Qual è la differenza tra la contraria e la contronominale?

Entrambe negano le due parti, ma la contraria mantiene l'ordine ($\neg p \to \neg q$), mentre la contronominale lo scambia anche ($\neg q \to \neg p$). La contronominale è equivalente all'enunciato di partenza; la contraria è equivalente all'inversa.

Se l'enunciato di partenza è falso, anche la contronominale è falsa?

Sì. Sono equivalenti, quindi hanno sempre lo stesso valore di verità. "Se un numero è pari, allora è divisibile per $4$" è falso ($6$ è un controesempio), e lo è anche "Se un numero non è divisibile per $4$, allora non è pari", con lo stesso controesempio $6$.

La contronominale è la stessa cosa di una dimostrazione per assurdo?

No. Con la contronominale dimostri direttamente $\neg q \to \neg p$ invece di $p \to q$. Una dimostrazione per assurdo suppone che tutto l'enunciato sia falso e arriva a un risultato impossibile. Entrambi i metodi compaiono nell'argomento sulle dimostrazioni.

Risorse per insegnanti

Contronominale

Q: Perché la contronominale è sempre vera quando l'enunciato di partenza è vero?

L'enunciato $p \to q$ dice: ogni volta che succede $p$, succede anche $q$. Quindi, se $q$ non è successo, non può essere successo nemmeno $p$, altrimenti sarebbe seguito $q$. Questo è esattamente $\neg q \to \neg p$. La tavola di verità lo conferma in tutti e quattro i casi.

Impara a formare la contronominale di un'implicazione "se... allora", perché ha sempre lo stesso valore di verità dell'enunciato di partenza e come usarla per ragionare sui numeri.

Intermedio25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

La contronominale di un enunciato condizionale (implicazione) "Se

p

, allora

q

" (

p \to q

) è l'enunciato "Se non

q

, allora non

p

\neg q \to \neg p

Per costruirla fai due cose: scambi l'ipotesi e la tesi, e le neghi entrambe.

Fatto chiave: un enunciato e la sua contronominale sono logicamente equivalenti. Sono sempre entrambi veri o entrambi falsi. La tavola di verità lo mostra riga per riga (V = vero, F = falso):

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & \neg p & \neg q & p \to q & \neg q \to \neg p \\ \hline V & V & F & F & V & V \\ V & F & F & V & F & F \\ F & V & V & F & V & V \\ F & F & V & V & V & V \end{array}

Le ultime due colonne sono identiche, quindi scriviamo

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

. (La tavola interattiva di questa lezione lo verifica per te: la sua ultima colonna,

(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)

, vale V in ogni riga.)

I quattro enunciati collegati a

p \to q

Enunciato di partenza: $p \to q$
Inversa: $q \to p$ (solo scambiare)
Contraria: $\neg p \to \neg q$ (solo negare)
Contronominale: $\neg q \to \neg p$ (scambiare e negare)

L'enunciato di partenza e la contronominale sono sempre d'accordo. Anche l'inversa e la contraria sono sempre d'accordo tra loro, perché la contraria è la contronominale dell'inversa.

Attenzione ai nomi: in inglese l'inversa (

q \to p

) si chiama *converse*, la contraria (

\neg p \to \neg q

) si chiama *inverse* e la contronominale (

\neg q \to \neg p

) si chiama *contrapositive*. Quindi l'inglese *inverse* corrisponde alla nostra contraria, non alla nostra inversa.

Prova subito

Qual è la contronominale di

p \to q

Esempi svolti

Scrivi la contronominale di: "Se un numero è divisibile per $10$ , allora termina con $0$ ."

Individua l'ipotesi $p$ e la tesi $q$

$p$ : un numero è divisibile per $10$ . $q$ : termina con $0$ . → Due parti trovate

Nega entrambe le parti

$\neg p$ : il numero non è divisibile per $10$ . $\neg q$ : non termina con $0$ . → Entrambe le parti negate

Scambia l'ordine e scrivi $\neg q \to \neg p$

Metti prima la tesi negata e poi l'ipotesi negata. → Se un numero non termina con $0$ , allora non è divisibile per $10$ .

Risposta: Se un numero non termina con $0$ , allora non è divisibile per $10$ . Come l'enunciato di partenza, anche questo è vero: per esempio, $73$ non termina con $0$ e $73 \div 10 = 7{,}3$ non è un numero intero.

Errori comuni

Scambiare soltanto le parti e chiamare $q \to p$ la contronominale

Perché è sbagliato: Scambiare senza negare dà l'inversa, che può essere falsa anche quando l'enunciato di partenza è vero.

Corretto: Scambia e nega entrambe le parti: la contronominale di $p \to q$ è $\neg q \to \neg p$ .

Negare " $x > 5$ " come " $x < 5$ "

Perché è sbagliato: Si dimentica il caso $x = 5$ . Ogni numero è o maggiore di $5$ o non maggiore di $5$ , e "non maggiore" comprende anche $5$ stesso.

Corretto: La negazione di $x > 5$ è $x \le 5$ , e la negazione di $x \ge 5$ è $x < 5$ .

Pensare che l'inversa di un enunciato vero sia anch'essa vera

Perché è sbagliato: "Se $x = 4$ , allora $x^2 = 16$ " è vero, ma "Se $x^2 = 16$ , allora $x = 4$ " è falso, perché anche $x = -4$ funziona.

Corretto: Solo la contronominale ha di sicuro lo stesso valore di verità dell'enunciato di partenza. L'inversa va controllata a parte.

Perdersi nelle doppie negazioni

Perché è sbagliato: Per "Se non piove, allora vado a scuola a piedi", alcuni scrivono "Se non vado a piedi, allora non non piove" oppure perdono per sbaglio una negazione.

Corretto: La negazione di "non piove" è "piove". La contronominale è: "Se non vado a scuola a piedi, allora piove."

Visuale interattivo

Tabella di verità

Espressionep → q ↔ ¬q → ¬p

p	q	p → q	¬q	¬p	¬q → ¬p	p → q ↔ ¬q → ¬p
V	V	V	F	F	V	V
V	F	F	V	F	F	V
F	V	V	F	V	V	V
F	F	V	V	V	V	V

V= VeroF= Falso

Tabella di verità

Seleziona operatore

p → q

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

V= VeroF= Falso

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Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Qual è la contronominale di $p \to q$ ?

Esercizi pratici: Contronominale

1. Qual è la contronominale di p → q?
2. Regola: se un numero è multiplo di 4, allora è pari. La sua contronominale dice: se un numero non è pari, allora non è multiplo di 4. Quale dei numeri 12, 15, 20, 28 puoi scartare con la sola contronominale?
3. Regola: se un numero è divisibile per 10, allora la sua ultima cifra è 0. Usa la contronominale per decidere se 7345 è divisibile per 10.
4. Quale enunciato è la contronominale di "Se un numero termina con 5, allora è divisibile per 5"?
5. Un'implicazione è vera. Oltre all'enunciato stesso, quanti degli altri tre enunciati collegati (inversa, contraria, contronominale) sono di sicuro veri anch'essi?
6. Enunciato: se x = 3, allora 2x = 6. La sua contronominale è: se 2x ≠ 6, allora x ≠ 3. Sai che 2x = 14. Mostra che x non è 3 e trova x.
7. Si sa che un'implicazione p → q è vera. Quale enunciato collegato deve essere vero anch'esso?
8. Usa 1 per vero e 0 per falso. Nella riga della tavola di verità con p = 1 e q = 0, trova i valori della contronominale e dell'enunciato di partenza.
9. Una tavola di verità di \neg q \to \neg p ha 4 righe. In quante di queste righe \neg q \to \neg p è vera?
10. Usa 1 per vero e 0 per falso. Nella riga con p = 0 e q = 1, l'enunciato di partenza p → q vale 1. Trova la contronominale e l'inversa in questa riga.
11. Nella riga della tavola di verità in cui p è vero e q è falso, quali sono i valori di p \to q e di \neg q \to \neg p?
12. Regola: se un numero è multiplo di 6, allora è multiplo di 3. Per mostrare con la contronominale che 50 non è multiplo di 6, controlli che 50 non è multiplo di 3. Qual è il resto della divisione di 50 per 3?
13. Regola: se un numero è divisibile per 3, allora la somma delle sue cifre è divisibile per 3. Usa la contronominale per decidere se 2471 è divisibile per 3.
14. Enunciato di partenza: "Se x = 4, allora x² = 16." Quali dei quattro enunciati collegati (enunciato di partenza, inversa, contraria, contronominale) sono veri?
15. L'enunciato "Se 3x + 2 > 20, allora x > 6" è vero. La sua contronominale è "Se x ≤ 6, allora 3x + 2 ≤ 20." Verifica la contronominale per x = 6 e x = 5.
16. La contronominale di "Se n² è pari, allora n è pari" è "Se n è dispari, allora n² è dispari." Verificala per n = 13: scrivi 13² nella forma 2m + 1. Quanto vale m?
17. Per capire perché vale "Se n² è pari, allora n è pari", verifica la sua contronominale "Se n è dispari, allora n² è dispari" per n = 9, usando la forma n = 2k + 1.
18. Per numeri interi a, b ≥ 0: "Se a + b ≥ 10, allora a ≥ 5 oppure b ≥ 5." La sua contronominale è "Se a < 5 e b < 5, allora a + b < 10." Trova il valore più grande possibile di a + b quando a < 5 e b < 5.

Perché è importante

La contronominale ti offre una seconda porta per entrare nello stesso enunciato, e a volte quella porta si apre molto più facilmente:

Numeri: per mostrare che $2750$ non è divisibile per $6$ basta vedere che non è divisibile per $3$
Controllare il lavoro: se una risposta corretta deve essere un numero intero e ti viene $4{,}5$ , sai che qualcosa è andato storto
Programmi per computer: "Se la password è corretta, la porta si apre." La porta è rimasta chiusa, quindi la password era sbagliata
Dimostrazioni: più avanti dimostrerai enunciati come "Se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari" dimostrando invece la contronominale

Sapere quali enunciati collegati sono d'accordo ti protegge anche da un errore molto comune: pensare che l'inversa di un enunciato vero debba essere vera.

Applicazioni nel mondo reale

Criteri di divisibilità e cifre di controllo

Molti codici e controlli veloci a mente si basano sui criteri di divisibilità, e la contronominale permette di scartare un numero senza fare la divisione.

Esempio:

Regola: se un numero è divisibile per $9$ , la somma delle sue cifre è divisibile per $9$ . La somma delle cifre di $5812$ è $16$ , quindi $5812$ non può essere divisibile per $9$ .

1Provaci tu stesso

Regola: se un numero è divisibile per $9$ , allora la somma delle sue cifre è divisibile per $9$ . Un impiegato controlla il numero di codice $4372$ .

$4372$ è divisibile per $9$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi la somma delle cifre di $4372$ come addizione:

Regole per la spedizione gratuita

I negozi online hanno spesso regole come "Se il tuo ordine è di 50 € o più, la spedizione è gratuita." La contronominale ti dice che cosa significano le spese di spedizione sulla tua fattura.

Esempio:

Contronominale: se hai pagato la spedizione, il tuo ordine era sotto i 50 €. Una fattura con spese di spedizione dimostra che l'ordine era sotto la soglia.

2Provaci tu stesso

Regola: se un ordine arriva in totale a 50 € o più, la spedizione è gratuita. Anna ha pagato le spese di spedizione. Nel suo carrello c'erano un libro da 18 € e una lampada da 27 €.

Qual era il totale del suo ordine, e quanto le mancava per la spedizione gratuita?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il totale dell'ordine come addizione:

Leggere una classifica sportiva

I tifosi usano la contronominale per escludere delle possibilità dalla classifica senza guardare ogni partita.

Esempio:

In un campionato con $3$ punti per una vittoria, $1$ per un pareggio e $0$ per una sconfitta: se una squadra ha vinto tutte e $5$ le partite, ha $15$ punti. Una squadra con meno di $15$ punti non ha vinto tutte le partite.

3Provaci tu stesso

Regola: se una squadra vince tutte e $5$ le sue partite, allora ha $15$ punti ( $3$ per vittoria, $1$ per pareggio, $0$ per sconfitta). La squadra Blu ha $13$ punti dopo $5$ partite.

La squadra Blu ha vinto tutte le partite? Quante partite può aver vinto al massimo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi i punti per $5$ vittorie come moltiplicazione:

Punti chiave

1La contronominale di $p \to q$ è $\neg q \to \neg p$ : scambia le due parti e negale entrambe
2Un enunciato e la sua contronominale sono logicamente equivalenti: sono sempre entrambi veri o entrambi falsi
3La tavola di verità lo mostra: $p \to q$ e $\neg q \to \neg p$ sono false solo nella riga $p$ vero, $q$ falso
4L'inversa $q \to p$ e la contraria $\neg p \to \neg q$ sono d'accordo tra loro, ma non per forza con l'enunciato di partenza
5Nega con attenzione: il contrario di $x > 5$ è $x \le 5$ , e il contrario di dispari è pari
6Quando un enunciato è difficile da verificare direttamente, verifica invece la sua contronominale, per esempio "se $n$ è dispari, allora $n^2$ è dispari"

Domande frequenti

L'enunciato

p \to q

dice: ogni volta che succede

p

, succede anche

q

. Quindi, se

q

non è successo, non può essere successo nemmeno

p

, altrimenti sarebbe seguito

q

. Questo è esattamente

\neg q \to \neg p

. La tavola di verità lo conferma in tutti e quattro i casi.

Glossario

Contronominale: L'enunciato $\neg q \to \neg p$ che si ottiene da $p \to q$ scambiando e negando entrambe le parti
Inversa: L'enunciato $q \to p$ , che si ottiene scambiando ipotesi e tesi
Contraria: L'enunciato $\neg p \to \neg q$ , che si ottiene negando ipotesi e tesi senza scambiarle
Negazione: Il contrario di un enunciato, scritto $\neg p$ ; è vera esattamente quando $p$ è falso
Logicamente equivalenti: Due enunciati che hanno lo stesso valore di verità in ogni riga di una tavola di verità, si scrive con $\equiv$

Scheda formule

Contronominale

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

Scambiare e negare entrambe le parti; sempre equivalente all'enunciato di partenza

Inversa e contraria

q \to p \equiv \neg p \to \neg q

Equivalenti tra loro, ma non per forza all'enunciato di partenza

Negare le disuguaglianze

\neg(x > a) \iff x \le a

La negazione di "maggiore di" è "minore o uguale a"

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Tabella di verità

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Perché è importante

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Criteri di divisibilità e cifre di controllo

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Domande frequenti

Glossario

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Contronominale

Inversa e contraria

Negare le disuguaglianze

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