Proposizioni booleane composte

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Sia $P$ : "Il cane ha fame" e $Q$ : "Il cane è stanco". Quali simboli significano "Il cane ha fame ed è stanco"?
1. a) $P \land \neg Q$
2. b) $\neg P \land Q$
3. c) $P \lor Q$
4. d) $P \land Q$
Risposta: $P \land Q$
Entrambe le parti sono affermate come vere e unite con *e*, quindi la proposizione è $P \land Q$ .
2.
$P$ è vera e $Q$ è falsa. Qual è il valore di verità di $P \lor Q$ ? Scrivi 1 per vero e 0 per falso.
Risposta: 1
$P \lor Q = 1 \lor 0 = 1$ : per OR basta una parte vera.
3.
Sia $P$ : "Nevica" e $Q$ : "La scuola è chiusa". Quale frase corrisponde a $\neg P \land Q$ ?
1. a)Non nevica e la scuola è chiusa.
2. b)Nevica e la scuola non è chiusa.
3. c)Non è vero che nevichi e che la scuola sia chiusa.
4. d)Non nevica o la scuola è chiusa.
Risposta: Non nevica e la scuola è chiusa.
$\neg P$ è "non nevica", e $\land$ lo unisce a $Q$ con *e*. L'ultima scelta sarebbe $\neg(P \land Q)$ .
4.
Sia $P$ : " $4 + 4 = 8$ " e $Q$ : " $9$ è un numero pari". Qual è il valore di verità di $P \land Q$ ? Scrivi 1 per vero e 0 per falso.
Risposta: 0
$P = 1$ e $Q = 0$ perché $9$ è dispari. $1 \land 0 = 0$ : AND richiede due parti vere.
5.
Sia $P$ : " $5 > 2$ " e $Q$ : " $6$ è un numero dispari". Trova il valore di verità di $P \land \neg Q$ (1 = vero, 0 = falso).
Risposta: 1
1. Qual è il valore di $P$ ? 1
2. Qual è il valore di $Q$ ? 0
3. Qual è il valore di $\neg Q$ ? 1
4. Qual è il valore di $P \land \neg Q$ ? 1
6.
Sia $P$ : "Mia ha un gatto" e $Q$ : "Mia ha un cane". Mia non ha nessun animale. Trova il valore di verità di "Mia non ha né un gatto né un cane" (1 = vero, 0 = falso).
Risposta: 1
1. Qual è il valore di $P$ ? 0
2. Né ... né si scrive $\neg P \land \neg Q$ . Qual è il valore di $\neg P$ ? 1
3. Qual è il valore di $\neg Q$ ? 1
4. Qual è il valore di $\neg P \land \neg Q$ ? 1
7.
Quale frase è la negazione di "Leo suona la chitarra e Leo canta"?
1. a)Leo non suona la chitarra e Leo canta.
2. b)Non è vero che Leo sia suoni la chitarra sia canti.
3. c)Leo non suona la chitarra né canta.
4. d)Leo suona la chitarra ma non canta.
Risposta: Non è vero che Leo sia suoni la chitarra sia canti.
Con $G$ : Leo suona la chitarra e $S$ : Leo canta, la negazione è $\neg(G \land S)$ : è vera in 3 casi su 4, ogni volta che manca almeno una delle due cose. "Né ... né" è vera in 1 solo caso, quindi non è la negazione.
8.
$P$ è falsa e $Q$ è vera. Qual è il valore di verità di $\neg(P \lor Q)$ ? Scrivi 1 per vero e 0 per falso.
Risposta: 0
$P \lor Q = 0 \lor 1 = 1$ , e $\neg 1 = 0$ : la proposizione è falsa.
9.
In quanti dei 4 casi di $P$ e $Q$ è vera $P \lor \neg Q$ ?
Risposta: 3
Casi ( $P$ , $Q$ ): 00 dà $0 \lor 1 = 1$ , 01 dà $0 \lor 0 = 0$ , 10 dà $1$ , 11 dà $1$ . Vera in 3 casi.
10.
Ana va alla festa e Ben va alla festa. La proposizione "Ana ci va o Ben ci va" è vera in logica?
1. a)Non si può stabilire
2. b)Sì, perché OR è vero quando almeno una parte è vera
3. c)No, perché OR significa esattamente uno dei due
4. d)No, perché ci vanno tutti e due
Risposta: Sì, perché OR è vero quando almeno una parte è vera
In logica OR è inclusivo: $1 \lor 1 = 1$ . La proposizione sarebbe falsa solo se non ci andassero né Ana né Ben.
11.
Trova il valore di verità di $(P \land Q) \lor \neg R$ per $P = 1$ , $Q = 0$ e $R = 1$ .
Risposta: 0
1. Qual è il valore di $P \land Q$ ? 0
2. Qual è il valore di $\neg R$ ? 0
3. Qual è il valore di $(P \land Q) \lor \neg R$ ? 0
12.
Sia $P$ : " $12$ è divisibile per $3$ " e $Q$ : " $12$ è divisibile per $5$ ". Trova il valore di verità di " $12$ è divisibile per $3$ o per $5$ , ma non per entrambi", che si scrive $(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)$ (1 = vero, 0 = falso).
Risposta: 1
1. Qual è il valore di $P \lor Q$ ? 1
2. Qual è il valore di $P \land Q$ ? 0
3. Qual è il valore di $\neg(P \land Q)$ ? 1
4. Qual è il valore di tutta la proposizione? 1
13.
In quanti dei 4 casi di $P$ e $Q$ è vera $\neg P \land Q$ ?
Risposta: 1
1. Quanti casi ci sono per $P$ e $Q$ ? 4
2. In quanti casi $\neg P$ è vera? 2
3. Tra questi casi, in quanti anche $Q$ è vera? 1
14.
Sia $P$ : "Fa freddo", $Q$ : "C'è vento", $R$ : "C'è il sole". Quali simboli significano "C'è il sole, e non c'è né freddo né vento"?
1. a) $\neg R \land (P \lor Q)$
2. b) $R \lor \neg(P \land Q)$
3. c) $R \land \neg(P \lor Q)$
4. d) $R \land \neg P \lor Q$
Risposta: $R \land \neg(P \lor Q)$
Né freddo né vento significa: non è vero che fa freddo o c'è vento, cioè $\neg(P \lor Q)$ , vera solo quando $P = 0$ e $Q = 0$ . Collegata a c'è il sole con *e*: $R \land \neg(P \lor Q)$ .
15.
In quanti degli 8 casi di $P$ , $Q$ e $R$ è vera $(P \land Q) \lor R$ ?
Risposta: 5
Quando $R = 1$ la proposizione è sempre vera: 4 casi. Quando $R = 0$ servono $P = 1$ e $Q = 1$ : 1 caso in più. In totale $4 + 1 = 5$ .
16.
Sia $P$ : " $2^3 = 8$ ", $Q$ : " $15$ è un numero primo", $R$ : " $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ ". Trova il valore di verità di $\neg(P \land R) \lor Q$ (1 = vero, 0 = falso).
Risposta: 0
1. Qual è il valore di $P \land R$ ? 1
2. Qual è il valore di $\neg(P \land R)$ ? 0
3. Qual è il valore di $Q$ ? 0
4. Qual è il valore di $\neg(P \land R) \lor Q$ ? 0
17.
In quanti degli 8 casi di $P$ , $Q$ e $R$ è vera $(P \lor \neg Q) \land R$ ?
Risposta: 3
1. Quanti casi ci sono per 3 proposizioni? 8
2. In quanti di essi $R$ è vera? 4
3. Tra le 4 combinazioni di $P$ e $Q$ , in quante $P \lor \neg Q$ è vera? 3
4. In quanti casi $(P \lor \neg Q) \land R$ è vera? 3
18.
Sia $L$ : "L'autobus è in ritardo" e $W$ : "Piove". Nega $L \lor W$ e trova in quanti dei 4 casi la negazione è vera.
Risposta: 1
1. In quanti casi $L \lor W$ è vera? 3
2. Nel caso in cui $L \lor W$ è falsa, qual è il valore di $L$ ? (1 = vero, 0 = falso) 0
3. E qual è il valore di $W$ in quel caso? 0
4. In quanti casi $\neg(L \lor W)$ è vera? 1