Angoli tra due rette parallele

Le rette $AB$ e $CD$ sono parallele. I punti $A$ e $C$ sono a sinistra, $B$ e $D$ a destra. Una trasversale taglia $AB$ in $E$ e $CD$ in $F$, e $\angle AEF = 65^\circ$. Trova $\angle EFD$ e $\angle CFE$ e giustifica ogni passaggio.

Individuare la coppia di angoli: $\angle AEF$ e $\angle EFD$ stanno entrambi tra le parallele, da parti opposte rispetto alla trasversale = Sono angoli alterni interni

Applicare il teorema delle parallele: Gli angoli alterni interni formati da rette parallele sono uguali, quindi $\angle EFD = \angle AEF$ = $\angle EFD = 65^\circ$

Usare l'angolo piatto in $F$: $\angle CFE$ e $\angle EFD$ insieme formano l'angolo piatto $CFD$: $\angle CFE = 180^\circ - 65^\circ$ = $\angle CFE = 115^\circ$ (angoli adiacenti supplementari)

Answer: $\angle EFD = 65^\circ$ (angoli alterni interni) e $\angle CFE = 115^\circ$ (angoli adiacenti supplementari). Verifica: $\angle AEF + \angle CFE = 180^\circ$, perché gli angoli coniugati interni hanno somma $180^\circ$.

Dimostrare la somma degli angoli del triangolo

Dimostra che gli angoli di un qualsiasi triangolo $ABC$ hanno somma $180^\circ$. Traccia per $A$ la retta $DE$ parallela a $BC$, con $D$ dalla parte di $B$ ed $E$ dalla parte di $C$.

Affermazione 1: l'angolo piatto in $A$: $D$, $A$ ed $E$ stanno su una retta, quindi $\angle DAB + \angle BAC + \angle CAE = 180^\circ$ = Giustificazione: angoli su una retta (angolo piatto)

Affermazione 2: la trasversale $AB$: $DE \parallel BC$ e $AB$ taglia entrambe le rette, quindi $\angle DAB = \angle ABC$ = Giustificazione: angoli alterni interni

Affermazione 3: la trasversale $AC$: Anche $AC$ taglia entrambe le parallele, quindi $\angle CAE = \angle ACB$ = Giustificazione: angoli alterni interni

Affermazione 4: sostituire: Sostituisci $\angle DAB$ e $\angle CAE$ nell'affermazione 1 usando le affermazioni 2 e 3 = $\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ$

Answer: La parallela mette i tre angoli del triangolo uno accanto all'altro nell'angolo piatto in $A$, quindi la loro somma è $180^\circ$ in ogni triangolo. c.v.d.

LLL ed elementi corrispondenti in un deltoide

Nel quadrilatero $ABCD$ si ha $AB = AD$ e $CB = CD$. Dimostra che la diagonale $AC$ è la bisettrice di $\angle BAD$. Poi trova $\angle BAC$ se $\angle BAD = 70^\circ$.

Elencare le coppie di lati: $AB = AD$ (ipotesi), $CB = CD$ (ipotesi), $AC = AC$ (proprietà riflessiva) = Tre coppie di lati uguali

Dimostrare la congruenza dei triangoli: Associa i vertici $A \to A$, $B \to D$, $C \to C$ = $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (LLL)

Usare gli elementi corrispondenti: $\angle BAC$ e $\angle DAC$ sono angoli corrispondenti dei triangoli congruenti = $\angle BAC = \angle DAC$ (elementi corrispondenti)

Concludere e calcolare: Due metà uguali significano che $AC$ è la bisettrice di $\angle BAD$: $\angle BAC = 70^\circ \div 2$ = $\angle BAC = 35^\circ$

Answer: $AC$ è la bisettrice di $\angle BAD$ (LLL, poi elementi corrispondenti), e $\angle BAC = \angle DAC = 35^\circ$.

Angoli alla base di un triangolo isoscele

Ipotesi: $AB = AC$ in $\triangle ABC$. Tesi: $\angle B = \angle C$. Poi trova gli angoli alla base se $\angle A = 40^\circ$.

Aggiungere una retta ausiliaria: Traccia la bisettrice di $\angle BAC$, che incontra $BC$ in $D$. Allora $\angle BAD = \angle CAD$ = Giustificazione: definizione di bisettrice

Raccogliere gli elementi per LAL: $AB = AC$ (ipotesi), $\angle BAD = \angle CAD$ (passo 1), $AD = AD$ (proprietà riflessiva) = Due lati e l'angolo compreso

Dimostrare la congruenza: L'angolo in $A$ è compreso tra i lati $AB$, $AD$ e tra $AC$, $AD$ = $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (LAL)

Usare gli elementi corrispondenti: $\angle B$ e $\angle C$ sono angoli corrispondenti = $\angle B = \angle C$ (elementi corrispondenti)

Calcolare con $\angle A = 40^\circ$: $\angle B + \angle C = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$, e i due angoli sono uguali = $\angle B = \angle C = 70^\circ$

Answer: Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali. Con $\angle A = 40^\circ$ ogni angolo alla base misura $70^\circ$. Gli elementi corrispondenti danno anche $BD = CD$, quindi $D$ è il punto medio di $BC$.

Parallele, ALA e un punto medio

I segmenti $AE$ e $BD$ si incontrano in $C$. Si ha $AB \parallel DE$ e $C$ è il punto medio di $AE$. Dimostra che $C$ è anche il punto medio di $BD$. Poi trova $\angle CDE$ se $\angle BAC = 50^\circ$ e $\angle ACB = 70^\circ$.

Angoli in $A$ e in $E$: $AB \parallel DE$, e $AE$ è una trasversale = $\angle BAC = \angle DEC$ (angoli alterni interni)

Lati in $C$: $C$ è il punto medio di $AE$ = $AC = EC$ (definizione di punto medio)

Angoli in $C$: $\angle ACB$ e $\angle ECD$ stanno uno di fronte all'altro = $\angle ACB = \angle ECD$ (angoli opposti al vertice)

Congruenza ed elementi corrispondenti: Il lato $AC$ è compreso tra gli angoli in $A$ e in $C$, quindi $\triangle ABC \cong \triangle EDC$ (ALA) = $BC = DC$ (elementi corrispondenti), quindi $C$ è il punto medio di $BD$

Trovare l'angolo: $\angle CDE = \angle CBA = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ$ (elementi corrispondenti e somma degli angoli) = $\angle CDE = 60^\circ$

Answer: $C$ è il punto medio di $BD$ (ALA, poi elementi corrispondenti), e $\angle CDE = 60^\circ$.

Mistake: Usare AAA (tre angoli uguali) per dimostrare che due triangoli sono congruenti

Why: Angoli uguali danno solo la stessa forma: un triangolo equilatero piccolo e uno grande hanno gli stessi angoli ma non sono congruenti. Anche due lati e un angolo non compreso tra loro in generale non bastano, perché possono andare bene due triangoli diversi.

Correct: Usa solo LLL, LAL, ALA o AAL, e in LAL controlla che l'angolo sia compreso tra i due lati.

Mistake: Usare gli elementi corrispondenti prima di aver dimostrato la congruenza

Why: Questa giustificazione è permessa solo dopo una riga che afferma che i triangoli sono congruenti. Altrimenti la dimostrazione dà per scontato ciò che vuole provare.

Correct: Prima una riga come $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (LAL), poi i lati o gli angoli corrispondenti con la giustificazione elementi corrispondenti.

Mistake: Usare le proprietà delle parallele quando le rette non sono parallele, o dire che gli angoli coniugati interni sono uguali

Why: Gli angoli alterni interni e corrispondenti sono uguali solo con rette parallele. Gli angoli coniugati interni non sono uguali, hanno somma $180^\circ$.

Correct: Controlla che le rette siano date come parallele ($AB \parallel CD$), poi indica la coppia con precisione: alterni interni (uguali), corrispondenti (uguali) o coniugati interni (somma $180^\circ$).

Mistake: Scrivere i vertici di una congruenza nell'ordine sbagliato

Why: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ significa $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. Un ordine sbagliato associa lati e angoli che non si corrispondono.

Correct: Associa i vertici in base agli elementi uguali. Nell'esempio 5 la scrittura corretta è $\triangle ABC \cong \triangle EDC$, non $\triangle ABC \cong \triangle DEC$.

Capriate dei tetti

I carpentieri costruiscono le capriate come triangoli isosceli: due puntoni della stessa lunghezza si incontrano al colmo, quindi le due falde del tetto hanno la stessa pendenza.

Una capriata con un angolo di $100^\circ$ al colmo ha angoli alla base di $(180^\circ - 100^\circ) \div 2 = 40^\circ$.

Misurare uno stagno

I topografi misurano distanze che non si possono percorrere con triangoli congruenti, usando la stessa dimostrazione LAL di questa lezione.

Per trovare la larghezza $AB$ di uno stagno, cammina da $A$ a un punto $C$ e prosegui della stessa distanza fino a $D$. Poi cammina da $B$ passando per $C$ e prosegui della stessa distanza fino a $E$. Allora $\triangle ACB \cong \triangle DCE$ (LAL), quindi $DE = AB$ (elementi corrispondenti).

Piante di città

Strade parallele tagliate da un viale diagonale formano lo schema di rette parallele e trasversale, che gli urbanisti usano per progettare angoli di strada e incroci.

Se un viale diagonale forma un angolo di $58^\circ$ con una strada, forma lo stesso angolo corrispondente di $58^\circ$ con ogni strada parallela.

Q: Che cosa significa CPCTC nei libri in inglese?

A: Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent, cioè: gli elementi corrispondenti di triangoli congruenti sono uguali. È la giustificazione che scrivi dopo aver dimostrato che due triangoli sono congruenti, quando ne deduci un lato o un angolo.

Q: Perché non bastano due lati e un angolo qualsiasi?

A: Se l'angolo non è compreso tra i due lati, il terzo lato a volte può ruotare in due posizioni diverse, e si ottengono due triangoli diversi. Perciò questi dati in generale non garantiscono la congruenza.

Q: Qual è la differenza tra ALA e AAL?

A: In ALA il lato noto è compreso tra i due angoli, in AAL no. Funzionano entrambi: due angoli fissano il terzo (somma $180^\circ$), quindi AAL si può sempre ricondurre ad ALA.

Q: Come trovo i triangoli giusti?

A: Guarda il segmento o l'angolo di cui devi dimostrare l'uguaglianza e cerca due triangoli che lo contengono. Segna tutto ciò che sai: dati dell'ipotesi, angoli opposti al vertice, un lato in comune. Se arrivi a LLL, LAL, ALA o AAL, concludi con gli elementi corrispondenti.