Tavole di verità

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quante righe ha una tavola di verità con 3 variabili?
1. a)9
2. b)3
3. c)8
4. d)6
Risposta: 8
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ righe. 6 sarebbe $2 \times 3$ , e mancherebbero delle combinazioni.
2.
Quante righe servono in una tavola di verità per $P$ e $Q$ ?
Risposta: 4
$2^2 = 4$ righe: VV, VF, FV e FF.
3.
Riempi le colonne delle variabili di una tavola di verità per $P$ , $Q$ e $R$ nell'ordine standard.
Risposta: 8
1. Quante righe servono nella tavola? 8
2. La colonna $P$ inizia con un blocco di V. Quante V ci sono in quel primo blocco? 4
3. La colonna $Q$ cambia il doppio delle volte. Quante V ci sono nel suo primo blocco? 2
4. Quante V ci sono nel primo blocco della colonna $R$ ? 1
4.
Nell'ordine standard di una tavola di verità con 8 righe, quale schema ha l'ultima colonna $R$ ?
1. a)F, F, F, F, V, V, V, V
2. b)V, V, F, F, V, V, F, F
3. c)V, F, V, F, V, F, V, F
4. d)V, V, V, V, F, F, F, F
Risposta: V, F, V, F, V, F, V, F
L'ultima colonna alterna a blocchi di 1: V, F, V, F, V, F, V, F. I blocchi di 4 sono di $P$ e quelli di 2 di $Q$ .
5.
Una tavola di verità ha 64 righe. Quante variabili ha l'espressione?
Risposta: 6
$2^6 = 64$ , quindi l'espressione ha 6 variabili (2, 4, 8, 16, 32, 64 sono sei raddoppi).
6.
Costruisci la tavola di verità di $\neg P \land Q$ . In quale riga è vera? Usa l'ordine standard delle righe (la riga 1 è $P$ = V, $Q$ = V).
Risposta: 3
1. Quante righe ha la tavola? 4
2. In quante righe $\neg P$ è vero? 2
3. In quale riga (numero da 1 a 4) $\neg P$ e $Q$ sono entrambi veri? 3
7.
In quante delle 4 righe della tavola di verità $\neg P \lor Q$ è vera?
Risposta: 3
$\neg P$ : F, F, V, V e $Q$ : V, F, V, F. OR dà V, F, V, V, quindi l'espressione è vera in 3 righe ed è falsa solo quando $P$ è vero e $Q$ è falso.
8.
Quale espressione è una tautologia?
1. a) $P \land Q$
2. b) $P \lor \neg P$
3. c) $\neg P \lor Q$
4. d) $P \land \neg P$
Risposta: $P \lor \neg P$
$P \lor \neg P$ è sempre vera: uno tra $P$ e $\neg P$ è sempre vero. $P \land \neg P$ è sempre falsa, mentre $P \land Q$ e $\neg P \lor Q$ sono false in almeno una riga ciascuna.
9.
In quante delle 8 righe $P \land (Q \lor R)$ è vera?
Risposta: 3
1. In quante delle 8 righe $Q \lor R$ è vero? 6
2. In quante righe $P$ è vero? 4
3. In quante righe $P$ e $Q \lor R$ sono entrambi veri? 3
10.
In quante delle 8 righe della tavola di verità $P \lor (Q \land R)$ è vera?
Risposta: 5
$P$ è vero nelle righe da 1 a 4, quindi ci sono 4 righe vere. Nelle righe da 5 a 8 ( $P$ falso), $Q \land R$ è vero solo nella riga 5. Totale: $4 + 1 = 5$ righe.
11.
Verifica con una tavola di verità se $(P \lor Q) \lor \neg Q$ è una tautologia.
Risposta: 0
1. In quante delle 4 righe $P \lor Q$ è vero? 3
2. In quante righe $\neg Q$ è vero? 2
3. In quante righe $(P \lor Q) \lor \neg Q$ è vera? 4
4. Quante righe sono false? (0 righe false significa tautologia) 0
12.
Quale espressione è logicamente equivalente a $\neg(P \lor Q)$ ?
1. a) $P \land Q$
2. b) $\neg P \lor \neg Q$
3. c) $\neg P \land \neg Q$
4. d) $\neg P \lor Q$
Risposta: $\neg P \land \neg Q$
$\neg(P \lor Q)$ : F, F, F, V. $\neg P \land \neg Q$ : F, F, F, V. Le colonne coincidono in ogni riga (De Morgan). $\neg P \lor \neg Q$ dà F, V, V, V, che è diverso.
13.
Verifica con una tavola di verità se $(P \land Q) \land \neg P$ è una contraddizione. Usa l'ordine standard delle righe (la riga 1 è $P$ = V, $Q$ = V).
Risposta: 0
1. Qual è l'unica riga (numero da 1 a 4) in cui $P \land Q$ è vero? 1
2. In quante righe $\neg P$ è vero? 2
3. In quante righe $(P \land Q) \land \neg P$ è vera? 0
14.
Che cosa mostra la tavola di verità di $(P \lor Q) \land \neg P$ ?
1. a)È una contraddizione
2. b)È equivalente a $P$
3. c)Nessuna delle due: vera in esattamente 1 riga
4. d)È una tautologia
Risposta: Nessuna delle due: vera in esattamente 1 riga
$P \lor Q$ : V, V, V, F e $\neg P$ : F, F, V, V. AND dà F, F, V, F. È vera in esattamente 1 riga (riga 3), quindi non è né una tautologia né una contraddizione, e non è equivalente a $P$ (V, V, F, F).
15.
In quante delle 4 righe $(P \land \neg Q) \lor (\neg P \land Q)$ è vera?
Risposta: 2
$P \land \neg Q$ è vero solo nella riga 2 (V, F) e $\neg P \land Q$ solo nella riga 3 (F, V). OR dà F, V, V, F: 2 righe vere. L'espressione è vera esattamente quando $P$ e $Q$ sono diversi.
16.
Verifica con una tavola di verità se $P \land (Q \lor R)$ e $(P \land Q) \lor (P \land R)$ sono equivalenti.
Risposta: 0
1. Quante righe ha la tavola? 8
2. In quante righe $P \land (Q \lor R)$ è vera? 3
3. In quante righe $(P \land Q) \lor (P \land R)$ è vera? 3
4. In quante righe le due colonne finali sono diverse? 0
17.
Uno studente sostiene che $\neg(P \land Q)$ è equivalente a $\neg P \land \neg Q$ . Verificalo con una tavola di verità. Usa l'ordine standard delle righe (la riga 1 è $P$ = V, $Q$ = V).
Risposta: 2
1. In quante delle 4 righe $\neg(P \land Q)$ è vera? 3
2. In quante righe $\neg P \land \neg Q$ è vera? 1
3. In quante righe le due colonne finali sono diverse? 2
4. Qual è il numero della prima riga in cui sono diverse? 2
18.
Costruisci la tavola di verità di $\neg P \lor (Q \land \neg R)$ . In quante delle 8 righe è vera?
Risposta: 5
1. In quante delle 8 righe $\neg P$ è vero? 4
2. In quante righe $Q \land \neg R$ è vero? 2
3. In quante righe $\neg P \lor (Q \land \neg R)$ è vera? 5
4. Quante righe sono false? 3