La parola "allora" deve esserci sempre?

No. "Se piove, resto a casa", "Resto a casa quando piove" e "La pioggia significa che resto a casa" sono la stessa implicazione. Scriverla con "se" e "allora" serve solo a vedere bene l'ipotesi e la tesi.

Quanti controesempi servono per mostrare che un enunciato è falso?

Uno solo. Un'implicazione afferma che la tesi segue ogni volta che l'ipotesi è vera, quindi un solo caso V → F basta per confutarla.

Che cosa succede se scambio l'ipotesi e la tesi?

Ottieni un nuovo enunciato che può avere un altro valore di verità. "Se una figura è un quadrato, allora è un rettangolo" è vero, ma "se una figura è un rettangolo, allora è un quadrato" è falso. Scambiare e negare le parti è l'argomento delle prossime lezioni, Inversa e contraria e Contronominale.

Risorse per insegnanti

Enunciati se... allora

Q: Perché "se $p$, allora $q$" è vera quando $p$ è falsa?

Perché l'enunciato fa una promessa solo per il caso in cui $p$ si verifica. Se dici "se piove, prendo l'ombrello" e non piove, non hai mancato alla tua parola, qualunque cosa tu faccia.

Impara a scrivere enunciati nella forma se... allora, a riconoscere ipotesi e tesi e a capire quando un'implicazione è falsa.

Intermedio25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Un'implicazione, detta anche enunciato condizionale o enunciato se... allora, collega due proposizioni con le parole se e allora:

\text{Se } p\text{, allora } q.

La parte dopo "se" è l'ipotesi ( $p$ ), la condizione.
La parte dopo "allora" è la tesi o conclusione ( $q$ ), ciò che deve seguire.

In simboli scriviamo

p \to q

e leggiamo "se

p

, allora

q

" oppure "

p

implica

q

Esempio: Se un numero termina con 0, allora è divisibile per 10.

Ipotesi $p$ : un numero termina con 0
Tesi $q$ : il numero è divisibile per 10

Pensa a un'implicazione come a una promessa. La promessa è infranta solo quando l'ipotesi si verifica e la tesi no. Quindi

p \to q

è falsa in un solo caso:

p

è vera e

q

è falsa. In tutti gli altri casi è vera.

$p$	$q$	$p \to q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

La tavola di verità interattiva di questa lezione mostra le stesse quattro righe in ordine inverso, partendo da F, F. Entrambi gli ordini vanno bene.

Un caso in cui l'ipotesi è vera e la tesi è falsa si chiama controesempio. Basta un solo controesempio per mostrare che un'implicazione è falsa.

Prova subito

Qual è l'ipotesi dell'enunciato "Se piove, allora la partita di calcio viene annullata"?

Esempi svolti

Individua l'ipotesi e la tesi: "Se un triangolo ha un angolo retto, allora è un triangolo rettangolo."

Trova la parte dopo "se"

"un triangolo ha un angolo retto" → Ipotesi $p$ : un triangolo ha un angolo retto

Trova la parte dopo "allora"

"è un triangolo rettangolo" → Tesi $q$ : il triangolo è rettangolo

Scrivila in simboli

Prima viene la condizione, poi il risultato → $p \to q$

Risposta: Ipotesi: un triangolo ha un angolo retto. Tesi: è un triangolo rettangolo. In simboli: $p \to q$ .

Errori comuni

Prendere la prima parte della frase come ipotesi, come in "Prendo l'ombrello se piove" → ipotesi "prendo l'ombrello"

Perché è sbagliato: L'ipotesi è la parte che segue la parola "se" (o "quando", "ogni volta che"), ovunque si trovi nella frase.

Corretto: Trova prima la condizione: "piove". Poi scrivi: Se piove, allora prendo l'ombrello.

Pensare che $p \to q$ sia falsa ogni volta che l'ipotesi è falsa

Perché è sbagliato: Un'implicazione promette qualcosa solo per il caso in cui $p$ si verifica. Se $p$ non si verifica, la promessa non può essere infranta.

Corretto: $p \to q$ è falsa solo nel caso V → F. Quando $p$ è falsa, l'implicazione è vera, qualunque sia $q$ .

Usare come controesempio un numero che non soddisfa l'ipotesi, per esempio $x = 0$ contro "se $x > 3$ , allora $x > 1$ "

Perché è sbagliato: Per $x = 0$ la tesi $x > 1$ è falsa, ma anche l'ipotesi $x > 3$ è falsa, quindi questo caso non può confutare l'enunciato.

Corretto: Un controesempio deve rendere vera l'ipotesi e falsa la tesi. Per "se $x > 3$ , allora $x > 1$ " un numero così non esiste, quindi l'enunciato è vero.

Credere che un esempio che funziona dimostri l'enunciato

Perché è sbagliato: "Se $n$ è un numero naturale, allora $2^n + 1$ è primo" funziona per $n = 1$ ( $3$ ) e $n = 2$ ( $5$ ), ma $n = 3$ dà $9$ , che non è primo.

Corretto: Gli esempi possono solo sostenere un enunciato. Per dimostrarlo serve un ragionamento generale, ma un solo controesempio basta per confutarlo.

Visuale interattivo

Tabella di verità

Seleziona operatore

p → q

p	q	p → q
F	F	V
F	V	V
V	F	F
V	V	V

V= VeroF= Falso

Tabella di verità

Seleziona operatore

p → q

p	q	p → q
F	F
F	V
V	F
V	V

V= VeroF= Falso

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Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Qual è l'ipotesi dell'enunciato "Se piove, allora la partita di calcio viene annullata"?

Perché è importante

Le implicazioni sono ovunque, spesso nascoste in frasi normali:

Acquisti: "Se il tuo ordine è di almeno 40 €, allora la spedizione è gratuita."
Regole e giochi: "Se esce un 6, allora tiri di nuovo."
Scienze: "Se l'acqua viene scaldata a 100 °C al livello del mare, allora bolle."
Programmazione: ogni app è piena di comandi come "se la password è corretta, allora apri l'account".
Matematica: quasi ogni regola e ogni teorema è un'implicazione, per esempio "se un triangolo ha un angolo retto, allora $a^2 + b^2 = c^2$ " (dove $c$ è il lato più lungo).

Nella lezione Il ragionamento deduttivo hai usato regole se... allora come premesse. Ora imparerai come sono costruite, come scriverle da solo e come verificarle. È il punto di partenza per l'inversa (si scambiano ipotesi e tesi), la contraria (si negano entrambe) e la contronominale (si scambiano e si negano), che vengono subito dopo nelle lezioni Inversa e contraria e Contronominale. Attenzione: in inglese si chiamano converse, inverse e contrapositive, quindi l'"inverse" inglese è la nostra contraria.

Applicazioni nel mondo reale

Acquisti online

I negozi usano regole se... allora per la spedizione gratuita, gli sconti e i regali. Per approfittare dell'offerta devi rendere vera l'ipotesi.

Esempio:

"Se il tuo ordine è di almeno 40 €, allora la spedizione è gratuita." Un ordine di 52 € rende vera l'ipotesi, quindi la spedizione deve essere gratuita.

1Provaci tu stesso

Un negozio promette: se il tuo ordine è di almeno 40 €, allora la spedizione è gratuita. Nel carrello hai una maglietta da 18 € e un cappellino da 15 €.

Quanti euro devi ancora spendere perché l'ipotesi diventi vera?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sottrai il tuo totale da 40:

Mettere alla prova affermazioni in matematica

I matematici mettono alla prova un'implicazione cercando un controesempio. Se ne trovano uno, l'affermazione è falsa.

Esempio:

"Se un numero è primo, allora è dispari" è falsa, perché 2 è primo e pari.

2Provaci tu stesso

Un compagno afferma: se un numero naturale è multiplo di 3, allora è dispari.

Qual è il più piccolo controesempio positivo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

I multipli di 3 sono 3, 3 + 3, 3 + 3 + 3, ... Scrivi il secondo:

Casa intelligente e programmazione

Un termostato funziona con un'implicazione: se la stanza è più fredda di un valore impostato, allora il riscaldamento si accende.

Esempio:

"Se la temperatura è sotto i 18 °C, allora il riscaldamento si accende." A 17 °C l'ipotesi è vera, quindi il riscaldamento deve accendersi. A 20 °C non viene promesso nulla.

3Provaci tu stesso

La regola è: se la temperatura è sotto i 18 °C, allora il riscaldamento si accende. Alle 7:00 la stanza è a 22 °C e si raffredda di 3 °C ogni ora.

Qual è la temperatura dopo 2 ore, e il riscaldamento è acceso?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Parti da 22 e sottrai 3 due volte:

Punti chiave

1Un'implicazione ha la forma "se $p$ , allora $q$ ", che si scrive $p \to q$
2L'ipotesi $p$ è la condizione dopo "se"; la tesi $q$ è il risultato dopo "allora"
3Molte frasi nascondono un'implicazione: "ogni A è B" significa "se qualcosa è un A, allora è un B"
4 $p \to q$ è falsa solo quando $p$ è vera e $q$ è falsa (V → F); negli altri tre casi è vera
5Un controesempio rende vera l'ipotesi e falsa la tesi, e ne basta uno per confutare un enunciato
6Gli esempi che funzionano sostengono un enunciato, ma non lo dimostrano

Domande frequenti

Perché l'enunciato fa una promessa solo per il caso in cui

p

si verifica. Se dici "se piove, prendo l'ombrello" e non piove, non hai mancato alla tua parola, qualunque cosa tu faccia.

Glossario

Enunciato condizionale: Un enunciato della forma "se $p$ , allora $q$ ", detto anche enunciato se... allora
Ipotesi: La condizione di un'implicazione, la parte dopo "se" ( $p$ )
Tesi: Il risultato di un'implicazione, la parte dopo "allora" ( $q$ ), detta anche conclusione
Implicazione: Altro nome dell'enunciato condizionale; $p \to q$ si legge " $p$ implica $q$ "
Controesempio: Un caso in cui l'ipotesi è vera e la tesi è falsa; mostra che un'implicazione è falsa
Valore di verità: Il fatto che un enunciato sia vero (V) o falso (F)

Scheda formule

Implicazione

p \to q

Si legge "se $p$, allora $q$": $p$ è l'ipotesi, $q$ la tesi

Unico caso falso

V \to F = F

Un'implicazione è falsa solo quando l'ipotesi è vera e la tesi è falsa

Controesempio

p \text{ vera e } q \text{ falsa}

Basta un caso così per confutare $p \to q$

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