Rappresentare disequazioni lineari

Impara a rappresentare le disequazioni su un piano cartesiano usando rette di confine e ombreggiatura.

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Definizione

Una disequazione lineare è come un'equazione lineare, ma invece del segno di uguale, usa un simbolo di disuguaglianza: <<, >>, ≤\leq o ≥\geq.
y<2x+3y≥−x+1y < 2x + 3 \quad\quad y \geq -x + 1
Per rappresentare una disequazione lineare:
  1. 1.Disegna la retta di confine (tratta la disequazione come un'equazione)
  2. 2.Determina lo stile della retta: linea continua per ≤\leq o ≥\geq, linea tratteggiata per << o >>
  3. 3.Ombreggia la regione corretta: prova un punto per vedere quale lato soddisfa la disequazione
L'insieme soluzione comprende tutti i punti nella regione ombreggiata che rendono vera la disequazione.

Prova subito

Che tipo di linea usi per y>2x+1y > 2x + 1?

Esempi svolti

Rappresenta la disequazione y>x−2y > x - 2 su un piano cartesiano.
1

Identifica la retta di confine

Trattala come y=x−2y = x - 2. Coefficiente angolare m=1m = 1, intercetta y b=−2b = -2 → Confine: y=x−2y = x - 2
2

Determina lo stile della retta

Poiché il simbolo è >> (non ≥\geq), i punti SULLA retta NON sono inclusi → Usa una linea TRATTEGGIATA
3

Disegna la retta di confine

Segna l'intercetta y (0,−2)(0, -2), usa il coefficiente angolare per trovare (1,−1)(1, -1), (2,0)(2, 0) → Linea tratteggiata attraverso questi punti
4

Scegli un punto di prova

Usa (0,0)(0, 0) perché è facile da calcolare e non è sulla retta → Punto di prova: (0,0)(0, 0)
5

Sostituisci nella disequazione

0>0−2⇒0>−20 > 0 - 2 \Rightarrow 0 > -2 VERO! → (0,0)(0, 0) è una soluzione
6

Ombreggia la regione corretta

Poiché (0,0)(0, 0) funziona, ombreggia il lato che contiene (0,0)(0, 0) → Ombreggia SOPRA la retta

Errori comuni

Usare lo stile di linea sbagliato (continua vs. tratteggiata)

Perché è sbagliato: Gli studenti dimenticano che << e >> richiedono una linea tratteggiata perché i punti SULLA retta non sono soluzioni.

Corretto: Linea continua per ≤\leq e ≥\geq (retta inclusa). Linea tratteggiata per << e >> (retta esclusa).

Ombreggiare la regione sbagliata

Perché è sbagliato: Gli studenti ombreggiano sopra per 'maggiore di' senza provare, ma la disequazione potrebbe essere in forma standard.

Corretto: SEMPRE provare un punto! Sostituisci un punto semplice come (0,0)(0, 0) per verificare quale lato ombreggiare.

Dimenticare di invertire la disequazione quando si moltiplica per un negativo

Perché è sbagliato: Quando si riorganizza in forma esplicita, dividere per un numero negativo inverte la disequazione.

Corretto: Se moltiplichi o dividi per un numero negativo, inverti il simbolo di disuguaglianza: −2y>6-2y > 6 diventa y<−3y < -3.

Provare un punto che giace sulla retta di confine

Perché è sbagliato: I punti sulla retta non aiutano a determinare quale lato ombreggiare.

Corretto: Scegli un punto di prova chiaramente NON sulla retta. L'origine (0,0)(0, 0) è ideale a meno che la retta non passi per essa.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

Scegli il segno della disequazione:

y > m · x + b
-6-4-20246-6-4-20246xy(0; 0)

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

y = mx + bRegione delle soluzioniBordo escluso (< o >)

Grafico della funzione

-6-4-20246-505xy(0; 0)
Regione delle soluzioniBordo incluso (≤ o ≥)

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-10-50510-10-50510xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

x - 2

m=1, b=-2

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

15 esercizi
Problema 1 di 15
Facile
Che tipo di linea usi per y>2x+1y > 2x + 1?

Perché è importante

Le disequazioni lineari descrivono vincoli e limiti del mondo reale:
  • Budget: Puoi spendere *al massimo* 200€ per la spesa (x+y≤200x + y \leq 200)
  • Limiti di velocità: Devi guidare a *meno di* 130 km/h (v<130v < 130)
  • Produzione: Una fabbrica produce *almeno* 100 unità al giorno (p≥100p \geq 100)
  • Nutrizione: Consuma *non più di* 2000 calorie (c≤2000c \leq 2000)
Capire come rappresentare queste disequazioni aiuta a visualizzare tutte le soluzioni possibili!

Applicazioni nel mondo reale

Vincoli di budget

Quando pianifichi le spese, spesso hai un importo massimo che puoi spendere.

Esempio:

Se i biglietti del concerto costano 75€ e il cibo costa 25€ a persona, e hai 300€ in totale, allora 75b+25c≤30075b + 25c \leq 300 dove bb = biglietti, cc = acquisti di cibo.

1Provaci tu stesso

Hai 100€ da spendere per libri (15€ ciascuno) e riviste (5€ ciascuna).

Scrivi e rappresenta la disequazione, poi trova se comprare 4 libri e 6 riviste è possibile.

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Quale disequazione descrive il budget?

Limiti di produzione

Le fabbriche hanno vincoli sulla capacità produttiva e sulle risorse.

Esempio:

Una fabbrica può produrre al massimo 500 articoli al giorno. Se produce sedie e tavoli, e i tavoli richiedono il doppio del tempo, allora s+2t≤500s + 2t \leq 500.

2Provaci tu stesso

Una pasticceria fa al massimo 200 articoli al giorno. Le torte richiedono 2 unità di tempo; i biscotti richiedono 1 unità.

Possono fare 50 torte e 80 biscotti?

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Quale disequazione descrive il limite di 200 unità di tempo?

Punti chiave

  • 1Le disequazioni lineari usano <<, >>, ≤\leq o ≥\geq invece di un segno di uguale
  • 2La retta di confine si disegna trattando la disequazione come un'equazione
  • 3Usa una linea continua per ≤\leq o ≥\geq (retta inclusa) e tratteggiata per << o >> (retta esclusa)
  • 4Prova un punto che non è sulla retta per determinare quale lato ombreggiare
  • 5L'insieme soluzione comprende tutti i punti nella regione ombreggiata

Domande frequenti

Scegli un punto di prova che non è sulla retta ((0,0)(0,0) è il più facile). Sostituiscilo nella disequazione originale. Se è VERO, ombreggia quel lato. Se è FALSO, ombreggia il lato opposto.
Scegli un punto di prova che non è sulla retta ((0,0)(0,0) è il più facile). Sostituiscilo nella disequazione originale. Se è VERO, ombreggia quel lato. Se è FALSO, ombreggia il lato opposto.
Una linea tratteggiata significa che i punti SULLA retta NON sono soluzioni. Questo accade con le disuguaglianze strette (<< o >>). Le linee continue (≤\leq o ≥\geq) includono i punti sulla retta.
Scegli un punto di prova diverso come (1,0)(1, 0) o (0,1)(0, 1). Qualsiasi punto chiaramente non sulla retta funziona.

Glossario

Disequazione lineare
Una disuguaglianza che coinvolge espressioni lineari, usando <<, >>, ≤\leq o ≥\geq
Retta di confine
La retta che ottieni quando sostituisci il simbolo di disuguaglianza con un segno di uguale
Insieme soluzione
Tutte le coppie ordinate (x,y)(x, y) che rendono vera la disequazione
Punto di prova
Un punto usato per determinare quale lato della retta di confine ombreggiare
Semipiano
La regione del piano cartesiano da un lato di una retta
Sfida di oggiUn problema, tre tentativi