Che cosa succede quando i due esponenti sono uguali?

Allora si semplificano tutti i fattori, per esempio $\frac{4^3}{4^3} = 1$. La proprietà dà $4^{3-3} = 4^0$, e perché $4^0$ vale $1$ lo spiega la lezione Esponente zero.

E se l'esponente in basso è più grande, come in $\frac{2^3}{2^5}$?

Semplifica come al solito: $3$ fattori si semplificano e restano $2$ fattori $2$ in basso, quindi $\frac{2^3}{2^5} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Come scriverlo con un solo esponente lo mostra la lezione Esponenti negativi.

Posso usare la proprietà con basi diverse, come $\frac{6^4}{2^3}$?

No. La proprietà conta solo i fattori di una stessa base. Calcola invece le potenze: $\frac{6^4}{2^3} = \frac{1296}{8} = 162$.

Risorse per insegnanti

Quoziente di potenze con la stessa base

Q: Perché la proprietà dice $a \neq 0$?

Perché non si può dividere per zero. Con $a = 0$ il denominatore $0^n$ varrebbe $0$ e la frazione non avrebbe alcun valore.

Scopri perché dividere potenze con la stessa base significa sottrarre gli esponenti e applica la regola a numeri, variabili e coefficienti.

Intermedio20 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

La proprietà del quoziente di potenze dice: quando dividi due potenze con la stessa base, mantieni la base e sottrai gli esponenti (esponente in alto meno esponente in basso):

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)

Perché funziona: scrivi entrambe le potenze come prodotti di fattori e semplifica i fattori comuni, perché ogni numero diviso per sé stesso fa

1

\frac{5^6}{5^2} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot \cancel{5}} = 5^4

2

fattori al denominatore si semplificano con

2

dei

6

fattori al numeratore, quindi restano

6 - 2 = 4

fattori.

Verifica con i numeri:

5^6 \div 5^2 = 15625 \div 25 = 625 = 5^4

In questa lezione l'esponente in alto è sempre il più grande (

m > n

). Quando i due esponenti sono uguali, si semplifica tutto (lezione Esponente zero); quando l'esponente in basso è più grande, restano fattori al denominatore (lezione Esponenti negativi).

Prova subito

Semplifica

\frac{7^9}{7^3}

Esempi svolti

Semplifica $\frac{5^6}{5^2}$ e calcola il valore.

Controlla le basi

Entrambe le potenze hanno base $5$ → Stessa base, la proprietà si può applicare

Sottrai gli esponenti (alto meno basso)

$6 - 2 = 4$ → $5^4$

Calcola la potenza

$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ → $625$

Verifica calcolando le due potenze

$5^6 \div 5^2 = 15625 \div 25$ → $625$ , lo stesso risultato

Risposta: $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$

Errori comuni

Dividere gli esponenti: $\frac{x^8}{x^2} = x^4$

Perché è sbagliato: Dividere le potenze non significa dividere gli esponenti. I $2$ fattori in basso si semplificano con $2$ degli $8$ fattori in alto, quindi ne restano $8 - 2$ , non $8 \div 2$ .

Corretto: $\frac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6$

Sottrarre nell'ordine sbagliato: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{2-7}$

Perché è sbagliato: L'esponente del numeratore viene sempre per primo. Qui in alto ci sono più fattori, quindi dopo la semplificazione i fattori restano in alto e l'esponente è positivo.

Corretto: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5 = 243$

Dividere le basi: $\frac{6^5}{6^2} = 1^3$

Perché è sbagliato: La base dice quale numero viene moltiplicato e non cambia. Cambia solo il numero dei fattori.

Corretto: $\frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3 = 216$

Sottrarre anche i coefficienti: $\frac{12x^7}{4x^3} = 8x^4$

Perché è sbagliato: I coefficienti sono numeri normali e la linea di frazione indica una divisione: $12 \div 4$ . Si sottraggono solo gli esponenti della stessa base.

Corretto: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot x^{7-3} = 3x^4$

Visuale interattivo

Potenze come fattori ripetuti

Quoziente di potenze

Stessa base, si divide: si sottraggono gli esponenti.

\frac{5^{6}}{5^{2}}

Scrivi ogni potenza come prodotto di fattori uguali

5

5

5

5

5

5

5

5

2 fattori comuni si semplificano sopra e sotto

Restano 4 fattori al numeratore

\displaystyle 5^{4}

Risultato

\displaystyle \frac{5^{6}}{5^{2}}

=

\displaystyle 5^{6 - 2}

=

\displaystyle 5^{4}

Valore: $5^{4} = 625$

Vale per ogni base tranne 0

Esponente m6Esponente n2

Potenze come fattori ripetuti

Quoziente di potenze

Stessa base, si divide: si sottraggono gli esponenti.

\frac{x^{9}}{x^{4}}

Scrivi ogni potenza come prodotto di fattori uguali

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

4 fattori comuni si semplificano sopra e sotto

Restano 5 fattori al numeratore

\displaystyle x^{5}

Risultato

\displaystyle \frac{x^{9}}{x^{4}}

=

\displaystyle x^{9 - 4}

=

\displaystyle x^{5}

Vale per ogni base tranne 0

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Semplifica $\frac{7^9}{7^3}$ .

Perché è importante

Si dividono potenze ogni volta che i numeri sono molto grandi o molto piccoli:

Informatica: le dimensioni della memoria sono potenze di 2. Quanti file da 1 MB ( $2^{20}$ byte) entrano in 1 GB ( $2^{30}$ byte)? $\frac{2^{30}}{2^{20}} = 2^{10} = 1024$
Scienze: distanze e velocità in notazione scientifica si dividono sottraendo gli esponenti di 10: $\frac{10^8}{10^5} = 10^3$
Calcolo mentale: $\frac{2^{20}}{2^{17}} = 2^3 = 8$ senza mai calcolare $2^{20} = 1048576$
Algebra: semplificare frazioni come $\frac{12x^7}{4x^3}$ è il primo passo verso le frazioni algebriche e la risoluzione delle equazioni

La proprietà del quoziente trasforma una lunga divisione tra numeri enormi in una piccola sottrazione.

Applicazioni nel mondo reale

Foto su una scheda di memoria

La memoria del computer si conta in potenze di 2, quindi dividere le dimensioni di archiviazione è un lavoro per la proprietà del quoziente.

Esempio:

1 MB corrisponde a $2^{20}$ byte e 1 KB a $2^{10}$ byte, quindi 1 MB contiene $\frac{2^{20}}{2^{10}} = 2^{10} = 1024$ KB.

1Provaci tu stesso

Una scheda di memoria contiene $2^{30}$ byte. Ogni foto occupa $2^{22}$ byte.

Quante foto entrano nella scheda?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dividi la dimensione della scheda per la dimensione di una foto:

Quanto tempo impiega la luce del Sole ad arrivare sulla Terra

Gli astronomi dividono distanze enormi per velocità scritte in notazione scientifica: si dividono i numeri davanti e si sottraggono gli esponenti di 10.

Esempio:

Una distanza di $6 \times 10^8$ km a $3 \times 10^5$ km al secondo richiede $\frac{6}{3} \times 10^{8-5} = 2 \times 10^3 = 2000$ secondi.

2Provaci tu stesso

Il Sole dista circa $1{,}5 \times 10^8$ km dalla Terra. La luce percorre circa $3 \times 10^5$ km al secondo.

Circa quanti secondi impiega la luce del Sole ad arrivare sulla Terra?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Tempo = distanza diviso velocità:

Budget per abitante

Gli economisti dividono grandi somme di denaro per il numero di abitanti per confrontare paesi di dimensioni diverse.

Esempio:

Se $8 \times 10^9$ € vengono divisi tra $4 \times 10^6$ persone, a ognuna spettano $2 \times 10^3 = 2000$ €.

3Provaci tu stesso

Un paese spende $6 \times 10^{10}$ € all'anno per le scuole e ha $2 \times 10^7$ abitanti.

Quanti euro sono per abitante?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dividi il budget per il numero di abitanti:

Punti chiave

1Proprietà del quoziente: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ per $a \neq 0$ : si mantiene la base e si sottraggono gli esponenti
2La proprietà funziona perché i fattori comuni si semplificano: ogni fattore in basso si semplifica con uno in alto
3Sottrai sempre alto meno basso: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5$
4La base non cambia mai e gli esponenti non si dividono mai: $\frac{x^8}{x^2} = x^6$ , non $x^4$
5Con i coefficienti, dividi i numeri e sottrai gli esponenti: $\frac{12x^7}{4x^3} = 3x^4$
6In un'espressione mista, semplifica prima il numeratore con la proprietà del prodotto e poi applica quella del quoziente

Domande frequenti

Perché non si può dividere per zero. Con

a = 0

il denominatore

0^n

varrebbe

0

e la frazione non avrebbe alcun valore.

Glossario

Quoziente: Il risultato di una divisione. In $\frac{a^m}{a^n}$ le potenze formano un quoziente.
Base: Il numero o la variabile che viene moltiplicato. In $5^6$ la base è $5$ .
Esponente: Il numero di fattori uguali alla base. In $5^6$ l'esponente è $6$ .
Fattore comune: Un fattore che compare sia al numeratore sia al denominatore di una frazione, quindi si semplifica e dà $1$ .
Coefficiente: Il numero davanti a una variabile. In $12x^7$ il coefficiente è $12$ .

Scheda formule

Quoziente di potenze

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Stessa base $a \neq 0$: si mantiene la base e si sottraggono gli esponenti (alto meno basso)

Con i coefficienti

\frac{c\,a^m}{d\,a^n} = \frac{c}{d}\,a^{m-n}

Si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti

Prima il prodotto, poi il quoziente

\frac{a^m \cdot a^p}{a^n} = a^{m+p-n}

Si sommano gli esponenti in alto, poi si sottrae l'esponente in basso

Altro su questo argomento

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Visuale interattivo

Potenze come fattori ripetuti

Potenze come fattori ripetuti

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Cronologia

Esercizi pratici

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Foto su una scheda di memoria

Quanto tempo impiega la luce del Sole ad arrivare sulla Terra

Budget per abitante

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Quoziente di potenze

Con i coefficienti

Prima il prodotto, poi il quoziente

Altro su questo argomento

Introduzione agli Esponenti

Leggi degli esponenti

Radici quadrate e radici cubiche

Prodotto di potenze con la stessa base