Regolare o no?

Decidi quali figure sono poligoni regolari: un rombo con angoli di $70°$ e $110°$, un rettangolo di 3 cm per 5 cm e un triangolo equilatero.

Controlla il rombo: I 4 lati sono uguali, ma gli angoli misurano $70°$ e $110°$ = Angoli diversi: non è regolare

Controlla il rettangolo: I 4 angoli misurano $90°$, ma i lati misurano 3 cm e 5 cm = Lati diversi: non è regolare

Controlla il triangolo equilatero: I 3 lati sono uguali e i 3 angoli misurano $60°$ = Regolare

Answer: Solo il triangolo equilatero è regolare. Il rombo non va bene per gli angoli, il rettangolo per i lati.

I tre angoli di un ottagono regolare

Trova l'angolo interno, l'angolo esterno e l'angolo al centro di un ottagono regolare.

Conta i lati: Un ottagono ha $n = 8$ lati = $n = 8$

Angolo interno: $\frac{(8-2) \times 180°}{8} = \frac{1080°}{8}$ = $135°$

Angolo esterno: $\frac{360°}{8}$ (verifica: $180° - 135° = 45°$) = $45°$

Angolo al centro: $\frac{360°}{8}$, il giro completo attorno al centro diviso tra 8 triangoli = $45°$

Answer: Angolo interno $135°$, angolo esterno $45°$, angolo al centro $45°$.

Trovare n dall'angolo interno

Ogni angolo interno di un poligono regolare misura $144°$. Quanti lati ha?

Trova l'angolo esterno: $180° - 144°$ = $36°$

Usa angolo esterno $= \frac{360°}{n}$: $n = \frac{360°}{36°}$ = $n = 10$

Verifica con la formula dell'angolo interno: $\frac{(10-2) \times 180°}{10} = \frac{1440°}{10} = 144°$ = Corretto

Answer: Il poligono ha 10 lati: è un decagono regolare.

Area con l'apotema data

Un pentagono regolare ha lati di 8 cm e un'apotema di 5,5 cm. Calcola la sua area.

Calcola il perimetro: $P = 5 \cdot 8$ = $P = 40$ cm

Scrivi la formula dell'area: $A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a$ = Formula pronta

Sostituisci: $A = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 5{,}5$ = $A = 110$ cm²

Answer: L'area del pentagono è $110$ cm².

Area di un esagono regolare dal lato

Un esagono regolare ha lati di 6 cm. Calcola la sua area senza che sia data l'apotema.

Dividilo in 6 triangoli dal centro: Angolo al centro $\frac{360°}{6} = 60°$, angoli alla base $\frac{180° - 60°}{2} = 60°$ = 6 triangoli equilateri di lato 6 cm

L'apotema è l'altezza di un triangolo: $a = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27}$ = $a \approx 5{,}196$ cm

Area di un triangolo: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5{,}196$ = $\approx 15{,}59$ cm²

Area dell'esagono: $6 \cdot 15{,}588 \approx 93{,}53$ (verifica: $\frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 5{,}196 \approx 93{,}53$) = $A \approx 93{,}53$ cm²

Answer: L'area è circa $93{,}53$ cm² (esattamente $54\sqrt{3}$ cm²).

Mistake: Dire che un rombo è regolare perché tutti i suoi lati sono uguali

Why: Lati uguali sono solo metà della definizione. Un rombo può avere angoli di $60°$ e $120°$.

Correct: Un poligono è regolare solo se tutti i lati E tutti gli angoli sono uguali. Controlla sempre entrambe le cose.

Mistake: Dimenticare di dividere per $n$: dare $(n-2) \times 180°$ come un solo angolo interno

Why: $(n-2) \times 180°$ è la SOMMA di tutti gli angoli interni, $720°$ in un esagono, troppo per un solo angolo.

Correct: Un angolo interno di un poligono regolare di $n$ lati è $\frac{(n-2) \times 180°}{n}$, in un esagono $\frac{720°}{6} = 120°$.

Mistake: Trovare $n$ dividendo $360°$ per l'angolo INTERNO

Why: Con un angolo interno di $144°$ si ottiene $\frac{360}{144} = 2{,}5$ lati, il che è impossibile. Solo l'angolo esterno soddisfa $\frac{360°}{n}$.

Correct: Trova prima l'angolo esterno $180° - 144° = 36°$, poi $n = \frac{360°}{36°} = 10$.

Mistake: Usare il lato o il raggio invece dell'apotema in $A = \frac{1}{2} P a$

Why: Il raggio arriva a un vertice ed è più lungo dell'apotema. Solo l'apotema è perpendicolare al lato, quindi solo lei è l'altezza di ogni triangolo.

Correct: Usa l'apotema: la distanza perpendicolare dal centro al punto medio di un lato.

Favi e piastrelle esagonali

Le api e i produttori di piastrelle usano esagoni regolari, perché esattamente tre si incastrano attorno a un punto senza lasciare buchi.

I quadrati si incastrano a 4 attorno a un punto ($4 \cdot 90° = 360°$), i triangoli equilateri a 6 ($6 \cdot 60° = 360°$).

Segnali di stop

Un segnale di stop è un ottagono regolare. I produttori usano l'area per sapere quanta pellicola rifrangente serve per ogni segnale.

Un ottagono regolare di lato 25 cm ha un'apotema di circa 30,2 cm.

Il pavimento di un gazebo

Il pavimento di un gazebo ottagonale è fatto di 8 sezioni triangolari di legno uguali che si incontrano nel centro.

Ogni sezione ha nella punta, al centro, l'angolo al centro $\frac{360°}{8} = 45°$.

Q: Ogni triangolo con tre lati uguali è regolare?

A: Sì. Nei triangoli, lati uguali obbligano ad avere angoli uguali, quindi ogni triangolo equilatero ha tre angoli di $60°$. Da quattro lati in su non è più vero: un rombo ha lati uguali ma può avere angoli diversi.

Q: Perché l'angolo esterno e l'angolo al centro sono uguali?

A: Entrambi dividono i $360°$ di un giro completo in $n$ parti uguali: gli angoli esterni sono le $n$ svolte di una passeggiata attorno al poligono, gli angoli al centro sono le $n$ fette attorno al centro. Per questo valgono entrambi $\frac{360°}{n}$.

Q: Perché un pentagono regolare non può pavimentare un piano?

A: Il suo angolo interno misura $108°$. Tre angoli fanno $324°$ e lasciano un buco di $36°$, quattro farebbero $432°$ e si sovrapporrebbero. Poiché $\frac{360}{108}$ non è un numero intero, i pentagoni non si incastrano senza buchi.

Q: Quanti assi di simmetria ha un poligono regolare?

A: Un poligono regolare di $n$ lati ha $n$ assi di simmetria, per esempio 6 un esagono regolare. La lezione sulla simmetria nei poligoni studia questi assi e le rotazioni in dettaglio.