$(a^2)^3$ è uguale a $(a^3)^2$?

Sì. Entrambe valgono $a^6$, perché $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2$. Verifica con i numeri: $(2^2)^3 = 4^3 = 64$ e $(2^3)^2 = 8^2 = 64$.

Che cosa significa $2^{3^2}$ senza parentesi?

Una torre di esponenti si calcola dall'alto verso il basso: prima $3^2 = 9$, poi $2^9 = 512$. Se intendi $(2^3)^2 = 64$, devi scrivere le parentesi.

La regola vale anche per una somma, come $(x + 2)^2$?

No. L'esponente si può distribuire solo sui fattori. Una somma va sviluppata: $(x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4$.

Risorse per insegnanti

Potenza di una potenza

Q: Perché moltiplichiamo gli esponenti invece di sommarli?

Perché $(a^m)^n$ significa $n$ copie di $a^m$ moltiplicate tra loro. Per il prodotto di potenze con la stessa base i loro esponenti si sommano: $m + m + \dots + m$ ($n$ volte), cioè $m \cdot n$.

Scopri perché elevare una potenza a un'altra potenza significa moltiplicare gli esponenti, e come elevare a potenza prodotti, quozienti e coefficienti.

Intermedio25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Quando una potenza viene elevata a un'altra potenza, tieni la base e moltiplichi gli esponenti:

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Perché funziona: l'esponente esterno

n

dice "usa

a^m

come fattore

n

volte". Il prodotto di potenze con la stessa base (si sommano gli esponenti) fa il resto:

(2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6 = 64

Sommare l'esponente

m

per

n

volte è la stessa cosa di

m \cdot n

Due regole collegate nascono dalla stessa idea:

Potenza di un prodotto: $(ab)^n = a^n b^n$ . Ogni fattore dentro la parentesi riceve l'esponente, anche il numero davanti: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3 = 27x^6$
Potenza di un quoziente: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ (con $b \neq 0$ )

Attenzione alle parentesi:

(2^3)^2 = 2^6 = 64

, ma

2^{3^2} = 2^9 = 512

. Senza parentesi si calcola prima l'esponente in alto.

In questa lezione tutti gli esponenti sono numeri interi positivi.

Prova subito

Semplifica

(x^3)^4

Esempi svolti

Semplifica $(5^2)^4$ .

Individua la base e i due esponenti

Base $5$ , esponente interno $2$ , esponente esterno $4$ → Una potenza elevata a potenza

Scrivila come prodotto

$(5^2)^4 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2+2+2}$ → $5^8$

Usa la scorciatoia: moltiplica gli esponenti

$2 \cdot 4 = 8$ → $(5^2)^4 = 5^8$

Risposta: $(5^2)^4 = 5^8 = 390\,625$

Errori comuni

Sommare gli esponenti: $(x^3)^4 = x^7$

Perché è sbagliato: Si somma nel prodotto di potenze, come $x^3 \cdot x^4$ . Qui il $4$ esterno significa quattro copie di $x^3$ , quindi l'esponente è $3 + 3 + 3 + 3 = 12$ .

Corretto: Moltiplica gli esponenti: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$

Pensare che $(a + b)^2 = a^2 + b^2$

Perché è sbagliato: La regola $(ab)^n = a^n b^n$ vale per un prodotto, non per una somma. Prova con i numeri: $(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$ , ma $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ .

Corretto: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$ , quindi $(3 + 4)^2 = 9 + 24 + 16 = 49$

Considerare uguali $(2^3)^2$ e $2^{3^2}$

Perché è sbagliato: Le parentesi cambiano l'ordine. $(2^3)^2$ eleva al quadrato $2^3$ , mentre in $2^{3^2}$ si calcola prima l'esponente in alto, $3^2 = 9$ .

Corretto: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ , ma $2^{3^2} = 2^9 = 512$

Dimenticare il coefficiente: $(3x^2)^3 = 3x^6$

Perché è sbagliato: L'esponente vale per ogni fattore dentro la parentesi, e anche il numero $3$ è un fattore.

Corretto: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot x^6 = 27x^6$

Visuale interattivo

Potenze come fattori ripetuti

Potenza di potenza

Potenza di potenza: si moltiplicano gli esponenti.

\left(2^{3}\right)^{2}

Scrivi ogni potenza come prodotto di fattori uguali

2

2

2

2^{3}

3 fattori

2

2

2

2^{3}

3 fattori

2 gruppi da 3: 2 · 3 = 6 fattori

Risultato

\displaystyle \left(2^{3}\right)^{2}

=

\displaystyle 2^{3 \cdot 2}

=

\displaystyle 2^{6}

Valore: $2^{6} = 64$

Esponente m3Esponente n2

Ordine delle operazioni

1. Parentesi
2. Potenze
3. × e ÷
4. + e −

2^{\colorbox{#fde68a}{$\color{#1f2937}3^{2}$}}

Poi le potenze: $3^{2} = 9$

Passo 1 di 2

Modello ad area: quadrato di un binomio

Un quadrato di lato x + a: due strisce uguali a·x e un angolo a², quindi il termine centrale è 2ax.

Lunghezza × larghezza = area

$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Semplifica $(x^3)^4$ .

Perché è importante

La regola della potenza di una potenza trasforma lunghe catene di moltiplicazioni in un solo passaggio veloce:

Aree e volumi: un quadrato di lato $10^3$ m ha area $(10^3)^2 = 10^6$ m², e un cubo con spigolo $2^2$ cm ha volume $(2^2)^3 = 2^6 = 64$ cm³
Memoria del computer: un kilobyte è $2^{10}$ byte, e $(2^{10})^3 = 2^{30}$ byte sono poco più di un miliardo di byte
Scienze: in $E = mc^2$ la velocità della luce $3 \cdot 10^8$ m/s viene elevata al quadrato: $(3 \cdot 10^8)^2 = 9 \cdot 10^{16}$
Algebra: un quadrato di lato $3x^2$ ha area $(3x^2)^2 = 9x^4$

Insieme al prodotto e al quoziente di potenze con la stessa base, ti permette di semplificare quasi ogni espressione con potenze della stessa base.

Applicazioni nel mondo reale

La memoria del computer

I computer contano la memoria in potenze di 2. Ogni unità più grande vale $2^{10} = 1024$ volte quella precedente.

Esempio:

Un kilobyte è $2^{10}$ byte e un megabyte è $2^{10}$ kilobyte, quindi un megabyte è $(2^{10})^2 = 2^{20}$ byte.

1Provaci tu stesso

Un gigabyte è $2^{10}$ megabyte, cioè $2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^{10}$ byte, che è $(2^{10})^3$ byte.

Scrivi il numero di byte di un gigabyte come un'unica potenza di 2.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Semplifica $(2^{10})^3$ :

Ingrandire una foto

Quando un'immagine viene ingrandita, la larghezza e l'altezza vengono moltiplicate per lo stesso fattore, quindi l'area (il numero di pixel) cresce secondo il quadrato di quel fattore.

Esempio:

Raddoppiando la larghezza e l'altezza di una foto, il numero di pixel viene moltiplicato per $2^2 = 4$ .

2Provaci tu stesso

Una foto viene ingrandita in modo che la larghezza e l'altezza vengano moltiplicate ciascuna per $2^3$ .

Per quale fattore viene moltiplicato il numero di pixel?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Il fattore dell'area è $(2^3)^2$ :

L'energia e la velocità della luce

La formula di Einstein $E = mc^2$ eleva al quadrato la velocità della luce $c$, che è di circa $3 \cdot 10^8$ metri al secondo.

Esempio:

Per elevare al quadrato $3 \cdot 10^8$ , eleva separatamente il $3$ e la potenza di dieci, perché sono entrambi fattori.

3Provaci tu stesso

La velocità della luce è di circa $c = 3 \cdot 10^8$ m/s.

Quanto vale $c^2 = (3 \cdot 10^8)^2$ in notazione scientifica?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa la potenza di un prodotto e la potenza di una potenza:

Punti chiave

1Potenza di una potenza: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ , si tiene la base e si moltiplicano gli esponenti
2La regola nasce dal prodotto di potenze con la stessa base: $(2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6$
3Potenza di un prodotto: $(ab)^n = a^n b^n$ , ogni fattore riceve l'esponente, anche il coefficiente: $(3x^2)^3 = 27x^6$
4Potenza di un quoziente: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ , si elevano il numeratore e il denominatore
5Le parentesi contano: $(2^3)^2 = 64$ , ma $2^{3^2} = 512$
6Le regole valgono solo per prodotti e quozienti: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$

Domande frequenti

Perché

(a^m)^n

significa

n

copie di

a^m

moltiplicate tra loro. Per il prodotto di potenze con la stessa base i loro esponenti si sommano:

m + m + \dots + m

(

n

volte), cioè

m \cdot n

Glossario

Potenza di una potenza: Una potenza elevata a un'altra potenza, come $(a^m)^n$ . È uguale a $a^{m \cdot n}$ .
Potenza di un prodotto: Un prodotto elevato a potenza: $(ab)^n = a^n b^n$ . Ogni fattore riceve l'esponente.
Potenza di un quoziente: Una frazione elevata a potenza: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ , con $b \neq 0$ .
Coefficiente: Il numero davanti a una variabile. In $3x^2$ il coefficiente è $3$ .
Base: Il numero o la variabile che viene moltiplicata. In $(x^2)^3$ la base è $x$ .
Esponente: Il piccolo numero in alto che indica quante volte la base è usata come fattore.

Scheda formule

Potenza di una potenza

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Si tiene la base, si moltiplicano gli esponenti

Potenza di un prodotto

(ab)^n = a^n b^n

Ogni fattore nella parentesi riceve l'esponente

Potenza di un quoziente

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

Si elevano il numeratore e il denominatore ($b \neq 0$)

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Introduzione agli Esponenti

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Radici quadrate e radici cubiche

Prodotto di potenze con la stessa base