Lunghezza dell'arco

Impara a calcolare la lunghezza di un arco usando l'angolo al centro e il raggio.

Intermedio25 minLezione
Scheda da stampare

Definizione

Un arco è una porzione della circonferenza di un cerchio. La lunghezza dell'arco è la distanza lungo la linea curva dell'arco.
Per trovare la lunghezza dell'arco, usiamo la formula:
s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r
dove:
  • ss = lunghezza dell'arco
  • θ\theta = angolo al centro (in gradi)
  • rr = raggio del cerchio
In alternativa, se l'angolo è in radianti:
s=θ×rs = \theta \times r
Questa formula più semplice funziona perché i radianti sono definiti usando la lunghezza dell'arco!

Prova subito

Qual è la lunghezza dell'arco di un cerchio completo con raggio di 55 cm?

Esempi svolti

Trova la lunghezza dell'arco di un settore con un angolo al centro di 60°60° e un raggio di 99 cm.
1

Identificare i valori dati

θ=60°\theta = 60°, r=9r = 9 cm → Valori identificati
2

Scrivere la formula della lunghezza dell'arco

s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r → Formula pronta
3

Sostituire i valori

s=60°360°×2π×9s = \frac{60°}{360°} \times 2\pi \times 9 → Valori sostituiti
4

Semplificare la frazione

s=16×18πs = \frac{1}{6} \times 18\pi → 60360=16\frac{60}{360} = \frac{1}{6}
5

Calcolare il risultato

s=3π≈9,42s = 3\pi \approx 9{,}42 cm → 3π3\pi cm

Errori comuni

Usare la formula dei gradi quando l'angolo è in radianti

Perché è sbagliato: Le formule sono diverse! s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r funziona solo per i gradi.

Corretto: Per i radianti, usa la formula più semplice: s=θ×rs = \theta \times r. Controlla sempre prima le unità dell'angolo.

Dimenticare di convertire l'angolo nell'unità corretta

Perché è sbagliato: Mescolare gradi e radianti dà risposte errate.

Corretto: Se è dato in gradi ma servono radianti: moltiplica per π180\frac{\pi}{180}. Se è dato in radianti ma servono gradi: moltiplica per 180π\frac{180}{\pi}.

Confondere la lunghezza dell'arco con l'area del settore

Perché è sbagliato: La lunghezza dell'arco è una distanza (lineare), mentre l'area del settore è in unità quadrate.

Corretto: Formula della lunghezza dell'arco: s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r. Formula dell'area del settore: A=θ360°×πr2A = \frac{\theta}{360°} \times \pi r^2.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

-10-50510-10-50510xy
  • lunghezza dell'arco s = 9,42
  • s in funzione di π = 3π
  • θ in radianti = π/3
arco s

Circonferenza goniometrica

Gradi

0°

Radianti

0

Clicca e trascina per ruotare l'angolo attorno alla circonferenza goniometrica.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

15 esercizi
Problema 1 di 15
Facile
Qual è la lunghezza dell'arco di un cerchio completo con raggio di 55 cm?

Perché è importante

La lunghezza dell'arco appare ovunque nel mondo reale:
  • Navigazione: Piloti e marinai calcolano le distanze lungo percorsi curvi sulla superficie terrestre
  • Ingegneria: La progettazione di strade curve, ponti e montagne russe richiede calcoli precisi della lunghezza dell'arco
  • Sport: La distanza percorsa da un corridore nella curva di una pista
  • Lancette dell'orologio: Calcolare quanto si sposta la punta di una lancetta dell'orologio in un dato tempo
Capire la lunghezza dell'arco collega la geometria alle misurazioni del mondo reale e ti prepara per argomenti più avanzati come il calcolo infinitesimale.

Applicazioni nel mondo reale

Lancette dell'orologio

La punta della lancetta dei minuti di un orologio traccia un arco al passare del tempo.

Esempio:

Se una lancetta dei minuti è lunga 1010 cm, percorre 2π×10=20π≈62,82\pi \times 10 = 20\pi \approx 62{,}8 cm in un'ora completa.

1Provaci tu stesso

Un orologio ha una lancetta dei minuti lunga 1212 cm. Quanto percorre la punta in 1515 minuti?

Qual è la lunghezza dell'arco?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

In 15 minuti, la lancetta si muove di 90°90°. Calcola: 90360×2π×12\frac{90}{360} \times 2\pi \times 12

Pista di atletica curva

Le porzioni curve di una pista di atletica sono archi che gli atleti devono percorrere.

Esempio:

Una pista di 400400 m ha due estremità semicircolari. Ogni semicerchio è metà di un cerchio completo, quindi i corridori percorrono π×r\pi \times r su ogni sezione curva.

2Provaci tu stesso

Una pista di atletica ha estremità semicircolari con un raggio di 3535 m. Quanto percorre un corridore su un'estremità curva?

Trova la lunghezza di una sezione semicircolare.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Un semicerchio è 180°180°. Calcola: 180360×2π×35\frac{180}{360} \times 2\pi \times 35

Punti chiave

  • 1La lunghezza dell'arco è la distanza lungo la porzione curva di un cerchio
  • 2Per angoli in gradi: s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r
  • 3Per angoli in radianti: s=θ×rs = \theta \times r
  • 4La lunghezza dell'arco è una frazione della circonferenza completa, proporzionale all'angolo al centro
  • 5Controlla sempre se l'angolo è in gradi o radianti prima di scegliere la formula

Domande frequenti

I radianti sono definiti usando la lunghezza dell'arco! Un radiante è l'angolo dove la lunghezza dell'arco è uguale al raggio. Quindi s=θrs = \theta r deriva direttamente da questa definizione.
I radianti sono definiti usando la lunghezza dell'arco! Un radiante è l'angolo dove la lunghezza dell'arco è uguale al raggio. Quindi s=θrs = \theta r deriva direttamente da questa definizione.
Per convertire i gradi in radianti: moltiplica per π180\frac{\pi}{180}. Per convertire i radianti in gradi: moltiplica per 180π\frac{180}{\pi}. Per esempio, 90°=90×π180=π290° = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} radianti.
Un cerchio completo ha un angolo di 360°360° (o 2π2\pi radianti). La lunghezza dell'arco è l'intera circonferenza: s=2πrs = 2\pi r.

Glossario

Arco
Una porzione continua della circonferenza di un cerchio
Lunghezza dell'arco
La distanza misurata lungo un arco
Angolo al centro
L'angolo formato al centro di un cerchio da due raggi
Radiante
Un'unità di misura angolare dove la lunghezza dell'arco è uguale al raggio (circa 57,3°57{,}3°)
Settore
La regione racchiusa da due raggi e un arco
Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

Altro su questo argomento

Parti di un cerchio e circonferenza

Intermedio25 min

Area dei cerchi

Intermedio25 min

Area di semicerchi e quarti di cerchio

Intermedio25 min

Area di una corona circolare

Intermedio20 min