Formare una contronominale

Scrivi la contronominale di: "Se un numero è divisibile per $10$, allora termina con $0$."

Individua l'ipotesi $p$ e la tesi $q$: $p$: un numero è divisibile per $10$. $q$: termina con $0$. = Due parti trovate

Nega entrambe le parti: $\neg p$: il numero non è divisibile per $10$. $\neg q$: non termina con $0$. = Entrambe le parti negate

Scambia l'ordine e scrivi $\neg q \to \neg p$: Metti prima la tesi negata e poi l'ipotesi negata. = Se un numero non termina con $0$, allora non è divisibile per $10$.

Answer: Se un numero non termina con $0$, allora non è divisibile per $10$. Come l'enunciato di partenza, anche questo è vero: per esempio, $73$ non termina con $0$ e $73 \div 10 = 7{,}3$ non è un numero intero.

Tutti e quattro gli enunciati collegati

Parti da "Se una figura è un quadrato, allora ha quattro angoli retti." Scrivi l'inversa, la contraria e la contronominale e decidi se ciascuna è vera.

Controlla l'enunciato di partenza $p \to q$: Ogni quadrato ha quattro angoli retti. = Vero

Inversa $q \to p$: Se una figura ha quattro angoli retti, allora è un quadrato. Un rettangolo $3$ per $5$ ha quattro angoli retti ma non è un quadrato. = Falsa

Contraria $\neg p \to \neg q$: Se una figura non è un quadrato, allora non ha quattro angoli retti. Lo stesso rettangolo $3$ per $5$ è un controesempio. = Falsa

Contronominale $\neg q \to \neg p$: Se una figura non ha quattro angoli retti, allora non è un quadrato. = Vera

Answer: L'enunciato di partenza e la contronominale sono veri, l'inversa e la contraria sono false. Un solo controesempio (il rettangolo) fa cadere insieme l'inversa e la contraria, perché sono equivalenti tra loro.

Dimostrare l'equivalenza con una tavola di verità

Mostra che $p \to q$ e $\neg q \to \neg p$ hanno lo stesso valore di verità in ogni caso possibile.

Elenca tutte le combinazioni di $p$ e $q$: $(V,V)$, $(V,F)$, $(F,V)$, $(F,F)$ = 4 righe

Completa $p \to q$: Un'implicazione è falsa solo quando l'ipotesi è vera e la tesi è falsa: riga $(V,F)$. = $V, F, V, V$

Completa $\neg q$ e $\neg p$: Rovescia ogni valore: $\neg q$ è $F, V, F, V$ e $\neg p$ è $F, F, V, V$. = Due colonne di aiuto

Completa $\neg q \to \neg p$: È falsa solo dove $\neg q$ vale $V$ e $\neg p$ vale $F$, e questo succede solo nella riga $(V,F)$. = $V, F, V, V$

Confronta le due colonne: Entrambe le colonne riportano $V, F, V, V$. = Identiche in tutte e 4 le righe

Answer: Le colonne coincidono in ogni riga, quindi $p \to q \equiv \neg q \to \neg p$. L'enunciato e la sua contronominale sono logicamente equivalenti.

Usare la contronominale su un numero

La regola "Se un numero è divisibile per $6$, allora è divisibile per $3$" è vera. Usa la sua contronominale per decidere se $2750$ è divisibile per $6$.

Scrivi la contronominale: Scambia e nega. = Se un numero non è divisibile per $3$, allora non è divisibile per $6$.

Verifica la divisibilità per $3$ con la somma delle cifre: $2 + 7 + 5 + 0 = 14$, e $14$ non è divisibile per $3$. = $2750$ non è divisibile per $3$

Controlla con una divisione: $2750 = 3 \times 916 + 2$ = Resto $2$

Applica la contronominale: L'ipotesi "non divisibile per $3$" è vera per $2750$. = $2750$ non è divisibile per $6$

Answer: $2750$ non è divisibile per $6$. Nota che $2750$ è pari, quindi controllare solo la divisibilità per $2$ non avrebbe risolto la domanda. La contronominale sì.

Se n al quadrato è pari, allora n è pari

Spiega perché "Se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari" è vero per ogni numero intero $n$ guardando la sua contronominale.

Scrivi la contronominale: Per i numeri interi, non pari significa dispari. = Se $n$ è dispari, allora $n^2$ è dispari.

Scrivi un numero dispari in forma generale: $n = 2k + 1$ per un numero intero $k$, quindi $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ = $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Raccogli $2$: $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ = Il doppio di un intero più $1$, quindi $n^2$ è dispari

Verifica con $n = 7$: $k = 3$: $7^2 = 49 = 2 \times 24 + 1$ = $49$ è dispari

Concludi: La contronominale è vera ed è equivalente all'enunciato di partenza. = L'enunciato di partenza è vero

Answer: Ogni numero dispari ha un quadrato dispari, quindi la contronominale è vera e di conseguenza lo è anche l'enunciato di partenza. La strada diretta (partendo da $n^2$ pari) è molto più difficile. Dimostrare un enunciato in questo modo si chiama dimostrazione per contronominale, che incontrerai nell'argomento sulle dimostrazioni.

Mistake: Scambiare soltanto le parti e chiamare $q \to p$ la contronominale

Why: Scambiare senza negare dà l'inversa, che può essere falsa anche quando l'enunciato di partenza è vero.

Correct: Scambia **e** nega entrambe le parti: la contronominale di $p \to q$ è $\neg q \to \neg p$.

Mistake: Negare "$x > 5$" come "$x < 5$"

Why: Si dimentica il caso $x = 5$. Ogni numero è o maggiore di $5$ o non maggiore di $5$, e "non maggiore" comprende anche $5$ stesso.

Correct: La negazione di $x > 5$ è $x \le 5$, e la negazione di $x \ge 5$ è $x < 5$.

Mistake: Pensare che l'inversa di un enunciato vero sia anch'essa vera

Why: "Se $x = 4$, allora $x^2 = 16$" è vero, ma "Se $x^2 = 16$, allora $x = 4$" è falso, perché anche $x = -4$ funziona.

Correct: Solo la contronominale ha di sicuro lo stesso valore di verità dell'enunciato di partenza. L'inversa va controllata a parte.

Mistake: Perdersi nelle doppie negazioni

Why: Per "Se non piove, allora vado a scuola a piedi", alcuni scrivono "Se non vado a piedi, allora non non piove" oppure perdono per sbaglio una negazione.

Correct: La negazione di "non piove" è "piove". La contronominale è: "Se non vado a scuola a piedi, allora piove."

Criteri di divisibilità e cifre di controllo

Molti codici e controlli veloci a mente si basano sui criteri di divisibilità, e la contronominale permette di scartare un numero senza fare la divisione.

Regola: se un numero è divisibile per $9$, la somma delle sue cifre è divisibile per $9$. La somma delle cifre di $5812$ è $16$, quindi $5812$ non può essere divisibile per $9$.

Regole per la spedizione gratuita

I negozi online hanno spesso regole come "Se il tuo ordine è di 50 € o più, la spedizione è gratuita." La contronominale ti dice che cosa significano le spese di spedizione sulla tua fattura.

Contronominale: se hai pagato la spedizione, il tuo ordine era sotto i 50 €. Una fattura con spese di spedizione dimostra che l'ordine era sotto la soglia.

Leggere una classifica sportiva

I tifosi usano la contronominale per escludere delle possibilità dalla classifica senza guardare ogni partita.

In un campionato con $3$ punti per una vittoria, $1$ per un pareggio e $0$ per una sconfitta: se una squadra ha vinto tutte e $5$ le partite, ha $15$ punti. Una squadra con meno di $15$ punti non ha vinto tutte le partite.

Q: Perché la contronominale è sempre vera quando l'enunciato di partenza è vero?

A: L'enunciato $p \to q$ dice: ogni volta che succede $p$, succede anche $q$. Quindi, se $q$ non è successo, non può essere successo nemmeno $p$, altrimenti sarebbe seguito $q$. Questo è esattamente $\neg q \to \neg p$. La tavola di verità lo conferma in tutti e quattro i casi.

Q: Qual è la differenza tra la contraria e la contronominale?

A: Entrambe negano le due parti, ma la contraria mantiene l'ordine ($\neg p \to \neg q$), mentre la contronominale lo scambia anche ($\neg q \to \neg p$). La contronominale è equivalente all'enunciato di partenza; la contraria è equivalente all'inversa.

Q: Se l'enunciato di partenza è falso, anche la contronominale è falsa?

A: Sì. Sono equivalenti, quindi hanno sempre lo stesso valore di verità. "Se un numero è pari, allora è divisibile per $4$" è falso ($6$ è un controesempio), e lo è anche "Se un numero non è divisibile per $4$, allora non è pari", con lo stesso controesempio $6$.

Q: La contronominale è la stessa cosa di una dimostrazione per assurdo?

A: No. Con la contronominale dimostri direttamente $\neg q \to \neg p$ invece di $p \to q$. Una dimostrazione per assurdo suppone che tutto l'enunciato sia falso e arriva a un risultato impossibile. Entrambi i metodi compaiono nell'argomento sulle dimostrazioni.