Quanti esempi servono prima di potersi fidare di una congettura?

Nessun numero di esempi basta per avere la certezza. $n^2 + n + 41$ funziona $40$ volte e poi fallisce. Più esempi, e più vari, rendono una congettura più credibile, ma solo una dimostrazione la rende certa.

Il principio di induzione è un tipo di ragionamento induttivo?

No. Nonostante il nome, il principio di induzione è una dimostrazione deduttiva: dimostri un caso base e dimostri che ogni caso implica il successivo, quindi l'affermazione è certa per tutti i numeri naturali.

Esistono congetture famose che nessuno ha ancora dimostrato?

Sì. La congettura di Goldbach afferma che ogni numero pari maggiore di $2$ è la somma di due numeri primi, come $10 = 3 + 7$. I computer l'hanno verificata per tutti i numeri pari fino a $4 \times 10^{18}$, ma non è ancora stata dimostrata.

Risorse per insegnanti

Il ragionamento induttivo

Impara a formulare una congettura partendo da casi particolari, a verificarla con nuovi casi e a confutarla con un controesempio.

Intermedio25 minLezione

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Definizione

Il ragionamento induttivo consiste nell'osservare casi particolari, notare una regolarità e fare un'ipotesi generale. Questa ipotesi si chiama congettura.

Il ragionamento induttivo procede in quattro passi:

1.Osservare casi particolari: $1 = 1$ , $1 + 3 = 4$ , $1 + 3 + 5 = 9$
2.Formulare una congettura: la somma dei primi $n$ numeri dispari è $n^2$
3.Verificarla con nuovi casi: $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$ , ancora vera
4.Dimostrarla o confutarla: una dimostrazione prova che è sempre vera, un solo controesempio prova che è falsa

Una congettura ottenuta con il ragionamento induttivo è solo probabilmente vera, mai certa. L'espressione

n^2 + n + 41

dà un numero primo per

n = 0, 1, 2, \ldots, 39

, quaranta casi di fila, eppure per

n = 40

dà

1681 = 41 \times 41

, che non è primo.

Il ragionamento deduttivo fa il percorso opposto: parte da fatti che si sanno veri e arriva a una conclusione che deve essere vera. Il ragionamento induttivo trova le idee, il ragionamento deduttivo le dimostra.

Attenzione ai nomi: il principio di induzione (dell'argomento Dimostrazioni) è un metodo di dimostrazione deduttivo, non ragionamento induttivo.

Prova subito

Quale di questi esempi è un ragionamento induttivo?

Esempi svolti

Somma i primi numeri dispari: $1$ , $1 + 3$ , $1 + 3 + 5$ , $1 + 3 + 5 + 7$ . Formula una congettura e usala per prevedere la somma dei primi $10$ numeri dispari.

Osserva i casi

$1 = 1$ , $1 + 3 = 4$ , $1 + 3 + 5 = 9$ , $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ → Somme: $1, 4, 9, 16$

Cerca una regolarità

$1 = 1^2$ , $4 = 2^2$ , $9 = 3^2$ , $16 = 4^2$ → Ogni somma è un quadrato perfetto

Formula una congettura

Con $n$ numeri dispari la somma sembra essere $n \times n$ → Somma dei primi $n$ dispari $= n^2$

Verificala con un nuovo caso

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2$ → La congettura supera la prova

Usala per prevedere

$n = 10$ : $10^2 = 100$

Risposta: Congettura: la somma dei primi $n$ numeri dispari è $n^2$ . La somma dei primi $10$ dispari dovrebbe essere $100$ (e questa congettura è stata davvero dimostrata).

Errori comuni

Pensare che una congettura sia dimostrata perché ha funzionato in molti casi

Perché è sbagliato: Gli esempi possono solo sostenere una congettura. $n^2 + n + 41$ è primo per $40$ valori di fila e fallisce comunque per $n = 40$ .

Corretto: Chiamala congettura finché non è dimostrata. Di' "probabilmente vera", non "vera".

Credere che un solo controesempio non basti per respingere una congettura

Perché è sbagliato: Una congettura afferma qualcosa su tutti i casi. Se anche un solo caso non funziona, l'affermazione "sempre" è falsa.

Corretto: Un controesempio basta. $2$ è primo e pari, quindi "tutti i numeri primi sono dispari" è falso.

Provare solo numeri interi positivi facili

Perché è sbagliato: Molte congetture falliscono con $0$ , con i numeri negativi o con le frazioni. "Elevare al quadrato rende un numero più grande" funziona per $2, 3, 10$ ma non per $\frac{1}{2}$ : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ .

Corretto: Prova apposta casi speciali: $0$ , $1$ , numeri negativi, frazioni e numeri grandi.

Confondere il principio di induzione con il ragionamento induttivo

Perché è sbagliato: I nomi si somigliano, ma il principio di induzione è un metodo di dimostrazione deduttivo con un caso base e un passo induttivo.

Corretto: Il ragionamento induttivo formula una congettura dagli esempi. Il principio di induzione dimostra un'affermazione per tutti i numeri naturali.

Visuale interattivo

Esploratore di successioni

Primo termine (a₁ = 1)

Differenza comune (d = 2)

11,

13,

, ...

Formula

a_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1

Formula della somma: S_8 = 8/2 × (2×1 + 7×2) = 64

Somme parziali

S₁ = 1S₂ = 4S₃ = 9S₄ = 16S₅ = 25S₆ = 36S₇ = 49S₈ = 64

a_1

a_5

a_10

a_20

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale di questi esempi è un ragionamento induttivo?

Esercizi pratici: Il ragionamento induttivo

1. Quale di questi esempi è un ragionamento induttivo?
2. Usa la congettura "la somma dei primi n numeri dispari è n²" per trovare 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 senza sommare termine per termine.
3. Dei punti sono disposti a triangolo: la figura 1 ha 1 punto, la figura 2 ne ha 3, la figura 3 ne ha 6 e la figura 4 ne ha 10. Se la regolarità continua, quanti punti ha la figura 6?
4. Quale numero è un controesempio alla congettura "tutti i numeri primi sono dispari"?
5. Congettura: "raddoppiare un numero lo rende sempre più grande". Quale numero è uguale al suo doppio ed è quindi un controesempio?
6. Un girasole è alto 2 cm dopo la settimana 1, 5 cm dopo la settimana 2, 8 cm dopo la settimana 3 e 11 cm dopo la settimana 4. Se la regolarità continua, quanto sarà alto dopo la settimana 8 (in cm)?
7. Congettura: la somma dei primi n numeri dispari è n². Verificala con n = 5, poi usala per prevedere la somma dei primi 20 numeri dispari.
8. Tom calcola 1 + 5, 9 + 3 e 15 + 7, ottiene ogni volta un numero pari e conclude: "la somma di due numeri dispari è sempre pari". Quale tipo di ragionamento ha usato Tom?
9. Un triangolo ha 0 diagonali, un quadrilatero 2, un pentagono 5, un esagono 9, un ettagono 14 e un ottagono 20. Continua la regolarità: quante diagonali ha un ennagono (9 lati)?
10. Osserva questi prodotti: 11 × 11 = 121, 111 × 111 = 12321, 1111 × 1111 = 1234321. Formula una congettura e prevedi 11111 × 11111.
11. Lena afferma: "elevare un numero al quadrato lo rende sempre più grande". Verifica la sua affermazione con 1/2: quanto fa (1/2)²? Scrivi la risposta come frazione.
12. L'espressione n² + n + 41 dà un numero primo per ogni n da 0 a 39. Per n = 40 dà 1681. Quale affermazione è corretta?
13. A una festa ognuno stringe la mano a ciascuno degli altri esattamente una volta. Con 2 persone c'è 1 stretta di mano, con 3 persone ce ne sono 3 e con 4 persone 6. Quante strette di mano ci sono con 10 persone?
14. Verifica la congettura "n² + n + 41 è sempre primo" passo per passo e trova il valore che la fa cadere per n = 40.
15. Dai casi 0, 2, 5, 9 (poligoni da 3 a 6 lati) abbiamo formulato la congettura che un poligono con n lati ha (n(n - 3))/2 diagonali. Usala: quante diagonali ha un poligono con 12 lati?
16. Sam nota: 2^2 - 1 = 3, 2^3 - 1 = 7, 2^5 - 1 = 31, 2^7 - 1 = 127, tutti primi. Formula la congettura: "se p è primo, allora 2^p - 1 è primo". Quale valore di p è un controesempio?
17. Metti dei punti su una circonferenza e unisci ogni coppia di punti con un segmento. Conta le regioni dentro il cerchio: 1 punto dà 1 regione, 2 punti danno 2, 3 punti 4, 4 punti 8, 5 punti 16. Un disegno accurato con 6 punti, disposti in modo che tre segmenti non si incontrino mai nello stesso punto, mostra 31 regioni. Verifica la congettura del raddoppio: di quante regioni sbaglia la sua previsione?
18. Congettura: "la somma di tre numeri interi consecutivi è sempre 3 volte il numero centrale". Verificala in modo induttivo, poi usa la versione deduttiva per trovare 49 + 50 + 51.

Perché è importante

La maggior parte delle idee nuove nasce da un ragionamento induttivo, in matematica e nella vita:

Meteo: i meteorologi confrontano molti giorni passati con nuvole, vento e pressione simili e prevedono che cosa probabilmente succederà domani
Scienze: una ricercatrice ripete un esperimento molte volte e formula una legge che si accorda con tutti i risultati, finché un nuovo risultato non la smentisce
Matematica: teoremi famosi sono nati come congetture trovate verificando esempi; alcune, come la congettura di Goldbach, non sono ancora state dimostrate
Vita quotidiana: se l'autobus è stato in ritardo tutte le mattine di questa settimana, domani esci prima di casa

Conoscerne i limiti è altrettanto importante: un solo controesempio basta per far cadere una congettura, non importa quanti esempi la sostenessero.

Applicazioni nel mondo reale

Previsioni del tempo

I meteorologi confrontano la giornata di oggi con molti giorni passati che le somigliavano. Ciò che di solito è successo dopo diventa la previsione, ed è per questo che le previsioni danno probabilità e non certezze.

Esempio:

Se in $80$ dei $100$ giorni passati con queste nuvole e questo vento il giorno dopo è piovuto, la previsione indica una probabilità di pioggia dell' $80\%$ .

1Provaci tu stesso

La temperatura del mattino era di $8°C$ lunedì, $10°C$ martedì, $12°C$ mercoledì e $14°C$ giovedì.

Se la regolarità continua, quale sarà la temperatura sabato mattina?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Parti dai $14$ gradi di giovedì e aggiungi $2$ giorni da $2$ gradi:

Esperimenti scientifici

Gli scienziati ripetono le misure, cercano una regolarità e formulano una regola. Ci si fida della regola finché nessun esperimento la smentisce.

Esempio:

Appendendo $1$ , $2$ e $3$ pesi uguali a una molla, si allunga di $3$ cm, $6$ cm e $9$ cm. La congettura: $3$ cm di allungamento per ogni peso. Con troppi pesi la molla si deforma e la regola non vale più.

2Provaci tu stesso

Una molla si allunga di $3$ cm con $1$ peso, di $6$ cm con $2$ pesi e di $9$ cm con $3$ pesi.

Secondo la congettura, di quanto si allungherà con $7$ pesi?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica l'allungamento per peso per il numero di pesi:

Organizzare un torneo

In un torneo all'italiana ogni squadra gioca una volta contro ciascuna delle altre. Gli organizzatori possono trovare il numero di partite partendo da casi piccoli e da una congettura.

Esempio:

$2$ squadre giocano $1$ partita, $3$ squadre ne giocano $3$ , $4$ squadre ne giocano $6$ . La congettura $\frac{n(n - 1)}{2}$ vale in tutti e tre i casi, e qui si può persino dimostrare: ognuna delle $n$ squadre gioca contro $n - 1$ avversarie, e ogni partita viene contata due volte.

3Provaci tu stesso

Il club di scacchi di una scuola ha $8$ giocatori. Ogni giocatore sfida ciascuno degli altri esattamente una volta.

Quante partite si giocheranno?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa la congettura $\frac{n(n - 1)}{2}$ con $n = 8$ :

Punti chiave

1Il ragionamento induttivo va da casi particolari a una congettura generale
2Verifica una congettura con nuovi casi, soprattutto con $0$ , numeri negativi, frazioni e numeri grandi
3Molti esempi rendono una congettura probabilmente vera, ma non la dimostrano mai
4Un solo controesempio basta per mostrare che una congettura è falsa
5Il ragionamento deduttivo dimostra una congettura: quello induttivo trova l'idea, quello deduttivo la rende certa
6Il principio di induzione è un metodo di dimostrazione deduttivo, non ragionamento induttivo

Domande frequenti

Perché è così che troviamo idee che vale la pena dimostrare. Il ragionamento deduttivo ha bisogno di un'affermazione da cui partire, e quell'affermazione di solito nasce notando una regolarità negli esempi.

Glossario

Ragionamento induttivo: Ragionamento che va da casi particolari a una conclusione generale probabilmente vera, ma non certa
Congettura: Affermazione generale che sembra vera in base agli esempi ma che non è stata dimostrata
Controesempio: Un caso in cui un'affermazione è falsa; mostra che l'affermazione non vale sempre
Ragionamento deduttivo: Ragionamento che parte da fatti e regole noti e arriva a una conclusione che deve essere vera
Dimostrazione: Argomentazione deduttiva che mostra che un'affermazione è vera in tutti i casi

Scheda formule

Il ciclo induttivo

\text{osservare} \to \text{congetturare} \to \text{verificare} \to \text{dimostrare o confutare}

Gli esempi portano a una congettura; le verifiche e la dimostrazione decidono se regge

Somma dei primi n dispari

1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2

Trovata con il ragionamento induttivo dagli esempi, dimostrata in seguito

Diagonali di un poligono

d = \frac{n(n - 3)}{2}

Numero di diagonali di un poligono con $n$ lati

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Organizzare un torneo

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