Dividere potenze dello stesso numero

Semplifica $\frac{5^6}{5^2}$ e calcola il valore.

Controlla le basi: Entrambe le potenze hanno base $5$ = Stessa base, la proprietà si può applicare

Sottrai gli esponenti (alto meno basso): $6 - 2 = 4$ = $5^4$

Calcola la potenza: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ = $625$

Verifica calcolando le due potenze: $5^6 \div 5^2 = 15625 \div 25$ = $625$, lo stesso risultato

Answer: $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$

Dividere potenze di una variabile

Semplifica $\frac{x^9}{x^4}$ (con $x \neq 0$).

Pensa ai fattori: $9$ fattori $x$ in alto, $4$ fattori $x$ in basso = $4$ fattori comuni

Semplifica i fattori comuni: Ogni $x$ in basso si semplifica con una $x$ in alto = Restano $9 - 4 = 5$ fattori in alto

Scrivi il risultato come potenza: $x^{9-4}$ = $x^5$

Answer: $\frac{x^9}{x^4} = x^5$

Dividere con i coefficienti

Semplifica $\frac{12x^7}{4x^3}$.

Separa la parte numerica e la parte con le potenze: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot \frac{x^7}{x^3}$ = Due divisioni separate

Dividi i coefficienti: $12 \div 4$ = $3$

Sottrai gli esponenti: $7 - 3 = 4$ = $x^4$

Rimetti insieme le due parti: $3 \cdot x^4$ = $3x^4$

Answer: $\frac{12x^7}{4x^3} = 3x^4$

Due variabili diverse

Semplifica $\frac{18a^6b^5}{6a^2b}$.

Dividi i coefficienti: $18 \div 6$ = $3$

Applica la proprietà alla base $a$: $a^{6-2}$ = $a^4$

Applica la proprietà alla base $b$ (ricorda che $b = b^1$): $b^{5-1}$ = $b^4$

Metti insieme tutte le parti: $3 \cdot a^4 \cdot b^4$ = $3a^4b^4$

Answer: $\frac{18a^6b^5}{6a^2b} = 3a^4b^4$

Prima il prodotto, poi il quoziente

Semplifica $\frac{6x^5 \cdot 2x^3}{4x^6}$.

Moltiplica i coefficienti al numeratore: $6 \cdot 2$ = $12$

Applica la proprietà del prodotto al numeratore (somma gli esponenti): $x^5 \cdot x^3 = x^{5+3}$ = Numeratore: $12x^8$

Dividi i coefficienti: $12 \div 4$ = $3$

Applica la proprietà del quoziente (sottrai gli esponenti): $x^{8-6}$ = $x^2$

Answer: $\frac{6x^5 \cdot 2x^3}{4x^6} = 3x^2$

Mistake: Dividere gli esponenti: $\frac{x^8}{x^2} = x^4$

Why: Dividere le potenze non significa dividere gli esponenti. I $2$ fattori in basso si semplificano con $2$ degli $8$ fattori in alto, quindi ne restano $8 - 2$, non $8 \div 2$.

Correct: $\frac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6$

Mistake: Sottrarre nell'ordine sbagliato: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{2-7}$

Why: L'esponente del numeratore viene sempre per primo. Qui in alto ci sono più fattori, quindi dopo la semplificazione i fattori restano in alto e l'esponente è positivo.

Correct: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5 = 243$

Mistake: Dividere le basi: $\frac{6^5}{6^2} = 1^3$

Why: La base dice quale numero viene moltiplicato e non cambia. Cambia solo il numero dei fattori.

Correct: $\frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3 = 216$

Mistake: Sottrarre anche i coefficienti: $\frac{12x^7}{4x^3} = 8x^4$

Why: I coefficienti sono numeri normali e la linea di frazione indica una divisione: $12 \div 4$. Si sottraggono solo gli esponenti della stessa base.

Correct: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot x^{7-3} = 3x^4$

Foto su una scheda di memoria

La memoria del computer si conta in potenze di 2, quindi dividere le dimensioni di archiviazione è un lavoro per la proprietà del quoziente.

1 MB corrisponde a $2^{20}$ byte e 1 KB a $2^{10}$ byte, quindi 1 MB contiene $\frac{2^{20}}{2^{10}} = 2^{10} = 1024$ KB.

Quanto tempo impiega la luce del Sole ad arrivare sulla Terra

Gli astronomi dividono distanze enormi per velocità scritte in notazione scientifica: si dividono i numeri davanti e si sottraggono gli esponenti di 10.

Una distanza di $6 \times 10^8$ km a $3 \times 10^5$ km al secondo richiede $\frac{6}{3} \times 10^{8-5} = 2 \times 10^3 = 2000$ secondi.

Budget per abitante

Gli economisti dividono grandi somme di denaro per il numero di abitanti per confrontare paesi di dimensioni diverse.

Se $8 \times 10^9$ € vengono divisi tra $4 \times 10^6$ persone, a ognuna spettano $2 \times 10^3 = 2000$ €.

Q: Perché la proprietà dice $a \neq 0$?

A: Perché non si può dividere per zero. Con $a = 0$ il denominatore $0^n$ varrebbe $0$ e la frazione non avrebbe alcun valore.

Q: Che cosa succede quando i due esponenti sono uguali?

A: Allora si semplificano tutti i fattori, per esempio $\frac{4^3}{4^3} = 1$. La proprietà dà $4^{3-3} = 4^0$, e perché $4^0$ vale $1$ lo spiega la lezione Esponente zero.

Q: E se l'esponente in basso è più grande, come in $\frac{2^3}{2^5}$?

A: Semplifica come al solito: $3$ fattori si semplificano e restano $2$ fattori $2$ in basso, quindi $\frac{2^3}{2^5} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Come scriverlo con un solo esponente lo mostra la lezione Esponenti negativi.

Q: Posso usare la proprietà con basi diverse, come $\frac{6^4}{2^3}$?

A: No. La proprietà conta solo i fattori di una stessa base. Calcola invece le potenze: $\frac{6^4}{2^3} = \frac{1296}{8} = 162$.