10^{-n} = 0{,}\underbrace{0\ldots0}_{n-1}1

Ad esempio $10^{-3} = 0{,}001$

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