Dimostrazione diretta

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Qual è il primo passo in una dimostrazione diretta?
1. a)Usare la dimostrazione per assurdo
2. b)Trovare un controesempio
3. c)Assumere che l'ipotesi sia vera
4. d)Dimostrare direttamente la conclusione
Risposta: Assumere che l'ipotesi sia vera
In una dimostrazione diretta, iniziamo assumendo che l'ipotesi (la parte 'se') sia vera, poi usiamo passaggi logici per raggiungere la conclusione.
2.
Secondo la definizione, un intero pari può essere scritto come:
1. a) per qualche intero
2. b) per qualche intero
3. c) per qualche intero
4. d) per qualche intero
Risposta: per qualche intero
Un intero pari è qualsiasi intero divisibile per 2, quindi può essere scritto come dove è un intero qualsiasi. Per esempio: , .
3.
Se per qualche intero , è pari o dispari? Scrivi 'pari' o 'dispari'.
Risposta: odd
L'espressione rappresenta un numero dispari perché è pari (un multiplo di 2) e aggiungere 1 lo rende dispari.
4.
Cosa significa CVD?
1. a)Fatto abbastanza facilmente
2. b)Questionare ogni dettaglio
3. c)Come volevasi dimostrare
4. d)Chiudere velocemente la discussione
Risposta: Come volevasi dimostrare
CVD significa 'come volevasi dimostrare', equivalente italiano del latino 'quod erat demonstrandum'. Segna il completamento con successo di una dimostrazione.
5.
Se e , quanto vale in termini di e ? Scrivi la tua risposta nella forma .
Risposta: 2(m + n)
. Questa forma fattorizzata mostra che la somma è pari perché è 2 volte un intero.
6.
Perché verificare esempi non è la stessa cosa di una dimostrazione?
1. a)Gli esempi richiedono troppo tempo
2. b)Gli esempi non coprono tutti i casi infiniti
3. c)Gli esempi sono sempre sbagliati
4. d)Gli esempi sono più difficili delle dimostrazioni
Risposta: Gli esempi non coprono tutti i casi infiniti
Ci sono infiniti interi, quindi non possiamo mai verificare tutti i casi con esempi. Una dimostrazione usando variabili e definizioni copre tutti i casi contemporaneamente.
7.
Dimostra: Se è pari, allora è pari.
Risposta: n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)
1. Scrivi usando la definizione di pari (in termini di un intero ): n = 2k
2. Eleva al quadrato entrambi i lati per trovare : n^2 = 4k^2
3. Metti in evidenza 2 per mostrare che è pari: n^2 = 2(2k^2)
8.
Se (dispari), quanto vale espanso? Scrivi nella forma .
Risposta: 4k^2 + 4k + 1
. Questo può essere riscritto come , mostrando che è dispari.
9.
Dimostra: Il prodotto di due numeri dispari è dispari.
Risposta: 2(2jk + j + k) + 1
1. Siano i due numeri dispari e . Trova : (2j + 1)(2k + 1)
2. Espandi il prodotto: 4jk + 2j + 2k + 1
3. Fattorizza per mostrare che è della forma (dispari): 2(2jk + j + k) + 1
10.
Cos'è il ragionamento circolare in una dimostrazione?
1. a)Ricominciare più volte
2. b)Girare in cerchio mentre si scrive
3. c)Usare troppi passaggi
4. d)Assumere ciò che si sta cercando di dimostrare
Risposta: Assumere ciò che si sta cercando di dimostrare
Il ragionamento circolare si verifica quando usi la conclusione (ciò che stai cercando di dimostrare) come parte del tuo ragionamento. Questo rende la dimostrazione non valida perché in realtà non hai dimostrato nulla.
11.
Nella fattorizzazione , quanti interi consecutivi vengono moltiplicati insieme?
Risposta: 3
L'espressione si fattorizza in tre interi consecutivi: , e . Questo è la chiave per dimostrare che è divisibile per 3.
12.
Dimostra: Se è pari e è dispari, allora è dispari.
Risposta: 2(m + k) + 1
1. Scrivi come numero pari e come numero dispari: a = 2m, b = 2k + 1
2. Somma : 2m + 2k + 1
3. Fattorizza per mostrare che è dispari (forma ): 2(m + k) + 1
13.
Per dimostrare che è divisibile per 3, usiamo il fatto che tra 3 interi consecutivi qualsiasi:
1. a)Nessuno è divisibile per 3
2. b)Tutti sono divisibili per 3
3. c)Almeno due sono divisibili per 3
4. d)Esattamente uno è divisibile per 3
Risposta: Esattamente uno è divisibile per 3
Ogni intero ha resto 0, 1 o 2 quando diviso per 3. In tre interi consecutivi, passiamo per tutti e tre i resti, quindi esattamente uno ha resto 0 (divisibile per 3).
14.
Dimostra: Se è un intero, allora è pari.
Risposta: n(n + 1)
1. Fattorizza : n(n + 1)
2. Cosa possiamo dire di e ? interi consecutivi
3. Tra due interi consecutivi, quanti sono pari? 1
4. Quindi, il prodotto è sempre: pari
15.
Se vogliamo dimostrare ' divide ' usando la dimostrazione diretta, mostriamo per qualche intero . Quale valore di mostra che 3 divide 12?
Risposta: 4
Poiché , abbiamo . Questo dimostra che 3 divide 12 perché 12 può essere espresso come 3 volte un intero (4).
16.
Dimostra: La somma di un numero pari e del suo quadrato è pari.
Risposta: 2(k + 2k^2)
1. Sia il numero pari . Scrivi : 2k + (2k)^2
2. Semplifica : 4k^2
3. Scrivi in forma fattorizzata : 2(k + 2k^2)
17.
Quale affermazione descrive meglio un assioma?
1. a)Un enunciato che necessita verifica
2. b)Un enunciato che è stato dimostrato vero
3. c)Un enunciato che è sempre falso
4. d)Un enunciato accettato come vero senza dimostrazione
Risposta: Un enunciato accettato come vero senza dimostrazione
Un assioma è un enunciato fondamentale accettato come vero senza dimostrazione. Gli assiomi servono come base da cui derivano i teoremi. Esempi includono 'a = a' (proprietà riflessiva) e 'se a = b, allora b = a' (proprietà simmetrica).