Enunciati se... allora

Un'**implicazione**, detta anche **enunciato condizionale** o **enunciato se... allora**, collega due proposizioni con le parole **se** e **allora**: $$\text{Se } p\text{, allora } q.$$ - La parte dopo "se" è l'**ipotesi** ($p$), la condizione. - La parte dopo "allora" è la **tesi** o **conclusione** ($q$), ciò che deve seguire. In simboli scriviamo $p \to q$ e leggiamo "se $p$, allora $q$" oppure "$p$ implica $q$". **Esempio:** Se un numero termina con 0, allora è divisibile per 10. - Ipotesi $p$: un numero termina con 0 - Tesi $q$: il numero è divisibile per 10 Pensa a un'implicazione come a una **promessa**. La promessa è infranta solo quando l'ipotesi si verifica e la tesi no. Quindi $p \to q$ è **falsa in un solo caso**: $p$ è vera e $q$ è falsa. In tutti gli altri casi è vera. | $p$ | $q$ | $p \to q$ | |:---:|:---:|:---:| | V | V | V | | V | F | F | | F | V | V | | F | F | V | La tavola di verità interattiva di questa lezione mostra le stesse quattro righe in ordine inverso, partendo da F, F. Entrambi gli ordini vanno bene. Un caso in cui l'ipotesi è vera e la tesi è falsa si chiama **controesempio**. Basta un solo controesempio per mostrare che un'implicazione è falsa.

Trovare l'ipotesi e la tesi

Individua l'ipotesi e la tesi: "Se un triangolo ha un angolo retto, allora è un triangolo rettangolo."

Trova la parte dopo "se": "un triangolo ha un angolo retto" = Ipotesi $p$: un triangolo ha un angolo retto

Trova la parte dopo "allora": "è un triangolo rettangolo" = Tesi $q$: il triangolo è rettangolo

Scrivila in simboli: Prima viene la condizione, poi il risultato = $p \to q$

Answer: Ipotesi: un triangolo ha un angolo retto. Tesi: è un triangolo rettangolo. In simboli: $p \to q$.

Riscrivere una frase di tutti i giorni

Scrivi nella forma se... allora: "Prendo l'ombrello ogni volta che piove."

Trova la condizione: Le parole "ogni volta che" introducono la condizione: piove = Ipotesi: piove

Trova ciò che segue dalla condizione: Che cosa succede quando piove? Prendo l'ombrello = Tesi: prendo l'ombrello

Metti l'ipotesi dopo "se" e la tesi dopo "allora": La frase iniziava con la tesi, quindi cambiamo l'ordine = Se piove, allora prendo l'ombrello.

Answer: Se piove, allora prendo l'ombrello. Nella frase originale l'ipotesi non sta sempre all'inizio.

Riscrivere una frase matematica e verificarla

Scrivi "Ogni multiplo di 10 è pari" nella forma se... allora e verificala con il numero 70.

Trova da che cosa partiamo: Partiamo da un numero che è multiplo di 10 = $p$: un numero è multiplo di 10

Trova che cosa si afferma su di esso: Un numero così è pari = $q$: il numero è pari

Scrivi l'implicazione: Se $p$, allora $q$ = Se un numero è multiplo di 10, allora è pari.

Verifica con 70: $70 = 10 \times 7$, quindi l'ipotesi è vera. $70 \div 2 = 35$, quindi 70 è pari = La tesi è vera per 70

Answer: Se un numero è multiplo di 10, allora è pari. Per 70 entrambe le parti sono vere, quindi questo caso è d'accordo con l'enunciato.

Quando una promessa è infranta?

Un'insegnante dice: "Se prendi almeno 80 punti, allora ricevi un adesivo." Quattro studenti: Ana prende 85 punti e riceve un adesivo, Ben prende 90 punti e non lo riceve, Cleo prende 70 punti e riceve un adesivo, Dan prende 60 punti e non lo riceve. Chi mostra che l'insegnante ha infranto la promessa?

Stabilisci l'ipotesi $p$ per ogni studente: $p$: punti $\geq 80$. Ana $85$, Ben $90$: vera. Cleo $70$, Dan $60$: falsa = $p$ è vera solo per Ana e Ben

Stabilisci la tesi $q$ per ogni studente: $q$: riceve un adesivo. Ana e Cleo: vera. Ben e Dan: falsa = $q$ è falsa per Ben e Dan

Cerca l'unico caso falso: $p$ vera e $q$ falsa: Ana: V, V. Ben: V, F. Cleo: F, V. Dan: F, F = Solo Ben ha V e F

Answer: Solo Ben mostra che la promessa è infranta: ha preso almeno 80 punti ma non ha ricevuto l'adesivo. Che Cleo riceva un adesivo con 70 punti non la infrange, perché la promessa non dice nulla sui punteggi sotto 80.

Confutare un enunciato con un controesempio

Questo enunciato è vero? "Se $x^2 = 25$, allora $x = 5$."

Cerca valori che rendono vera l'ipotesi: Quali numeri al quadrato danno 25? $5^2 = 25$ e $(-5)^2 = 25$ = $x = 5$ oppure $x = -5$

Controlla la tesi per ogni valore: Per $x = 5$ la tesi $x = 5$ è vera. Per $x = -5$ la tesi $x = 5$ è falsa = $x = -5$ dà V e F

Decidi: Basta un caso con ipotesi vera e tesi falsa = $x = -5$ è un controesempio

Answer: L'enunciato è falso. Il controesempio $x = -5$ rende vera l'ipotesi $x^2 = 25$ ma falsa la tesi $x = 5$.

Le implicazioni sono ovunque, spesso nascoste in frasi normali: - **Acquisti**: "Se il tuo ordine è di almeno 40 €, allora la spedizione è gratuita." - **Regole e giochi**: "Se esce un 6, allora tiri di nuovo." - **Scienze**: "Se l'acqua viene scaldata a 100 °C al livello del mare, allora bolle." - **Programmazione**: ogni app è piena di comandi come "se la password è corretta, allora apri l'account". - **Matematica**: quasi ogni regola e ogni teorema è un'implicazione, per esempio "se un triangolo ha un angolo retto, allora $a^2 + b^2 = c^2$" (dove $c$ è il lato più lungo). Nella lezione Il ragionamento deduttivo hai usato regole se... allora come premesse. Ora imparerai come sono costruite, come scriverle da solo e come verificarle. È il punto di partenza per l'inversa (si scambiano ipotesi e tesi), la contraria (si negano entrambe) e la contronominale (si scambiano e si negano), che vengono subito dopo nelle lezioni Inversa e contraria e Contronominale. Attenzione: in inglese si chiamano converse, inverse e contrapositive, quindi l'"inverse" inglese è la nostra contraria.

Mistake: Prendere la prima parte della frase come ipotesi, come in "Prendo l'ombrello se piove" → ipotesi "prendo l'ombrello"

Why: L'ipotesi è la parte che segue la parola "se" (o "quando", "ogni volta che"), ovunque si trovi nella frase.

Correct: Trova prima la condizione: "piove". Poi scrivi: Se piove, allora prendo l'ombrello.

Mistake: Pensare che $p \to q$ sia falsa ogni volta che l'ipotesi è falsa

Why: Un'implicazione promette qualcosa solo per il caso in cui $p$ si verifica. Se $p$ non si verifica, la promessa non può essere infranta.

Correct: $p \to q$ è falsa solo nel caso V → F. Quando $p$ è falsa, l'implicazione è vera, qualunque sia $q$.

Mistake: Usare come controesempio un numero che non soddisfa l'ipotesi, per esempio $x = 0$ contro "se $x > 3$, allora $x > 1$"

Why: Per $x = 0$ la tesi $x > 1$ è falsa, ma anche l'ipotesi $x > 3$ è falsa, quindi questo caso non può confutare l'enunciato.

Correct: Un controesempio deve rendere vera l'ipotesi e falsa la tesi. Per "se $x > 3$, allora $x > 1$" un numero così non esiste, quindi l'enunciato è vero.

Mistake: Credere che un esempio che funziona dimostri l'enunciato

Why: "Se $n$ è un numero naturale, allora $2^n + 1$ è primo" funziona per $n = 1$ ($3$) e $n = 2$ ($5$), ma $n = 3$ dà $9$, che non è primo.

Correct: Gli esempi possono solo sostenere un enunciato. Per dimostrarlo serve un ragionamento generale, ma un solo controesempio basta per confutarlo.

Acquisti online

I negozi usano regole se... allora per la spedizione gratuita, gli sconti e i regali. Per approfittare dell'offerta devi rendere vera l'ipotesi.

"Se il tuo ordine è di almeno 40 €, allora la spedizione è gratuita." Un ordine di 52 € rende vera l'ipotesi, quindi la spedizione deve essere gratuita.

Mettere alla prova affermazioni in matematica

I matematici mettono alla prova un'implicazione cercando un controesempio. Se ne trovano uno, l'affermazione è falsa.

"Se un numero è primo, allora è dispari" è falsa, perché 2 è primo e pari.

Casa intelligente e programmazione

Un termostato funziona con un'implicazione: se la stanza è più fredda di un valore impostato, allora il riscaldamento si accende.

"Se la temperatura è sotto i 18 °C, allora il riscaldamento si accende." A 17 °C l'ipotesi è vera, quindi il riscaldamento deve accendersi. A 20 °C non viene promesso nulla.

Un'implicazione ha la forma "se $p$, allora $q$", che si scrive $p \to q$

L'ipotesi $p$ è la condizione dopo "se"; la tesi $q$ è il risultato dopo "allora"

Molte frasi nascondono un'implicazione: "ogni A è B" significa "se qualcosa è un A, allora è un B"

$p \to q$ è falsa solo quando $p$ è vera e $q$ è falsa (V → F); negli altri tre casi è vera

Un controesempio rende vera l'ipotesi e falsa la tesi, e ne basta uno per confutare un enunciato

Gli esempi che funzionano sostengono un enunciato, ma non lo dimostrano

Q: Perché "se $p$, allora $q$" è vera quando $p$ è falsa?

A: Perché l'enunciato fa una promessa solo per il caso in cui $p$ si verifica. Se dici "se piove, prendo l'ombrello" e non piove, non hai mancato alla tua parola, qualunque cosa tu faccia.

Q: La parola "allora" deve esserci sempre?

A: No. "Se piove, resto a casa", "Resto a casa quando piove" e "La pioggia significa che resto a casa" sono la stessa implicazione. Scriverla con "se" e "allora" serve solo a vedere bene l'ipotesi e la tesi.

Q: Quanti controesempi servono per mostrare che un enunciato è falso?

A: Uno solo. Un'implicazione afferma che la tesi segue ogni volta che l'ipotesi è vera, quindi un solo caso V → F basta per confutarla.

Q: Che cosa succede se scambio l'ipotesi e la tesi?

A: Ottieni un nuovo enunciato che può avere un altro valore di verità. "Se una figura è un quadrato, allora è un rettangolo" è vero, ma "se una figura è un rettangolo, allora è un quadrato" è falso. Scambiare e negare le parti è l'argomento delle prossime lezioni, Inversa e contraria e Contronominale.

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Enunciati se... allora

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Logica e Insiemi / Ragionamento logico

Enunciati se... allora

Impara a scrivere enunciati nella forma se... allora, a riconoscere ipotesi e tesi e a capire quando un'implicazione è falsa.

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