Perché l'angolo esterno e l'angolo al centro sono uguali?

Entrambi dividono i $360°$ di un giro completo in $n$ parti uguali: gli angoli esterni sono le $n$ svolte di una passeggiata attorno al poligono, gli angoli al centro sono le $n$ fette attorno al centro. Per questo valgono entrambi $\frac{360°}{n}$.

Perché un pentagono regolare non può pavimentare un piano?

Il suo angolo interno misura $108°$. Tre angoli fanno $324°$ e lasciano un buco di $36°$, quattro farebbero $432°$ e si sovrapporrebbero. Poiché $\frac{360}{108}$ non è un numero intero, i pentagoni non si incastrano senza buchi.

Quanti assi di simmetria ha un poligono regolare?

Un poligono regolare di $n$ lati ha $n$ assi di simmetria, per esempio 6 un esagono regolare. La lezione sulla simmetria nei poligoni studia questi assi e le rotazioni in dettaglio.

Risorse per insegnanti

Poligoni regolari

Impara che cosa rende regolare un poligono, come trovare gli angoli interni, esterni e al centro, il perimetro e l'area, e quali poligoni regolari pavimentano un piano.

Intermedio25 minLezione

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Scheda da stampare

Definizione

Un poligono regolare ha tutti i lati uguali E tutti gli angoli uguali. Servono entrambe le condizioni:

Un rombo ha quattro lati uguali, ma i suoi angoli non sono tutti uguali (per esempio $60°$ e $120°$ ), quindi non è regolare.
Un rettangolo ha quattro angoli uguali ( $90°$ ), ma i suoi lati non sono tutti uguali, quindi non è regolare.
Un quadrato ha entrambe le cose, è un quadrilatero regolare.

Ogni poligono regolare ha un centro

O

, alla stessa distanza da tutti i vertici. I segmenti dal centro ai vertici dividono un poligono regolare di

n

lati in

n

triangoli isosceli congruenti.

**Angoli di un poligono regolare di

n

lati** (la somma

(n-2) \times 180°

viene dalla lezione sulla somma degli angoli):

\text{angolo interno} = \frac{(n-2) \times 180°}{n} \qquad \text{angolo esterno} = \frac{360°}{n} \qquad \text{angolo al centro} = \frac{360°}{n}

L'angolo al centro è l'angolo nel centro tra i segmenti verso due vertici vicini. In un poligono regolare è uguale all'angolo esterno.

Lunghezze: il raggio

r

va dal centro a un vertice, l'apotema

a

va dal centro al punto medio di un lato ed è perpendicolare a esso.

Perimetro e area (lato

s

P = n \cdot s \qquad A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a

Tassellazione: un poligono regolare pavimenta il piano da solo soltanto se il suo angolo interno divide

360°

. Funziona per esattamente tre: il triangolo equilatero (

60°

), il quadrato (

90°

) e l'esagono regolare (

120°

Prova subito

Quanto misura ogni angolo esterno di un decagono regolare (10 lati), in gradi?

Esempi svolti

Decidi quali figure sono poligoni regolari: un rombo con angoli di

70°

110°

, un rettangolo di 3 cm per 5 cm e un triangolo equilatero.

Controlla il rombo

I 4 lati sono uguali, ma gli angoli misurano

70°

110°

→ Angoli diversi: non è regolare

Controlla il rettangolo

I 4 angoli misurano

90°

, ma i lati misurano 3 cm e 5 cm → Lati diversi: non è regolare

Controlla il triangolo equilatero

I 3 lati sono uguali e i 3 angoli misurano

60°

→ Regolare

Risposta: Solo il triangolo equilatero è regolare. Il rombo non va bene per gli angoli, il rettangolo per i lati.

Errori comuni

Dire che un rombo è regolare perché tutti i suoi lati sono uguali

Perché è sbagliato: Lati uguali sono solo metà della definizione. Un rombo può avere angoli di $60°$ e $120°$ .

Corretto: Un poligono è regolare solo se tutti i lati E tutti gli angoli sono uguali. Controlla sempre entrambe le cose.

Dimenticare di dividere per $n$ : dare $(n-2) \times 180°$ come un solo angolo interno

Perché è sbagliato: $(n-2) \times 180°$ è la SOMMA di tutti gli angoli interni, $720°$ in un esagono, troppo per un solo angolo.

Corretto: Un angolo interno di un poligono regolare di $n$ lati è $\frac{(n-2) \times 180°}{n}$ , in un esagono $\frac{720°}{6} = 120°$ .

Trovare $n$ dividendo $360°$ per l'angolo INTERNO

Perché è sbagliato: Con un angolo interno di $144°$ si ottiene $\frac{360}{144} = 2{,}5$ lati, il che è impossibile. Solo l'angolo esterno soddisfa $\frac{360°}{n}$ .

Corretto: Trova prima l'angolo esterno $180° - 144° = 36°$ , poi $n = \frac{360°}{36°} = 10$ .

Usare il lato o il raggio invece dell'apotema in $A = \frac{1}{2} P a$

Perché è sbagliato: Il raggio arriva a un vertice ed è più lungo dell'apotema. Solo l'apotema è perpendicolare al lato, quindi solo lei è l'altezza di ogni triangolo.

Corretto: Usa l'apotema: la distanza perpendicolare dal centro al punto medio di un lato.

Visuale interattivo

Poligono regolare

Numero di latiEsagono · 6Mostra i triangoli dal centro

Angolo al centro

$360^\circ \div 6 = 60^\circ$

Ogni angolo interno

$\dfrac{(6 - 2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$

Ogni angolo esterno

$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Perimetro

$P = n \cdot s = 6 \cdot 6 = 36\,\text{cm}$

Apotema (dal centro al punto medio di un lato)

$a = \dfrac{s}{2\tan(180^\circ \div 6)} \approx 5{,}2\,\text{cm}$

Area

$A = \tfrac{1}{2} \cdot P \cdot a \approx \tfrac{1}{2} \cdot 36 \cdot 5{,}196 \approx 93{,}53\,\text{cm}^2$

I raggi dividono un poligono regolare in n triangoli isosceli congruenti. Ognuno ha base s e altezza a, quindi l'area è n · ½ · s · a = ½ · P · a.

Grafico della funzione

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale di queste figure è un poligono regolare?

Perché è importante

I poligoni regolari sono le forme che si scelgono quando tutto deve essere equo, robusto o facile da ripetere:

Natura: le api costruiscono celle esagonali nei favi. Gli esagoni riempiono lo spazio senza buchi e usano la minima quantità di cera per le pareti.
Segnali stradali: il segnale di stop è un ottagono regolare, così i conducenti ne riconoscono la forma anche da dietro.
Pavimenti e pareti: le piastrelle sono quadrati, triangoli o esagoni, gli unici poligoni regolari che coprono un pavimento senza buchi.
Meccanica: dadi e teste di bulloni sono esagoni regolari, così una chiave si adatta da sei direzioni.
Design ed edilizia: gazebo, tavoli e finestre usano ottagoni e pentagoni regolari; l'angolo al centro dice al falegname come tagliare ogni pezzo.

Con le formule di questa lezione trovi ogni angolo, il perimetro e l'area di un poligono regolare partendo solo dal numero di lati e da una lunghezza.

Applicazioni nel mondo reale

Favi e piastrelle esagonali

Le api e i produttori di piastrelle usano esagoni regolari, perché esattamente tre si incastrano attorno a un punto senza lasciare buchi.

Esempio:

I quadrati si incastrano a 4 attorno a un punto ( $4 \cdot 90° = 360°$ ), i triangoli equilateri a 6 ( $6 \cdot 60° = 360°$ ).

1Provaci tu stesso

Un piastrellista vuole coprire il pavimento di un bagno solo con esagoni regolari.

Quanti esagoni si incontrano in ogni vertice?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dividi l'angolo giro attorno a un punto per un angolo interno:

Segnali di stop

Un segnale di stop è un ottagono regolare. I produttori usano l'area per sapere quanta pellicola rifrangente serve per ogni segnale.

Esempio:

Un ottagono regolare di lato 25 cm ha un'apotema di circa 30,2 cm.

2Provaci tu stesso

Un segnale di stop è un ottagono regolare con lati di 25 cm e un'apotema di 30,2 cm.

Quanti centimetri quadrati di pellicola rifrangente coprono tutto il segnale?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a$ :

Il pavimento di un gazebo

Il pavimento di un gazebo ottagonale è fatto di 8 sezioni triangolari di legno uguali che si incontrano nel centro.

Esempio:

Ogni sezione ha nella punta, al centro, l'angolo al centro $\frac{360°}{8} = 45°$ .

3Provaci tu stesso

Una falegname taglia gli 8 triangoli isosceli per il pavimento di un gazebo ottagonale regolare.

Con quale angolo deve tagliare ciascuno dei due angoli alla base di un triangolo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sottrai l'angolo al centro da $180°$ e dividi il resto in parti uguali:

Punti chiave

1Un poligono regolare ha tutti i lati uguali E tutti gli angoli uguali; rombo e rettangolo non sono regolari
2Angolo interno di un poligono regolare di $n$ lati: $\frac{(n-2) \times 180°}{n}$
3Angolo esterno e angolo al centro valgono entrambi $\frac{360°}{n}$
4Per trovare $n$ da un angolo interno, prendi prima l'angolo esterno $180° - \text{interno}$ , poi $n = \frac{360°}{\text{esterno}}$
5Perimetro $P = n \cdot s$ e area $A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a$ , dove l'apotema $a$ va dal centro al punto medio di un lato
6Solo il triangolo equilatero, il quadrato e l'esagono regolare pavimentano un piano da soli, perché $60°$ , $90°$ e $120°$ dividono $360°$

Domande frequenti

Sì. Nei triangoli, lati uguali obbligano ad avere angoli uguali, quindi ogni triangolo equilatero ha tre angoli di

60°

. Da quattro lati in su non è più vero: un rombo ha lati uguali ma può avere angoli diversi.

Glossario

Poligono regolare: Un poligono con tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali.
Centro: Il punto interno di un poligono regolare che ha la stessa distanza da tutti i vertici.
Angolo al centro: L'angolo nel centro tra i segmenti verso due vertici vicini: $\frac{360°}{n}$ .
Raggio: La distanza dal centro di un poligono regolare a un vertice.
Apotema: La distanza perpendicolare dal centro di un poligono regolare al punto medio di un lato.
Tassellazione: Un motivo di figure che copre una superficie piana senza buchi e senza sovrapposizioni.

Scheda formule

Angolo interno

\frac{(n-2) \times 180°}{n}

Un angolo dentro un poligono regolare di $n$ lati

Angolo esterno e angolo al centro

\frac{360°}{n}

La svolta in ogni vertice e l'angolo nel centro per un lato

Numero di lati

n = \frac{360°}{\text{angolo esterno}}

Angolo esterno $= 180° - $ angolo interno

Perimetro

P = n \cdot s

Numero di lati per la lunghezza del lato

Area

A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a

Metà del perimetro per l'apotema $a$

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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