Somme di numeri dispari

Somma i primi numeri dispari: $1$, $1 + 3$, $1 + 3 + 5$, $1 + 3 + 5 + 7$. Formula una congettura e usala per prevedere la somma dei primi $10$ numeri dispari.

Osserva i casi: $1 = 1$, $1 + 3 = 4$, $1 + 3 + 5 = 9$, $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ = Somme: $1, 4, 9, 16$

Cerca una regolarità: $1 = 1^2$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $16 = 4^2$ = Ogni somma è un quadrato perfetto

Formula una congettura: Con $n$ numeri dispari la somma sembra essere $n \times n$ = Somma dei primi $n$ dispari $= n^2$

Verificala con un nuovo caso: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2$ = La congettura supera la prova

Usala per prevedere: $n = 10$: $10^2 = 100$ = $100$

Answer: Congettura: la somma dei primi $n$ numeri dispari è $n^2$. La somma dei primi $10$ dispari dovrebbe essere $100$ (e questa congettura è stata davvero dimostrata).

Confutare una congettura con lo zero e i negativi

Leo verifica l'affermazione "raddoppiare un numero lo rende sempre più grande" con $3$, $10$ e $25$. L'affermazione è vera?

Controlla i casi di Leo: $3 \to 6$, $10 \to 20$, $25 \to 50$ = Tutti e tre sono diventati più grandi

Prova un altro tipo di numero: lo zero: $2 \times 0 = 0$ = $0$ non è maggiore di $0$

Prova un numero negativo: $2 \times (-5) = -10$, e $-10 < -5$ = Il doppio è più piccolo

Decidi: Basta un controesempio = L'affermazione è falsa

Answer: L'affermazione è falsa: $0$ e $-5$ sono controesempi. Una congettura corretta è "raddoppiare un numero positivo lo rende più grande".

Le diagonali dei poligoni

Un triangolo ha $0$ diagonali, un quadrilatero $2$, un pentagono $5$ e un esagono $9$. Prevedi il numero di diagonali di un ottagono.

Elenca i casi: $3$ lati: $0$, $4$ lati: $2$, $5$ lati: $5$, $6$ lati: $9$ = $0, 2, 5, 9$

Calcola le differenze: $2 - 0 = 2$, $5 - 2 = 3$, $9 - 5 = 4$ = Le differenze crescono di $1$

Continua la regolarità: Ettagono: $9 + 5 = 14$, ottagono: $14 + 6 = 20$ = Previsione: $20$

Verifica con una formula che vale per tutti i casi: $\frac{n(n - 3)}{2}$: $\frac{6 \times 3}{2} = 9$, $\frac{8 \times 5}{2} = 20$ = Entrambi i metodi danno $20$

Answer: Un ottagono dovrebbe avere $20$ diagonali. Contarle su un disegno lo conferma.

Quaranta casi eppure falsa

Verifica la congettura "$n^2 + n + 41$ è sempre un numero primo" per $n = 0, 1, 2, 3$ e poi per $n = 40$.

Prova valori piccoli: $n = 0$: $41$, $n = 1$: $43$, $n = 2$: $47$, $n = 3$: $53$ = Tutti primi

Nota fin dove arriva: Continua a dare numeri primi fino a $n = 39$ = $40$ casi di fila funzionano

Prova $n = 40$: $40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41$ = $1681$

Controlla se $1681$ è primo: $1681 = 41 \times 41$ = Non è primo: un controesempio

Answer: La congettura è falsa. $n = 40$ è un controesempio, anche se i primi $40$ casi funzionavano tutti.

Induttivo e deduttivo a confronto

Mia nota: $3 + 5 = 8$, $7 + 9 = 16$, $11 + 1 = 12$. Che cosa può concludere sulla somma di due numeri dispari, e come può esserne sicura?

Ragiona in modo induttivo: $8$, $16$ e $12$ sono tutti pari = Congettura: dispari $+$ dispari è pari

Riconosci il limite: Tre casi non possono controllare tutte le coppie di dispari = Per ora è solo probabilmente vera

Ragiona in modo deduttivo: I dispari sono $2a + 1$ e $2b + 1$: $(2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1)$ = Sempre un multiplo di $2$

Confronta: Gli esempi hanno dato l'idea, l'algebra ha dato la dimostrazione = Ora è certo

Answer: Il ragionamento induttivo dà la congettura "dispari $+$ dispari è pari". Il ragionamento deduttivo con $2(a + b + 1)$ la dimostra per tutti i numeri dispari.

Mistake: Pensare che una congettura sia dimostrata perché ha funzionato in molti casi

Why: Gli esempi possono solo sostenere una congettura. $n^2 + n + 41$ è primo per $40$ valori di fila e fallisce comunque per $n = 40$.

Correct: Chiamala congettura finché non è dimostrata. Di' "probabilmente vera", non "vera".

Mistake: Credere che un solo controesempio non basti per respingere una congettura

Why: Una congettura afferma qualcosa su tutti i casi. Se anche un solo caso non funziona, l'affermazione "sempre" è falsa.

Correct: Un controesempio basta. $2$ è primo e pari, quindi "tutti i numeri primi sono dispari" è falso.

Mistake: Provare solo numeri interi positivi facili

Why: Molte congetture falliscono con $0$, con i numeri negativi o con le frazioni. "Elevare al quadrato rende un numero più grande" funziona per $2, 3, 10$ ma non per $\frac{1}{2}$: $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Correct: Prova apposta casi speciali: $0$, $1$, numeri negativi, frazioni e numeri grandi.

Mistake: Confondere il principio di induzione con il ragionamento induttivo

Why: I nomi si somigliano, ma il principio di induzione è un metodo di dimostrazione deduttivo con un caso base e un passo induttivo.

Correct: Il ragionamento induttivo formula una congettura dagli esempi. Il principio di induzione dimostra un'affermazione per tutti i numeri naturali.

Previsioni del tempo

I meteorologi confrontano la giornata di oggi con molti giorni passati che le somigliavano. Ciò che di solito è successo dopo diventa la previsione, ed è per questo che le previsioni danno probabilità e non certezze.

Se in $80$ dei $100$ giorni passati con queste nuvole e questo vento il giorno dopo è piovuto, la previsione indica una probabilità di pioggia dell'$80\%$.

Esperimenti scientifici

Gli scienziati ripetono le misure, cercano una regolarità e formulano una regola. Ci si fida della regola finché nessun esperimento la smentisce.

Appendendo $1$, $2$ e $3$ pesi uguali a una molla, si allunga di $3$ cm, $6$ cm e $9$ cm. La congettura: $3$ cm di allungamento per ogni peso. Con troppi pesi la molla si deforma e la regola non vale più.

Organizzare un torneo

In un torneo all'italiana ogni squadra gioca una volta contro ciascuna delle altre. Gli organizzatori possono trovare il numero di partite partendo da casi piccoli e da una congettura.

$2$ squadre giocano $1$ partita, $3$ squadre ne giocano $3$, $4$ squadre ne giocano $6$. La congettura $\frac{n(n - 1)}{2}$ vale in tutti e tre i casi, e qui si può persino dimostrare: ognuna delle $n$ squadre gioca contro $n - 1$ avversarie, e ogni partita viene contata due volte.

Q: Se il ragionamento induttivo può sbagliare, perché lo usiamo?

A: Perché è così che troviamo idee che vale la pena dimostrare. Il ragionamento deduttivo ha bisogno di un'affermazione da cui partire, e quell'affermazione di solito nasce notando una regolarità negli esempi.

Q: Quanti esempi servono prima di potersi fidare di una congettura?

A: Nessun numero di esempi basta per avere la certezza. $n^2 + n + 41$ funziona $40$ volte e poi fallisce. Più esempi, e più vari, rendono una congettura più credibile, ma solo una dimostrazione la rende certa.

Q: Il principio di induzione è un tipo di ragionamento induttivo?

A: No. Nonostante il nome, il principio di induzione è una dimostrazione deduttiva: dimostri un caso base e dimostri che ogni caso implica il successivo, quindi l'affermazione è certa per tutti i numeri naturali.

Q: Esistono congetture famose che nessuno ha ancora dimostrato?

A: Sì. La congettura di Goldbach afferma che ogni numero pari maggiore di $2$ è la somma di due numeri primi, come $10 = 3 + 7$. I computer l'hanno verificata per tutti i numeri pari fino a $4 \times 10^{18}$, ma non è ancora stata dimostrata.