Le parti di un sillogismo, e valido non vuol dire vero

Tutti gli uccelli sanno volare. Tutti i pinguini sono uccelli. Quindi tutti i pinguini sanno volare. Indica i tre termini e le due premesse. Il ragionamento è valido? La conclusione è vera?

Trova il termine minore e il maggiore nella conclusione: Conclusione: tutti i pinguini (soggetto) sono animali che sanno volare (predicato) = $S$ = pinguini, $P$ = animali che sanno volare

Trova il termine medio: Il termine presente in entrambe le premesse ma non nella conclusione è uccelli = $M$ = uccelli

Indica le premesse: Tutti gli uccelli sanno volare contiene $P$; tutti i pinguini sono uccelli contiene $S$ = Premessa maggiore: tutti gli uccelli sanno volare. Premessa minore: tutti i pinguini sono uccelli.

Scrivi la forma con le lettere: Tutti gli $M$ sono $P$, tutti gli $S$ sono $M$, quindi tutti gli $S$ sono $P$ = La forma valida classica: il ragionamento è valido

Controlla se le premesse sono vere: La premessa maggiore è falsa: pinguini e struzzi sono uccelli che non sanno volare = Valido ma non fondato, e la conclusione è falsa

Answer: $S$ = pinguini, $P$ = animali che sanno volare, $M$ = uccelli. Il ragionamento è valido (forma corretta), ma la premessa maggiore è falsa: quindi non è fondato e la sua conclusione è falsa.

Verificare una forma valida con il diagramma di Venn

Nessun pesce è un mammifero. Tutti gli squali sono pesci. Quindi nessuno squalo è un mammifero. Verifica il ragionamento con il diagramma a 8 regioni.

Assegna le lettere: Conclusione: nessuno squalo è un mammifero = $S$ = squali, $P$ = mammiferi, $M$ = pesci

Ombreggia per nessun $M$ è $P$: L'intersezione di $M$ e $P$ è formata dalle regioni 6 e 7 = Le regioni 6 e 7 sono vuote

Ombreggia per tutti gli $S$ sono $M$: La parte di $S$ fuori da $M$ è formata dalle regioni 1 e 5 = Le regioni 1 e 5 sono vuote

Leggi la conclusione nessun $S$ è $P$: L'intersezione di $S$ e $P$ è formata dalle regioni 5 e 7, ed entrambe sono già ombreggiate = Il diagramma mostra la conclusione

Answer: Il ragionamento è valido: dopo aver ombreggiato le regioni 1, 5, 6 e 7, tutta l'intersezione tra squali e mammiferi (regioni 5 e 7) è vuota.

Il termine medio non distribuito

Tutti i quadrati sono parallelogrammi. Tutti i rettangoli sono parallelogrammi. Quindi tutti i rettangoli sono quadrati. Trova l'errore.

Assegna le lettere: Conclusione: tutti i rettangoli sono quadrati = $S$ = rettangoli, $P$ = quadrati, $M$ = parallelogrammi

Ombreggia per tutti i $P$ sono $M$: La parte di $P$ fuori da $M$ è formata dalle regioni 3 e 5 = Le regioni 3 e 5 sono vuote

Ombreggia per tutti gli $S$ sono $M$: La parte di $S$ fuori da $M$ è formata dalle regioni 1 e 5 = Le regioni 1 e 5 sono vuote

Leggi la conclusione tutti gli $S$ sono $P$: Servirebbe che le regioni 1 e 4 fossero vuote, ma la regione 4 non è ombreggiata = Il diagramma non mostra la conclusione

Trova un controesempio per la regione 4: Un rettangolo di lati $4$ e $2$ è un parallelogramma ma non un quadrato = Non valido: termine medio non distribuito

Answer: Non valido. Le due premesse dicono solo che quadrati e rettangoli stanno da qualche parte dentro i parallelogrammi; non collegano mai i quadrati con i rettangoli. Questo errore si chiama termine medio non distribuito.

Un sillogismo con alcuni

Tutti i membri del club di scacchi sono bravi con i rompicapi. Alcuni studenti della classe 9B sono membri del club di scacchi. Quale conclusione segue: tutti gli studenti della 9B sono bravi con i rompicapi, oppure alcuni studenti della 9B sono bravi con i rompicapi?

Assegna le lettere: $S$ = studenti della 9B, $P$ = bravi con i rompicapi, $M$ = membri del club di scacchi = Premesse: tutti gli $M$ sono $P$, alcuni $S$ sono $M$

Ombreggia prima la premessa con tutti: Tutti gli $M$ sono $P$: la parte di $M$ fuori da $P$ è formata dalle regioni 2 e 4 = Le regioni 2 e 4 sono vuote

Metti la x per alcuni $S$ sono $M$: L'intersezione di $S$ e $M$ è formata dalle regioni 4 e 7, e la regione 4 è ombreggiata = La x deve andare nella regione 7

Verifica alcuni $S$ sono $P$: La regione 7 sta sia dentro $S$ sia dentro $P$ = Alcuni $S$ sono $P$ è mostrato

Verifica tutti gli $S$ sono $P$: Servirebbe che le regioni 1 e 4 fossero vuote, ma la regione 1 non è ombreggiata = Tutti gli $S$ sono $P$ non è mostrato

Answer: Segue solo "alcuni studenti della 9B sono bravi con i rompicapi". Le premesse non dicono nulla sugli studenti della 9B che non fanno parte del club di scacchi.

Concatenare proposizioni se-allora

Premesse: se $n$ è divisibile per $12$, allora $n$ è divisibile per $6$. Se $n$ è divisibile per $6$, allora $n$ è divisibile per $3$. Se $n$ è divisibile per $3$, allora la somma delle cifre di $n$ è divisibile per $3$. Che cosa segue, e che cosa dice su $n = 84$ e su $n = 98$?

Dai un nome alle proposizioni: $p$: divisibile per $12$, $q$: divisibile per $6$, $r$: divisibile per $3$, $s$: somma delle cifre divisibile per $3$ = $p \to q$, $q \to r$, $r \to s$

Collega le prime due: $p \to q$ e $q \to r$ = $p \to r$

Collega il risultato con la terza premessa: $p \to r$ e $r \to s$ = $p \to s$

Controlla $n = 84$: $84 = 12 \times 7$, e la somma delle cifre è $8 + 4 = 12 = 3 \times 4$ = Come previsto, la somma delle cifre è divisibile per $3$

Usa la contronominale per $n = 98$: La somma delle cifre $9 + 8 = 17$ non è divisibile per $3$, e $\neg s \to \neg p$ = $98$ non è divisibile per $12$

Answer: Se $n$ è divisibile per $12$, allora la somma delle cifre di $n$ è divisibile per $3$ ($p \to s$). Per $84$ è vero ($8 + 4 = 12$). Poiché la somma delle cifre di $98$ è $17$, la contronominale mostra che $98$ non è divisibile per $12$.

Mistake: Dire che un ragionamento è valido perché la sua conclusione è vera

Why: La validità dipende dalla forma, non dai fatti. "Tutte le rose sono fiori. Alcuni fiori appassiscono in fretta. Quindi alcune rose appassiscono in fretta." ha una conclusione credibile, ma la forma non è valida: i fiori che appassiscono in fretta potrebbero essere tutti tulipani.

Correct: Sostituisci le parole con $S$, $M$, $P$ e verifica la forma con il diagramma di Venn. Solo dopo ti chiedi se le premesse sono vere.

Mistake: Collegare due gruppi attraverso un termine medio che compare solo come "sono $M$" (termine medio non distribuito)

Why: Tutti gli $S$ sono $M$ e tutti i $P$ sono $M$ mettono $S$ e $P$ solo da qualche parte dentro $M$. Possono trovarsi in parti di $M$ completamente diverse, come gatti e cani dentro i mammiferi.

Correct: Il termine medio deve coprire tutto il suo gruppo almeno una volta: deve essere il soggetto di una proposizione con tutti o nessuno, oppure il predicato di una proposizione con nessuno o alcuni non.

Mistake: Trarre una conclusione da due premesse con alcuni

Why: Alcuni $S$ sono $M$ e alcuni $M$ sono $P$ possono riguardare elementi diversi di $M$. Con $S = \{1, 2\}$, $M = \{2, 3\}$, $P = \{3, 4\}$ entrambe le premesse sono vere, ma nessun elemento di $S$ sta in $P$.

Correct: Almeno una premessa deve essere universale (tutti o nessuno). Due premesse particolari, o due premesse negative, non danno mai una conclusione.

Mistake: Invertire una proposizione con tutti

Why: Tutti i quadrati sono rettangoli non significa che tutti i rettangoli sono quadrati. Nel diagramma, tutti gli $S$ sono $P$ svuota solo la parte di $S$ fuori da $P$; la parte di $P$ fuori da $S$ può ancora avere elementi.

Correct: Le proposizioni con nessuno e alcuni si possono invertire (nessun $S$ è $P$ significa nessun $P$ è $S$; alcuni $S$ sono $P$ significa alcuni $P$ sono $S$), quelle con tutti e alcuni non invece no.

Club scolastici e sondaggi

Quando una scuola conta i membri dei club, proposizioni come "tutti i membri del club di robotica sono nel club di matematica" dicono quali regioni del diagramma di Venn sono vuote, così puoi contare senza contare nessuno due volte.

Nessun membro del club di teatro è nel club di matematica, e tutti i membri del club di robotica sono nel club di matematica. Per il sillogismo (nessun $M$ è $P$, tutti gli $S$ sono $M$), nessun membro del club di robotica è nel club di teatro.

Filtri di ricerca nei negozi online

Le categorie di un negozio formano gruppi dentro gruppi. Se ogni articolo impermeabile è anche un articolo outdoor, il filtro outdoor contiene già ogni articolo impermeabile: è il sillogismo tutti gli $S$ sono $M$, tutti gli $M$ sono $P$ all'opera.

Tutte le giacche antipioggia del negozio sono articoli impermeabili, e tutti gli articoli impermeabili sono articoli outdoor. Quindi tutte le giacche antipioggia compaiono nel filtro outdoor.

Filtri della posta e catene di regole

I programmi di posta elettronica seguono catene di regole se-allora. Il sillogismo ipotetico ($p \to q$, $q \to r$, quindi $p \to r$) ti dice dove finisce un messaggio senza seguire ogni regola una per una.

Se un'email contiene un link di un mittente sconosciuto, viene segnalata. Se un'email è segnalata, va in quarantena. Quindi ogni email con un link di un mittente sconosciuto va in quarantena.

Q: Un sillogismo valido può avere una conclusione falsa?

A: Sì, se almeno una premessa è falsa. "Tutti gli uccelli sanno volare, tutti i pinguini sono uccelli, quindi tutti i pinguini sanno volare" è valido ma ha una conclusione falsa. Ciò che è impossibile è un ragionamento valido con premesse vere e conclusione falsa.

Q: "Alcuni" vuol dire "non tutti"?

A: No. In logica, alcuni $S$ sono $P$ significa che almeno un $S$ è $P$, e resta vero anche se tutti gli $S$ sono $P$. Da alcuni $S$ sono $P$ non segue alcuni $S$ non sono $P$.

Q: Da tutti gli $M$ sono $P$ e tutti gli $S$ sono $M$ posso concludere che alcuni $S$ sono $P$?

A: Solo se sai che $S$ ha almeno un elemento. Nella logica moderna, tutti gli $S$ sono $P$ non afferma che esista qualche $S$ (tutti gli unicorni sono animali è vero anche se non esistono unicorni). Il diagramma di Venn lo mostra: le premesse ombreggiano regioni ma non mettono nessuna x.

Q: Quanti sillogismi categorici validi esistono?

A: Ognuna delle tre proposizioni è di uno dei quattro tipi ($4 \times 4 \times 4 = 64$ combinazioni), e il termine medio può occupare quattro posizioni diverse, il che dà $64 \times 4 = 256$ forme. Solo $15$ di queste sono valide nella logica moderna ($24$ se si suppone che ogni gruppo abbia almeno un elemento). Ecco perché verificare con il diagramma è più sicuro che fidarsi di come suona un ragionamento.