Dominio e immagine

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Cosa rappresenta il dominio di una funzione?
1. a)Il punto più alto del grafico
2. b)Tutti i possibili valori di output (valori di y)
3. c)La pendenza della funzione
4. d)Tutti i possibili valori di input (valori di x)
Risposta: Tutti i possibili valori di input (valori di x)
Il dominio rappresenta tutti i possibili valori di input (valori di x) che una funzione può accettare. L'immagine rappresenta i valori di output (valori di y).
2.
Un grafico inizia con un punto pieno in $x = -2$ e termina con un punto pieno in $x = 6$ . Qual è il dominio in notazione intervallare?
1. a) $(-2, 6)$
2. b) $[-2, 6]$
3. c) $(-2, 6]$
4. d) $[-2, 6)$
Risposta: $[-2, 6]$
I punti pieni indicano che entrambi gli estremi appartengono al grafico, quindi sono inclusi. Usiamo parentesi quadre $[ ]$ per indicarlo: $[-2, 6]$ .
3.
Una parabola ha il suo vertice in $(0, 3)$ e si apre verso l'alto. Qual è il valore minimo dell'immagine?
Risposta: 3
Quando una parabola si apre verso l'alto, il vertice è il punto minimo. La coordinata y del vertice $(0, 3)$ è $3$ , quindi il valore minimo dell'immagine è $3$ .
4.
Per $f(x) = \frac{1}{x}$ , quale valore di $x$ NON è nel dominio?
Risposta: 0
Nella funzione $f(x) = \frac{1}{x}$ , il denominatore è $x$ . Quando $x = 0$ , otteniamo $\frac{1}{0}$ , che non è definito. Pertanto, $x = 0$ non è nel dominio.
5.
Quale notazione di parentesi dovresti sempre usare con infinito ( $\infty$ )?
1. a)Parentesi tonda $( )$
2. b)Parentesi graffa $\{ \}$
3. c)Entrambe funzionano
4. d)Parentesi quadra $[ ]$
Risposta: Parentesi tonda $( )$
Usa sempre parentesi tonde $( )$ con infinito perché infinito non è un numero reale che può essere raggiunto o incluso. Per esempio: $[0, \infty)$ o $(-\infty, 5]$ .
6.
Trova il dominio di $f(x) = \frac{1}{x-5}$
Risposta: (-∞, 5) ∪ (5, ∞)
1. Quale operazione crea la restrizione in questa funzione? divisione
2. Poni il denominatore uguale a zero: $x - 5 = 0$ . Ricava x. 5
3. Questo valore deve essere escluso. Scegli la risposta in notazione di unione. (-∞, 5) ∪ (5, ∞)
7.
Trova il dominio di $g(x) = \sqrt{x - 4}$
Risposta: [4, ∞)
1. Cosa deve essere vero per l'espressione sotto una radice quadrata? maggiore o uguale a 0
2. Risolvi $x - 4 \geq 0$ : ottieni $x \geq \square$ . Quale numero va nella casella? 4
3. Scegli il dominio in notazione intervallare. [4, ∞)
8.
L'immagine di una funzione è $[-2, \infty)$ . Qual è il valore minimo di y che la funzione può produrre?
Risposta: -2
Nell'intervallo $[-2, \infty)$ , la parentesi quadra a $-2$ significa che è incluso. Quindi il valore minimo di y è $-2$ , e la funzione può produrre qualsiasi valore da $-2$ in su.
9.
Qual è il dominio di $f(x) = x^2 + 3x - 7$ ?
1. a) $(-\infty, 7]$
2. b) $[0, \infty)$
3. c) $[-7, \infty)$
4. d) $(-\infty, \infty)$
Risposta: $(-\infty, \infty)$
La funzione $f(x) = x^2 + 3x - 7$ è un polinomio. I polinomi non hanno restrizioni - niente frazioni (nessuna divisione per zero possibile) e niente radici quadrate. Qualsiasi numero reale può essere inserito, quindi il dominio è $(-\infty, \infty)$ .
10.
Trova il dominio e l'immagine di $f(x) = x^2 + 2$
Risposta: Dominio: (-∞, ∞), Immagine: [2, ∞)
1. Ci sono restrizioni sul dominio (frazioni o radici quadrate)? no
2. Qual è il dominio? (-∞, ∞)
3. Poiché $x^2 \geq 0$ per ogni x, qual è il valore minimo di $x^2 + 2$ ? 2
4. Qual è l'immagine? [2, ∞)
11.
Per $f(x) = \sqrt{x}$ , l'immagine è $[a, \infty)$ . Quanto vale $a$ ?
Risposta: 0
La funzione radice quadrata $\sqrt{x}$ produce sempre output non negativi. Quando $x = 0$ , $\sqrt{0} = 0$ . All'aumentare di x, $\sqrt{x}$ aumenta senza limite. Immagine: $[0, \infty)$ .
12.
Trova il dominio di $f(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$
Risposta: (-∞, -3) ∪ (-3, 3) ∪ (3, ∞)
1. Poni il denominatore uguale a zero: $x^2 - 9 = 0$ , quindi $x^2 = \square$ . Quale numero va nella casella? 9
2. Ricava x (ricorda le radici positive e negative) x = 3 o x = -3
3. Quanti valori sono esclusi dal dominio? 2
4. Scegli il dominio usando la notazione di unione (-∞, -3) ∪ (-3, 3) ∪ (3, ∞)
13.
Qual è il dominio di $f(x) = \sqrt{2x + 6}$ ?
1. a) $[-6, \infty)$
2. b) $[-3, \infty)$
3. c) $(-\infty, -3]$
4. d) $[3, \infty)$
Risposta: $[-3, \infty)$
Per $\sqrt{2x + 6}$ , abbiamo bisogno di $2x + 6 \geq 0$ . Risolvendo: $2x \geq -6$ , quindi $x \geq -3$ . Dominio: $[-3, \infty)$ . Nota: $[-6, \infty)$ è un errore comune dimenticando di dividere per 2.
14.
Trova il dominio di $h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 4}$
Risposta: [0, 4) ∪ (4, ∞)
1. La radice quadrata richiede $x \geq \square$ . Quale numero va nella casella? 0
2. Quale valore di x annulla il denominatore $x - 4$ ? 4
3. Combina entrambe le restrizioni. x deve essere... x ≥ 0 e x ≠ 4
4. Scegli il dominio finale in notazione intervallare [0, 4) ∪ (4, ∞)
15.
Una parabola si apre verso il basso con vertice in $(2, 8)$ . Qual è il valore massimo nella sua immagine?
Risposta: 8
Una parabola che si apre verso il basso ha il suo massimo al vertice. Il vertice è $(2, 8)$ , quindi la coordinata y $8$ è l'output massimo. Immagine: $(-\infty, 8]$ .
16.
Trova l'immagine di $f(x) = -x^2 + 4x + 5$
Risposta: (-∞, 9]
1. Questa parabola si apre verso l'alto o verso il basso? basso
2. Trova la coordinata x del vertice usando $x = \frac{-b}{2a}$ dove $a = -1$ , $b = 4$ 2
3. Trova la coordinata y sostituendo x = 2 nella funzione 9
4. Poiché la parabola si apre verso il basso, qual è l'immagine? (-∞, 9]