Simmetria nei poligoni

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale figura ha esattamente $2$ assi di simmetria e simmetria rotazionale di ordine $2$ ?
1. a)Aquilone
2. b)Esagono regolare
3. c)Rettangolo
4. d)Quadrato
Risposta: Rettangolo
Un rettangolo ha $2$ assi di simmetria (per i punti medi di lati opposti) e ordine $2$ . Un quadrato ha $4$ e $4$ , un aquilone $1$ e $1$ , un esagono regolare $6$ e $6$ .
2.
Quale figura ha simmetria centrale?
1. a)Triangolo equilatero
2. b)Trapezio isoscele
3. c)Aquilone
4. d)Parallelogramma
Risposta: Parallelogramma
Un parallelogramma si sovrappone a se stesso dopo mezzo giro attorno al punto in cui si incontrano le diagonali: ordine $2$ , quindi ha simmetria centrale. Il triangolo equilatero ha ordine $3$ (dispari), l'aquilone e il trapezio isoscele ordine $1$ .
3.
Per dove passano gli assi di simmetria di un pentagono regolare?
1. a)Un pentagono regolare non ha assi di simmetria
2. b)Ognuno per i punti medi di due lati opposti
3. c)Ognuno per due vertici opposti
4. d)Ognuno per un vertice e il punto medio del lato opposto
Risposta: Ognuno per un vertice e il punto medio del lato opposto
Un pentagono regolare ha $5$ assi di simmetria. Poiché $5$ è dispari, ognuno passa per un vertice e per il punto medio del lato opposto. Non ci sono coppie di vertici opposti né coppie di lati opposti.
4.
Quale figura ha simmetria rotazionale ma nessun asse di simmetria?
1. a)Aquilone
2. b)Rettangolo
3. c)Parallelogramma (né rettangolo né rombo)
4. d)Triangolo isoscele
Risposta: Parallelogramma (né rettangolo né rombo)
Un parallelogramma (né rettangolo né rombo) ha ordine $2$ ma $0$ assi di simmetria. L'aquilone e il triangolo isoscele hanno $1$ asse e ordine $1$ , il rettangolo ha $2$ assi e ordine $2$ .
5.
Quale affermazione è sempre vera?
1. a)Ogni poligono con simmetria centrale ha almeno un asse di simmetria
2. b)Una figura con simmetria rotazionale di ordine $3$ ha simmetria centrale
3. c)Un poligono regolare con $n$ lati ha simmetria rotazionale di ordine $n$
4. d)Un aquilone ha simmetria rotazionale di ordine $2$
Risposta: Un poligono regolare con $n$ lati ha simmetria rotazionale di ordine $n$
Un poligono regolare con $n$ lati si sovrappone a se stesso dopo ogni rotazione di $\frac{360°}{n}$ , quindi il suo ordine è $n$ . Le altre sono false: un parallelogramma ha simmetria centrale ma nessun asse; l'ordine $3$ è dispari, mezzo giro non funziona; un aquilone ha ordine $1$ .
6.
Quanti assi di simmetria ha un esagono regolare?
Risposta: 6
Un esagono regolare ha $6$ assi di simmetria: $3$ per vertici opposti e $3$ per i punti medi di lati opposti.
7.
Qual è l'angolo di rotazione minimo di un triangolo equilatero, in gradi?
Risposta: 120
Un triangolo equilatero ha ordine $3$ , quindi l'angolo minimo è $\frac{360°}{3} = 120°$ .
8.
Qual è l'ordine di simmetria rotazionale di un rombo che non è un quadrato?
Risposta: 2
Dopo $90°$ la diagonale lunga finirebbe su quella corta, quindi non combacia. Dopo $180°$ combacia, e dopo $360°$ di nuovo: ordine $2$ .
9.
Un poligono regolare si sovrappone a se stesso dopo una rotazione di $30°$ , e nessuna rotazione più piccola funziona. Quanti assi di simmetria ha?
Risposta: 12
L'ordine è $\frac{360°}{30°} = 12$ , quindi è un dodecagono regolare con $12$ lati e $12$ assi di simmetria.
10.
Un decagono regolare ha $10$ assi di simmetria. Quanti di essi passano per due vertici opposti?
Risposta: 5
$10$ vertici formano $\frac{10}{2} = 5$ coppie di vertici opposti, quindi $5$ assi passano per due vertici. Gli altri $5$ passano per i punti medi di lati opposti.
11.
Descrivi la simmetria di un triangolo isoscele che non è equilatero.
Risposta: 1
1. Quanti assi di simmetria ha? 1
2. Qual è il suo ordine di simmetria rotazionale? 1
12.
Trova la simmetria di un pentagono regolare.
Risposta: 72°
1. Quanti assi di simmetria? 5
2. Qual è l'ordine di simmetria rotazionale? 5
3. Qual è l'angolo di rotazione minimo in gradi? 72
13.
Un rettangolo misura $8$ cm per $5$ cm. Trova la sua simmetria.
Risposta: 180°
1. Quanti assi di simmetria? 2
2. Qual è l'ordine di simmetria rotazionale? 2
3. Qual è l'angolo di rotazione minimo in gradi? 180
14.
Descrivi gli assi di simmetria e la simmetria rotazionale di un dodecagono regolare ( $12$ lati).
Risposta: 30°
1. Quanti assi passano per due vertici opposti? 6
2. Quanti assi passano per i punti medi di due lati opposti? 6
3. Quanti assi di simmetria in tutto? 12
4. Qual è l'angolo di rotazione minimo in gradi? 30
15.
Studia la simmetria di un aquilone (che non è un rombo).
Risposta: 0
1. Quanti assi di simmetria ha l'aquilone? 1
2. Qual è il suo ordine di simmetria rotazionale? 1
3. Ha simmetria centrale? Scrivi $1$ per sì, $0$ per no. 0
16.
Un esagono regolare viene ruotato di $240°$ attorno al suo centro. A quanti passi di rotazione minimi corrisponde?
Risposta: 4
1. Qual è l'ordine di simmetria rotazionale di un esagono regolare? 6
2. Qual è l'angolo di rotazione minimo in gradi? 60
3. Quanti passi minimi fanno $240°$ ? 4
17.
Ogni angolo interno di un poligono regolare misura $140°$ . Trova il numero dei suoi assi di simmetria e il suo angolo di rotazione minimo.
Risposta: 40°
1. Quanto misura ogni angolo esterno in gradi? 40
2. Quanti lati ha il poligono? 9
3. Quanti assi di simmetria ha? 9
4. Qual è l'angolo di rotazione minimo in gradi? 40
18.
Tutti gli assi di simmetria di un pentagono regolare passano per il suo centro. Qual è l'angolo tra due assi vicini?
Risposta: 36°
1. Quanti assi di simmetria ha un pentagono regolare? 5
2. Ogni asse dà due semirette dal centro. Quante semirette ci sono? 10
3. Qual è l'angolo tra due semirette vicine in gradi? 36