Rappresentare y > x - 2

Rappresenta la disequazione $y > x - 2$ su un piano cartesiano.

Identifica la retta di confine: Trattala come $y = x - 2$. Coefficiente angolare $m = 1$, intercetta y $b = -2$ = Confine: $y = x - 2$

Determina lo stile della retta: Poiché il simbolo è $>$ (non $\geq$), i punti SULLA retta NON sono inclusi = Usa una linea TRATTEGGIATA

Disegna la retta di confine: Segna l'intercetta y $(0, -2)$, usa il coefficiente angolare per trovare $(1, -1)$, $(2, 0)$ = Linea tratteggiata attraverso questi punti

Scegli un punto di prova: Usa $(0, 0)$ perché è facile da calcolare e non è sulla retta = Punto di prova: $(0, 0)$

Sostituisci nella disequazione: $0 > 0 - 2 \Rightarrow 0 > -2$ VERO! = $(0, 0)$ è una soluzione

Ombreggia la regione corretta: Poiché $(0, 0)$ funziona, ombreggia il lato che contiene $(0, 0)$ = Ombreggia SOPRA la retta

Answer: Linea tratteggiata attraverso $(0, -2)$ con coefficiente angolare 1, ombreggiata sopra la retta.

Rappresentare 2x + y ≤ 4

Rappresenta la disequazione $2x + y \leq 4$ su un piano cartesiano.

Riscrivi in forma esplicita: $y \leq -2x + 4$ = Coefficiente angolare $m = -2$, intercetta $b = 4$

Determina lo stile della retta: Poiché il simbolo è $\leq$, i punti SULLA retta SONO inclusi = Usa una linea CONTINUA

Disegna la retta di confine: Segna $(0, 4)$, usa il coefficiente angolare $-2$ per trovare $(1, 2)$, $(2, 0)$ = Linea continua attraverso questi punti

Prova il punto $(0, 0)$: $2(0) + 0 \leq 4 \Rightarrow 0 \leq 4$ VERO! = $(0, 0)$ è una soluzione

Ombreggia la regione corretta: Poiché $(0, 0)$ funziona, ombreggia il lato che contiene l'origine = Ombreggia SOTTO la retta

Answer: Linea continua attraverso $(0, 4)$ e $(2, 0)$, ombreggiata sotto (inclusa la retta).

Rappresentare y < -½x + 3

Rappresenta la disequazione $y < -\frac{1}{2}x + 3$.

Identifica coefficiente angolare e intercetta: Coefficiente angolare $m = -\frac{1}{2}$, intercetta $b = 3$ = Confine: $y = -\frac{1}{2}x + 3$

Determina lo stile della retta: Il simbolo è $<$ (disuguaglianza stretta), quindi i punti sulla retta NON sono soluzioni = Usa una linea TRATTEGGIATA

Disegna la retta di confine: Inizia da $(0, 3)$. Vai 2 a destra, 1 in basso per ottenere $(2, 2)$. Continua a $(4, 1)$ = Linea tratteggiata disegnata

Prova il punto $(0, 0)$: $0 < -\frac{1}{2}(0) + 3 \Rightarrow 0 < 3$ VERO! = $(0, 0)$ soddisfa la disequazione

Ombreggia la regione soluzione: Ombreggia il lato che contiene $(0, 0)$ = Ombreggia SOTTO la retta

Answer: Linea tratteggiata con intercetta 3 e coefficiente angolare $-\frac{1}{2}$, ombreggiata sotto.

Quando il punto di prova è sulla retta

Rappresenta $y \geq 2x$ su un piano cartesiano.

Identifica la retta di confine: $y = 2x$ passa per l'origine con coefficiente angolare 2 = Il confine passa per $(0, 0)$

Determina lo stile della retta: Il simbolo è $\geq$, quindi usa una linea continua = Linea CONTINUA

Scegli un punto di prova diverso: $(0, 0)$ è SULLA retta, quindi usa $(1, 0)$ invece = Prova: $(1, 0)$

Prova il punto: $0 \geq 2(1) \Rightarrow 0 \geq 2$ FALSO! = $(1, 0)$ NON è una soluzione

Ombreggia il lato opposto: Poiché $(1, 0)$ ha fallito, ombreggia l'ALTRO lato (sopra la retta) = Ombreggia SOPRA la retta

Answer: Linea continua attraverso l'origine con coefficiente angolare 2, ombreggiata sopra la retta.

Mistake: Usare lo stile di linea sbagliato (continua vs. tratteggiata)

Why: Gli studenti dimenticano che $<$ e $>$ richiedono una linea tratteggiata perché i punti SULLA retta non sono soluzioni.

Correct: Linea continua per $\leq$ e $\geq$ (retta inclusa). Linea tratteggiata per $<$ e $>$ (retta esclusa).

Mistake: Ombreggiare la regione sbagliata

Why: Gli studenti ombreggiano sopra per 'maggiore di' senza provare, ma la disequazione potrebbe essere in forma standard.

Correct: SEMPRE provare un punto! Sostituisci un punto semplice come $(0, 0)$ per verificare quale lato ombreggiare.

Mistake: Dimenticare di invertire la disequazione quando si moltiplica per un negativo

Why: Quando si riorganizza in forma esplicita, dividere per un numero negativo inverte la disequazione.

Correct: Se moltiplichi o dividi per un numero negativo, inverti il simbolo di disuguaglianza: $-2y > 6$ diventa $y < -3$.

Mistake: Provare un punto che giace sulla retta di confine

Why: I punti sulla retta non aiutano a determinare quale lato ombreggiare.

Correct: Scegli un punto di prova chiaramente NON sulla retta. L'origine $(0, 0)$ è ideale a meno che la retta non passi per essa.

Vincoli di budget

Quando pianifichi le spese, spesso hai un importo massimo che puoi spendere.

Se i biglietti del concerto costano 75€ e il cibo costa 25€ a persona, e hai 300€ in totale, allora $75b + 25c \leq 300$ dove $b$ = biglietti, $c$ = acquisti di cibo.

Limiti di produzione

Le fabbriche hanno vincoli sulla capacità produttiva e sulle risorse.

Una fabbrica può produrre al massimo 500 articoli al giorno. Se produce sedie e tavoli, e i tavoli richiedono il doppio del tempo, allora $s + 2t \leq 500$.

Q: Come faccio a sapere quale lato ombreggiare?

A: Scegli un punto di prova che non è sulla retta ($(0,0)$ è il più facile). Sostituiscilo nella disequazione originale. Se è VERO, ombreggia quel lato. Se è FALSO, ombreggia il lato opposto.

Q: Perché la linea a volte è tratteggiata?

A: Una linea tratteggiata significa che i punti SULLA retta NON sono soluzioni. Questo accade con le disuguaglianze strette ($<$ o $>$). Le linee continue ($\leq$ o $\geq$) includono i punti sulla retta.

Q: E se l'origine è sulla retta di confine?

A: Scegli un punto di prova diverso come $(1, 0)$ o $(0, 1)$. Qualsiasi punto chiaramente non sulla retta funziona.