Indovinare le caramelle

Alla festa della scuola stimi che un barattolo contenga 450 caramelle gommose. In realtà ne contiene 500. Qual è il tuo errore percentuale?

Calcola l'errore assoluto: $|450 - 500| = |-50| = 50$ = Errore assoluto = 50 caramelle

Dividi per il valore reale: $\frac{50}{500} = 0{,}1$ = $0{,}1$

Moltiplica per 100: $0{,}1 \times 100\% = 10\%$ = $10\%$

Answer: Il tuo errore percentuale è del **10%**.

Punto di ebollizione dell'acqua

Al livello del mare l'acqua bolle a $100\ °\text{C}$. Nell'acqua bollente il termometro A segna $102{,}5\ °\text{C}$ e il termometro B segna $97{,}5\ °\text{C}$. Trova l'errore percentuale di ciascun termometro.

Errore assoluto del termometro A: $|102{,}5 - 100| = |2{,}5| = 2{,}5$ = $2{,}5\ °\text{C}$ in più

Errore assoluto del termometro B: $|97{,}5 - 100| = |-2{,}5| = 2{,}5$ = $2{,}5\ °\text{C}$ in meno

Dividi per il valore reale e moltiplica per 100: $\frac{2{,}5}{100} \times 100\% = 2{,}5\%$ = $2{,}5\%$ per entrambi

Answer: Entrambi i termometri hanno un errore percentuale del **2,5%**. Uno segna troppo e l'altro troppo poco, ma il valore assoluto rende positivi entrambi gli errori.

Misurare la gravità in laboratorio

In un esperimento con il pendolo misuri l'accelerazione di gravità e ottieni $9{,}6\ \text{m/s}^2$. Il valore accettato è $9{,}81\ \text{m/s}^2$. Trova l'errore percentuale, arrotondato a due cifre decimali.

Calcola l'errore assoluto: $|9{,}6 - 9{,}81| = |-0{,}21| = 0{,}21$ = $0{,}21\ \text{m/s}^2$

Dividi per il valore reale (tieni tutte le cifre): $\frac{0{,}21}{9{,}81} = 0{,}0214067\ldots$ = $0{,}0214067\ldots$

Moltiplica per 100: $0{,}0214067\ldots \times 100\% = 2{,}14067\ldots\%$ = $2{,}14067\ldots\%$

Arrotonda solo alla fine, a due cifre decimali: La terza cifra decimale è 0, quindi si arrotonda per difetto = $2{,}14\%$

Answer: L'errore percentuale è circa **2,14%** (arrotondato a due cifre decimali).

Stesso errore, errore percentuale diverso

Mia misura una matita di 10 cm e ottiene 12 cm. Leo misura una porta di 200 cm e ottiene 202 cm. Entrambi sbagliano di 2 cm. Quale misura è migliore?

Errori assoluti: Mia: $|12 - 10| = 2$, Leo: $|202 - 200| = 2$ = Entrambi sbagliano di 2 cm

Errore percentuale di Mia: $\frac{2}{10} \times 100\% = 20\%$ = $20\%$

Errore percentuale di Leo: $\frac{2}{200} \times 100\% = 1\%$ = $1\%$

Confronta: $20\% > 1\%$, e $20 : 1 = 20$ = Rispetto alla grandezza dell'oggetto, l'errore di Mia è 20 volte più grande

Answer: La misura di **Leo** è molto migliore: 1% di errore contro il 20% di Mia. Dividere per il valore reale mostra quanto è grande l'errore rispetto a ciò che si misura.

Un errore percentuale sopra il 100%

Sam stima che a un concerto ci siano 300 persone. In realtà ce ne sono solo 120. Qual è l'errore percentuale di Sam?

Calcola l'errore assoluto: $|300 - 120| = 180$ = 180 persone

Dividi per il valore reale: $\frac{180}{120} = 1{,}5$ = $1{,}5$

Moltiplica per 100: $1{,}5 \times 100\% = 150\%$ = $150\%$

Answer: L'errore percentuale di Sam è del **150%**. Un errore percentuale può superare il 100% quando la stima è più del doppio del valore reale.

Mistake: Dividere per il valore misurato invece che per il valore reale: $\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}6}$

Why: L'errore percentuale confronta il tuo errore con la VERA grandezza della quantità. Il valore misurato è proprio quello che può essere sbagliato, quindi non può fare da riferimento.

Correct: Dividi sempre per il valore reale (accettato): $\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}81} \times 100\% \approx 2{,}14\%$

Mistake: Dimenticare il valore assoluto e scrivere un errore percentuale negativo, come $-10\%$

Why: L'errore percentuale misura la grandezza dell'errore, non la sua direzione. Sbagliare di 50 in meno è un errore grande quanto sbagliare di 50 in più.

Correct: Usa $|\text{valore misurato} - \text{valore reale}|$. Con una stima di 450 e un valore reale di 500: $|450 - 500| = 50$, errore percentuale $10\%$.

Mistake: Dimenticare di moltiplicare per 100 e dare $0{,}1$ come errore percentuale

Why: $\frac{50}{500} = 0{,}1$ è un numero decimale, non una percentuale. Lo $0{,}1\%$ indicherebbe un errore 100 volte più piccolo.

Correct: Moltiplica per 100: $0{,}1 \times 100\% = 10\%$.

Mistake: Arrotondare troppo presto, o non dire a quante cifre decimali si è arrotondato

Why: Se arrotondi prima $\frac{0{,}21}{9{,}81}$ a $0{,}02$, ottieni $2\%$ invece di $2{,}14\%$. E una risposta come $2{,}1\%$ senza regola di arrotondamento non si può controllare.

Correct: Tieni tutte le cifre fino all'ultimo passaggio, poi arrotonda una sola volta e di' come: "$2{,}14\%$, arrotondato a due cifre decimali".

Laboratorio: densità dell'alluminio

Gli scienziati giudicano un esperimento confrontando il risultato con il valore accettato. Un errore percentuale sotto il 5% circa è di solito un buon risultato nel laboratorio scolastico.

Una classe misura la velocità del suono e ottiene $330\ \text{m/s}$. Il valore accettato è $343\ \text{m/s}$, quindi l'errore percentuale è $\frac{13}{343} \times 100\% \approx 3{,}79\%$.

Gare di stima

I giochi di indovinare quantità, il conteggio del pubblico e i tempi di un progetto sono tutte stime. L'errore percentuale mostra quanto è stata buona una stima, qualunque sia la grandezza dei numeri.

Se stimi 90 caramelle e ce ne sono 100, il tuo errore percentuale è $\frac{10}{100} \times 100\% = 10\%$.

Controllare una bilancia da cucina

Negozi, farmacie e fabbriche controllano le bilance con pesi campione la cui massa è nota con precisione. L'errore percentuale dice se la bilancia si può ancora usare.

Una bilancia da farmacia segna 101 g per un peso campione di 100 g: l'errore percentuale è $\frac{1}{100} \times 100\% = 1\%$.

Q: L'errore percentuale può essere negativo?

A: Non con la formula di questa lezione: il valore assoluto lo rende zero o positivo. Alcuni insegnanti di scienze tolgono il valore assoluto per mostrare se un risultato era troppo alto (+) o troppo basso ($-$). Con un errore percentuale con segno la grandezza resta la stessa, si aggiunge solo la direzione.

Q: L'errore percentuale può superare il 100%?

A: Sì. Se il valore reale è 20 e tu stimi 50, l'errore assoluto è 30, e $\frac{30}{20} \times 100\% = 150\%$. Ogni stima che è più del doppio del valore reale dà un errore percentuale sopra il 100%.

Q: Qual è un buon errore percentuale?

A: Dipende dal compito. Nel laboratorio scolastico sotto il 5% di solito va bene e sotto l'1% è eccellente. In un gioco di stima stare sotto il 10% è ottimo, mentre una dose di farmaco o una macchina di precisione possono richiedere meno dello 0,1%.

Q: Che differenza c'è tra errore percentuale e variazione percentuale?

A: La variazione percentuale confronta un nuovo valore con il valore iniziale e mantiene il segno: $+25\%$ è una crescita, $-15\%$ un calo. L'errore percentuale confronta una misura con il valore reale e usa il valore assoluto, quindi non è mai negativo. In entrambi i casi si divide per il valore di riferimento e si moltiplica per 100.