Una divisione esatta

Calcola $(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3)$.

Dividi i coefficienti: $8 \div 2 = 4$ = $4$

Sottrai gli esponenti (regola del quoziente): $10^9 \div 10^3 = 10^{9-3} = 10^6$ = $10^6$

Unisci le parti e controlla il coefficiente: $4 \times 10^6$, e $1 \le 4 < 10$ = Già normalizzato

Answer: $(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3) = 4 \times 10^6$

Il coefficiente scende sotto 1

Calcola $(1{,}2 \times 10^5) \div (3 \times 10^2)$ e scrivi il risultato in notazione scientifica.

Dividi i coefficienti: $1{,}2 \div 3 = 0{,}4$ = $0{,}4$

Sottrai gli esponenti: $10^{5-2} = 10^3$ = $0{,}4 \times 10^3$

Controlla il coefficiente: $0{,}4 < 1$, quindi non è ancora notazione scientifica = Normalizzare

Sposta la virgola di un posto a destra, abbassa l'esponente di 1: $0{,}4 \times 10^3 = (4 \times 10^{-1}) \times 10^3 = 4 \times 10^2$ = $4 \times 10^2$

Answer: $(1{,}2 \times 10^5) \div (3 \times 10^2) = 4 \times 10^2 = 400$

Dividere con esponenti negativi

Calcola $(6 \times 10^{-4}) \div (2 \times 10^{-7})$.

Dividi i coefficienti: $6 \div 2 = 3$ = $3$

Scrivi per intero la sottrazione degli esponenti: $-4 - (-7)$ = Si sottrae un negativo

Sottrarre un negativo significa sommare: $-4 - (-7) = -4 + 7 = 3$ = $10^3$

Unisci le parti e controlla: $3 \times 10^3$, e $1 \le 3 < 10$ = $3 \times 10^3$

Answer: $(6 \times 10^{-4}) \div (2 \times 10^{-7}) = 3 \times 10^3 = 3000$

Un quoziente che non finisce

Calcola $(7 \times 10^8) \div (3 \times 10^3)$. Arrotonda il coefficiente a 3 cifre significative.

Dividi i coefficienti: $7 \div 3 = 2{,}333\ldots$ (il 3 si ripete all'infinito) = $2{,}333\ldots$

Arrotonda a 3 cifre significative: Cifre $2$, $3$, $3$; la cifra successiva è $3$, quindi si arrotonda per difetto = $2{,}33$

Sottrai gli esponenti: $10^{8-3} = 10^5$ = $10^5$

Unisci le parti con il segno di circa uguale: $2{,}33 \times 10^5$, e $1 \le 2{,}33 < 10$ = $\approx 2{,}33 \times 10^5$

Answer: $(7 \times 10^8) \div (3 \times 10^3) \approx 2{,}33 \times 10^5$

Quanto è vecchia la luce del Sole?

Il Sole dista circa $1{,}5 \times 10^{11}$ m dalla Terra. La luce percorre $3 \times 10^8$ m al secondo. Quanti secondi impiega la luce del Sole a raggiungerci?

Scegli l'operazione: tempo = distanza ÷ velocità: $(1{,}5 \times 10^{11}) \div (3 \times 10^8)$ = Divisione

Dividi i coefficienti: $1{,}5 \div 3 = 0{,}5$ = $0{,}5$

Sottrai gli esponenti: $10^{11-8} = 10^3$ = $0{,}5 \times 10^3$

Normalizza: $0{,}5 \times 10^3 = 5 \times 10^2$ = $5 \times 10^2$ s

Rendilo facile da immaginare: $500 \div 60 \approx 8{,}3$ = Circa 8,3 minuti

Answer: $5 \times 10^2 = 500$ secondi, poco più di 8 minuti

Mistake: Dividere gli esponenti: $10^8 \div 10^2 = 10^4$

Why: L'esponente conta quanti fattori 10 sono moltiplicati. Dividendo si semplificano fattori 10, quindi l'esponente si sottrae, non si divide.

Correct: Sottrai: $10^8 \div 10^2 = 10^{8-2} = 10^6$ (otto fattori 10 diviso due fattori 10 ne lascia sei).

Mistake: Sottrarre nell'ordine sbagliato: $10^3 \div 10^7 = 10^4$

Why: Nella divisione l'ordine conta. L'esponente del numero PER cui dividi si sottrae dall'esponente in alto.

Correct: Sempre sopra meno sotto: $10^3 \div 10^7 = 10^{3-7} = 10^{-4}$, un numero piccolo, come ci si aspetta dividendo per qualcosa di più grande.

Mistake: Normalizzare nella direzione sbagliata: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^4$

Why: Se il coefficiente diventa 10 volte più grande, la potenza di dieci deve diventare 10 volte più piccola, altrimenti il valore passa da $400$ a $40\,000$.

Correct: Coefficiente su di un posto, esponente giù di uno: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$. Verifica: entrambi valgono $400$.

Mistake: Perdere un segno con gli esponenti negativi: $10^5 \div 10^{-3} = 10^2$

Why: Il secondo segno meno è andato perso. Sottrarre $-3$ è come sommare $3$.

Correct: $10^5 \div 10^{-3} = 10^{5-(-3)} = 10^{5+3} = 10^8$. Dividere per un numero minuscolo dà un risultato grande.

Astronomia: tempo di viaggio della luce

Gli astronomi dividono una distanza per la velocità della luce per sapere da quanto tempo la luce sta viaggiando. Per questo vediamo il Sole com'era qualche minuto fa e le stelle lontane com'erano anni fa.

La Luna dista circa $3{,}84 \times 10^8$ m. La luce impiega $(3{,}84 \times 10^8) \div (3 \times 10^8) = 1{,}28 \times 10^0 = 1{,}28$ secondi per arrivarci.

Geografia: densità di popolazione

La densità di popolazione è il numero di abitanti diviso per la superficie. Mostra quanto è affollato un paese o una città, ed è così che gli urbanisti confrontano luoghi di dimensioni molto diverse.

La Germania ha circa $8{,}4 \times 10^7$ abitanti su circa $3{,}5 \times 10^5$ km². Densità: $(8{,}4 \div 3{,}5) \times 10^{7-5} = 2{,}4 \times 10^2$, cioè circa $240$ abitanti per km².

Economia: quota pro capite

Le notizie danno i dati nazionali (bilanci, debiti, spesa totale) in miliardi o migliaia di miliardi. Dividendoli per la popolazione si ottiene un importo a persona facile da immaginare.

Un paese di $4 \times 10^7$ abitanti spende $1{,}2 \times 10^{11}$ € all'anno in cibo: $(1{,}2 \div 4) \times 10^{11-7} = 0{,}3 \times 10^4 = 3 \times 10^3$, cioè circa 3000 € a persona.

Q: Dividendo, il coefficiente può superare 10?

A: No. Entrambi i coefficienti sono tra 1 e 10, quindi il loro quoziente è sempre maggiore di $0{,}1$ e minore di $10$. Per questo, nella divisione, normalizzi sempre in una sola direzione: un coefficiente minore di 1 avanza di un posto a destra e l'esponente scende di 1.

Q: Perché si sottraggono gli esponenti?

A: Perché $10^m$ è il prodotto di $m$ fattori 10. Dividere per $10^n$ semplifica $n$ di questi fattori: $\frac{10^5}{10^2} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10} = 10^3$. È la regola del quoziente $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$.

Q: E se i due numeri hanno lo stesso esponente?

A: Allora le potenze si semplificano in $10^0 = 1$ e contano solo i coefficienti: $(9 \times 10^4) \div (3 \times 10^4) = 3 \times 10^0 = 3$.

Q: Quante cifre significative devo tenere?

A: Di solito tante quante ne ha il dato meno preciso del problema. Se i dati hanno 2 o 3 cifre significative, arrotonda anche il coefficiente a 2 o 3. Tenere più cifre di quante ne abbiano i dati dà un'impressione di precisione che non c'è.