Potenza di una potenza

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Semplifica $(x^3)^4$ .
1. a) $x^{7}$
2. b) $x^{81}$
3. c) $x^{12}$
4. d) $4x^{3}$
Risposta: $x^{12}$
$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$ . La risposta $x^7$ nasce dalla somma degli esponenti, che è la regola per $x^3 \cdot x^4$ .
2.
$(2^3)^2 = 2^{\square}$ . Quale numero va nella casella?
Risposta: 6
$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$ . Verifica: $8^2 = 64$ e $2^6 = 64$ .
3.
Semplifica $(a^5)^2$ scrivendolo prima come prodotto.
Risposta: a^10
1. Quanti fattori $a^5$ ci sono in $(a^5)^2$ ? 2
2. $a^5 \cdot a^5 = a^{?}$ (somma gli esponenti) 10
3. Verifica con la scorciatoia: $5 \cdot 2 = ?$ 10
4.
Calcola $(3^2)^2$ .
Risposta: 81
$(3^2)^2 = 9^2 = 81$ . Con la regola: $3^{2 \cdot 2} = 3^4 = 81$ .
5.
Quale espressione è uguale a $(5y)^2$ ?
1. a) $25y^2$
2. b) $25y$
3. c) $10y^2$
4. d) $5y^2$
Risposta: $25y^2$
$(5y)^2 = 5^2 \cdot y^2 = 25y^2$ . In $5y^2$ ci si dimentica di elevare al quadrato il $5$ , e $10y^2$ moltiplica $5$ per $2$ invece di elevarlo al quadrato.
6.
Confronta $(2^2)^3$ e $(2^3)^2$ .
Risposta: 64
1. $(2^2)^3 = 2^{?}$ 6
2. $(2^3)^2 = 2^{?}$ 6
3. Entrambi sono $2^6$ . Quanto fa $2^6$ ? 64
7.
$(2x^3)^4 = \square \, x^{12}$ . Quale numero va nella casella?
Risposta: 16
Ogni fattore riceve l'esponente: $(2x^3)^4 = 2^4 \cdot (x^3)^4 = 16x^{12}$ .
8.
Qual è il valore di $2^{3^2}$ (senza parentesi)?
1. a)512
2. b)128
3. c)36
4. d)64
Risposta: 512
Senza parentesi l'esponente in alto viene prima: $3^2 = 9$ , quindi $2^{3^2} = 2^9 = 512$ . Il valore $64$ appartiene a $(2^3)^2 = 2^6$ .
9.
Semplifica $(3x^2)^3$ .
Risposta: 27x^6
1. Eleva il coefficiente: $3^3 = ?$ 27
2. $(x^2)^3 = x^{?}$ 6
3. Verifica con $x = 1$ : $(3 \cdot 1^2)^3 = ?$ 27
10.
Semplifica $\left(\frac{x^2}{3}\right)^3$ .
Risposta: x^6/27
1. Numeratore: $(x^2)^3 = x^{?}$ 6
2. Denominatore: $3^3 = ?$ 27
3. Verifica con $x = 3$ : $\frac{3^6}{27} = \frac{729}{27} = ?$ 27
11.
$(10^2)^3 \cdot 10^4 = 10^{\square}$ . Quale numero va nella casella?
Risposta: 10
$(10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6$ , e $10^6 \cdot 10^4 = 10^{6+4} = 10^{10}$ .
12.
Quale affermazione è vera per tutti i numeri $a$ e $b$ ?
1. a) $(2a)^3 = 2a^3$
2. b) $(a + b)^2 = a^2 + b^2$
3. c) $(ab)^2 = a^2 b^2$
4. d) $(a^2)^3 = a^5$
Risposta: $(ab)^2 = a^2 b^2$
Solo $(ab)^2 = a^2 b^2$ è sempre vera. Infatti $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , $(a^2)^3 = a^6$ e $(2a)^3 = 8a^3$ .
13.
Mostra con i numeri che $(3 + 4)^2 \neq 3^2 + 4^2$ .
Risposta: 24
1. $(3 + 4)^2 = 7^2 = ?$ 49
2. $3^2 + 4^2 = ?$ 25
3. Quanto manca? $49 - 25 = ?$ 24
14.
Semplifica $\frac{(x^4)^3 \cdot x^2}{(x^3)^4}$ .
Risposta: x^2
1. $(x^4)^3 = x^{?}$ 12
2. $x^{12} \cdot x^2 = x^{?}$ 14
3. $(x^3)^4 = x^{?}$ 12
4. $\frac{x^{14}}{x^{12}} = x^{?}$ 2
15.
$(2a^2b^3)^4 = 16a^8 b^{\square}$ . Quale numero va nella casella?
Risposta: 12
$(2a^2b^3)^4 = 2^4 \cdot a^{2 \cdot 4} \cdot b^{3 \cdot 4} = 16a^8b^{12}$ . Ognuno dei tre fattori viene elevato a potenza.
16.
Semplifica $(2x^2y)^3 \cdot (xy^2)^2$ .
Risposta: 8x^8y^7
1. Coefficiente di $(2x^2y)^3$ : $2^3 = ?$ 8
2. Esponente di $x$ in $(2x^2y)^3$ 6
3. Esponente di $y$ in $(xy^2)^2$ 4
4. Esponente totale di $x$ dopo la moltiplicazione: $x^6 \cdot x^2 = x^{?}$ 8
5. Esponente totale di $y$ dopo la moltiplicazione: $y^3 \cdot y^4 = y^{?}$ 7
17.
Semplifica $\left(\frac{2x^3}{y^2}\right)^3$ .
1. a) $\frac{6x^9}{y^6}$
2. b) $\frac{2x^9}{y^6}$
3. c) $\frac{8x^6}{y^5}$
4. d) $\frac{8x^9}{y^6}$
Risposta: $\frac{8x^9}{y^6}$
$\left(\frac{2x^3}{y^2}\right)^3 = \frac{2^3 \cdot x^{3 \cdot 3}}{y^{2 \cdot 3}} = \frac{8x^9}{y^6}$ . $6x^9$ moltiplica $2$ per $3$ , $x^6$ e $y^5$ sommano gli esponenti, e $2x^9$ dimentica il coefficiente.
18.
Un cubo ha spigoli lunghi $3 \cdot 10^2$ cm, quindi il suo volume è $(3 \cdot 10^2)^3$ cm³. Calcola il volume.
Risposta: 27000000
1. $3^3 = ?$ 27
2. $(10^2)^3 = 10^{?}$ 6
3. Scrivi il volume $27 \cdot 10^6$ cm³ come numero normale (solo cifre) 27000000