Una potenza di una potenza

Semplifica $(5^2)^4$.

Individua la base e i due esponenti: Base $5$, esponente interno $2$, esponente esterno $4$ = Una potenza elevata a potenza

Scrivila come prodotto: $(5^2)^4 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2+2+2}$ = $5^8$

Usa la scorciatoia: moltiplica gli esponenti: $2 \cdot 4 = 8$ = $(5^2)^4 = 5^8$

Answer: $(5^2)^4 = 5^8 = 390\,625$

Potenza di un prodotto

Semplifica $(2x)^4$.

Dai l'esponente a ogni fattore nella parentesi: $(2x)^4 = 2^4 \cdot x^4$ = Sia $2$ sia $x$ ricevono l'esponente $4$

Calcola il numero: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ = $16$

Scrivi il risultato: $16 \cdot x^4$ = $16x^4$

Answer: $(2x)^4 = 16x^4$

Non dimenticare il coefficiente

Semplifica $(3x^2)^3$.

Dai l'esponente a ogni fattore: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3$ = Due fattori: $3$ e $x^2$

Eleva il coefficiente: $3^3 = 27$ = $27$

Potenza di una potenza per la variabile: $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$ = $x^6$

Metti insieme le parti: $27 \cdot x^6$ = $27x^6$

Answer: $(3x^2)^3 = 27x^6$

Potenza di un quoziente

Semplifica $\left(\frac{x^3}{2}\right)^4$.

Eleva il numeratore e il denominatore: $\left(\frac{x^3}{2}\right)^4 = \frac{(x^3)^4}{2^4}$ = Due potenze separate

Numeratore: moltiplica gli esponenti: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$ = $x^{12}$

Denominatore: calcola la potenza: $2^4 = 16$ = $16$

Scrivi la frazione: $\frac{x^{12}}{16}$ = $\frac{x^{12}}{16}$

Answer: $\left(\frac{x^3}{2}\right)^4 = \frac{x^{12}}{16}$

Tutte e tre le regole insieme

Semplifica $\frac{(2a^3)^2 \cdot a^4}{(a^2)^3}$.

Potenza di un prodotto al numeratore: $(2a^3)^2 = 2^2 \cdot a^{3 \cdot 2} = 4a^6$ = $4a^6$

Prodotto di potenze con la stessa base: somma gli esponenti: $4a^6 \cdot a^4 = 4a^{6+4}$ = $4a^{10}$

Potenza di una potenza al denominatore: $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3}$ = $a^6$

Quoziente di potenze con la stessa base: sottrai gli esponenti: $\frac{4a^{10}}{a^6} = 4a^{10-6}$ = $4a^4$

Answer: $\frac{(2a^3)^2 \cdot a^4}{(a^2)^3} = 4a^4$

Mistake: Sommare gli esponenti: $(x^3)^4 = x^7$

Why: Si somma nel prodotto di potenze, come $x^3 \cdot x^4$. Qui il $4$ esterno significa quattro copie di $x^3$, quindi l'esponente è $3 + 3 + 3 + 3 = 12$.

Correct: Moltiplica gli esponenti: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$

Mistake: Pensare che $(a + b)^2 = a^2 + b^2$

Why: La regola $(ab)^n = a^n b^n$ vale per un prodotto, non per una somma. Prova con i numeri: $(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$, ma $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Correct: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$, quindi $(3 + 4)^2 = 9 + 24 + 16 = 49$

Mistake: Considerare uguali $(2^3)^2$ e $2^{3^2}$

Why: Le parentesi cambiano l'ordine. $(2^3)^2$ eleva al quadrato $2^3$, mentre in $2^{3^2}$ si calcola prima l'esponente in alto, $3^2 = 9$.

Correct: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$, ma $2^{3^2} = 2^9 = 512$

Mistake: Dimenticare il coefficiente: $(3x^2)^3 = 3x^6$

Why: L'esponente vale per ogni fattore dentro la parentesi, e anche il numero $3$ è un fattore.

Correct: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot x^6 = 27x^6$

La memoria del computer

I computer contano la memoria in potenze di 2. Ogni unità più grande vale $2^{10} = 1024$ volte quella precedente.

Un kilobyte è $2^{10}$ byte e un megabyte è $2^{10}$ kilobyte, quindi un megabyte è $(2^{10})^2 = 2^{20}$ byte.

Ingrandire una foto

Quando un'immagine viene ingrandita, la larghezza e l'altezza vengono moltiplicate per lo stesso fattore, quindi l'area (il numero di pixel) cresce secondo il quadrato di quel fattore.

Raddoppiando la larghezza e l'altezza di una foto, il numero di pixel viene moltiplicato per $2^2 = 4$.

L'energia e la velocità della luce

La formula di Einstein $E = mc^2$ eleva al quadrato la velocità della luce $c$, che è di circa $3 \cdot 10^8$ metri al secondo.

Per elevare al quadrato $3 \cdot 10^8$, eleva separatamente il $3$ e la potenza di dieci, perché sono entrambi fattori.

Q: Perché moltiplichiamo gli esponenti invece di sommarli?

A: Perché $(a^m)^n$ significa $n$ copie di $a^m$ moltiplicate tra loro. Per il prodotto di potenze con la stessa base i loro esponenti si sommano: $m + m + \dots + m$ ($n$ volte), cioè $m \cdot n$.

Q: $(a^2)^3$ è uguale a $(a^3)^2$?

A: Sì. Entrambe valgono $a^6$, perché $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2$. Verifica con i numeri: $(2^2)^3 = 4^3 = 64$ e $(2^3)^2 = 8^2 = 64$.

Q: Che cosa significa $2^{3^2}$ senza parentesi?

A: Una torre di esponenti si calcola dall'alto verso il basso: prima $3^2 = 9$, poi $2^9 = 512$. Se intendi $(2^3)^2 = 64$, devi scrivere le parentesi.

Q: La regola vale anche per una somma, come $(x + 2)^2$?

A: No. L'esponente si può distribuire solo sui fattori. Una somma va sviluppata: $(x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4$.