Introduzione alle dimostrazioni matematiche

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Cos'è una dimostrazione matematica?
1. a)Un'ipotesi su se qualcosa è vero
2. b)Una formula da memorizzare
3. c)Un singolo esempio che funziona
4. d)Un argomento logico che mostra perché un enunciato deve essere vero
Risposta: Un argomento logico che mostra perché un enunciato deve essere vero
Una dimostrazione matematica è un argomento logico che dimostra perché un enunciato deve essere vero per tutti i casi, usando definizioni, assiomi e teoremi già dimostrati.
2.
Qual è la differenza tra un assioma e un teorema?
1. a)Sono la stessa cosa
2. b)Gli assiomi sono falsi; i teoremi sono veri
3. c)Un teorema è accettato senza dimostrazione; un assioma è dimostrato
4. d)Un assioma è accettato senza dimostrazione; un teorema è dimostrato
Risposta: Un assioma è accettato senza dimostrazione; un teorema è dimostrato
Gli assiomi sono enunciati che accettiamo come veri senza dimostrazione - sono i nostri punti di partenza. I teoremi sono enunciati che sono stati dimostrati veri usando assiomi e altri teoremi.
3.
Se $n$ è un numero pari, possiamo scrivere $n = 2k$ dove $k$ è un intero. Se $n = 12$ , qual è il valore di $k$ ?
Risposta: 6
Poiché $12 = 2k$ , ricaviamo $k$ : $k = 12 \div 2 = 6$ . Questo conferma che 12 è pari perché $12 = 2 \times 6$ .
4.
Se $n$ è un numero dispari, possiamo scrivere $n = 2k + 1$ . Se $n = 15$ , qual è il valore di $k$ ?
Risposta: 7
Poiché $15 = 2k + 1$ , risolviamo: $2k = 15 - 1 = 14$ , quindi $k = 7$ . Verifica: $2(7) + 1 = 15$ .
5.
In una dimostrazione per assurdo, cosa facciamo per primo?
1. a)Dimostrare l'enunciato direttamente
2. b)Dare diversi esempi
3. c)Enunciare prima la conclusione
4. d)Supporre il contrario di ciò che vogliamo dimostrare
Risposta: Supporre il contrario di ciò che vogliamo dimostrare
Nella dimostrazione per assurdo, supponiamo che il contrario di ciò che vogliamo dimostrare sia vero. Poi mostriamo che questo porta a un'impossibilità logica (contraddizione), dimostrando che il nostro enunciato originale deve essere vero.
6.
Perché mostrare che $2 + 4 = 6$ NON è una dimostrazione che 'la somma di due numeri pari è pari'?
1. a)Dimostra solo un caso specifico, non tutti i casi
2. b)Dobbiamo usare la sottrazione invece
3. c)Il calcolo è sbagliato
4. d)6 non è pari
Risposta: Dimostra solo un caso specifico, non tutti i casi
Esistono infinite coppie di numeri pari. Testare $2 + 4 = 6$ dimostra solo che UNA coppia funziona. Una dimostrazione deve mostrare che TUTTE le coppie funzionano, il che richiede l'uso di variabili come $2m + 2n = 2(m+n)$ .
7.
Siano $a = 2m$ e $b = 2n$ numeri pari. Completa: $a + b = 2m + 2n = 2(\square)$ . Cosa va nel riquadro?
Risposta: m+n
$a + b = 2m + 2n = 2(m + n)$ . Poiché $m + n$ è un intero, $2(m+n)$ è pari. Questo dimostra che la somma di due numeri pari è sempre pari!
8.
Dimostra che il prodotto di due numeri dispari è dispari. Sia $a = 2m + 1$ e $b = 2n + 1$ .
Risposta: 2(2mn+m+n)+1
1. Scrivi $(2m + 1)(2n + 1)$ sviluppato 4mn+2m+2n+1
2. Raccogli il 2 dai primi tre termini: $4mn + 2m + 2n + 1 = 2(\square) + 1$ . Cosa va nel riquadro? 2mn+m+n
3. $2(2mn + m + n) + 1$ ha la forma $2k + 1$ ? sì
9.
Quale affermazione descrive correttamente il ragionamento circolare in una dimostrazione?
1. a)Terminare con CVD
2. b)Iniziare con una definizione
3. c)Usare troppi passaggi
4. d)Usare la conclusione come parte della dimostrazione
Risposta: Usare la conclusione come parte della dimostrazione
Il ragionamento circolare si verifica quando assumi ciò che stai cercando di dimostrare. Per esempio, dire 'X è vero perché X è vero' non dimostra nulla - gira solo in cerchio.
10.
Nella dimostrazione che $\sqrt{2}$ è irrazionale, abbiamo supposto $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ senza fattori comuni. Abbiamo mostrato che $a$ e $b$ devono essere entrambi pari. Quale fattore comune condividono?
Risposta: 2
Se sia $a$ che $b$ sono pari, entrambi hanno 2 come fattore. Questo contraddice la nostra ipotesi che non condividano fattori comuni. Questa contraddizione dimostra che $\sqrt{2}$ non può essere scritto come $\frac{a}{b}$ .
11.
Dimostra: La somma di un numero pari e un numero dispari è dispari.
Risposta: 2(m+n)+1
1. Sia il numero pari $a = 2m$ . Il numero dispari è $b = 2n + \square$ . Quale numero va nel riquadro? 1
2. Calcola $a + b = 2m + (2n + 1)$ 2m+2n+1
3. Raccogli il 2 dai primi due termini: $2m + 2n + 1 = 2(\square) + 1$ . Cosa va nel riquadro? m+n
4. $2(m+n) + 1$ è dispari? sì
12.
L'enunciato 'Tutti i numeri primi sono dispari' sembra vero per 3, 5, 7, 11, 13... Cosa confuta questo enunciato?
1. a)1 non è primo
2. b)15 ha molti fattori
3. c)9 è dispari ma non primo
4. d)2 è primo ma pari
Risposta: 2 è primo ma pari
2 è primo (divisibile solo per 1 e per se stesso) ma è pari. Un controesempio è sufficiente per confutare un enunciato universale. Questo mostra perché abbiamo bisogno di dimostrazioni, non solo esempi!
13.
Dimostra per assurdo: Non esiste un intero più grande.
Risposta: N+1
1. Supponiamo il contrario: ESISTE un intero più grande. Chiamiamolo $N$ . È $N + 1$ anche un intero? sì
2. È $N + 1 > N$ ? sì
3. Abbiamo trovato un intero più grande di $N$ . Qual è? N+1
4. Questo contraddice che $N$ è il più grande. Quindi la nostra ipotesi era... falsa
14.
Perché $a$ deve essere pari quando $a^2$ è pari? Supponi che $a$ sia dispari, $a = 2k + 1$ . Allora $a^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . Qual è il resto della divisione di $a^2$ per 2?
Risposta: 1
$2(2k^2 + 2k)$ è un multiplo di 2, quindi dividendo $a^2$ per 2 il resto è 1: $a^2$ sarebbe dispari. Se $a$ fosse dispari, $a^2$ sarebbe dispari. Perciò, se $a^2$ è pari, $a$ non può essere dispari: deve essere pari.
15.
Se ' $P$ implica $Q$ ' è vero, quale delle seguenti deve essere vera?
1. a)'Non $Q$ implica non $P$ ' (contronominale)
2. b)' $Q$ implica $P$ ' (conversa)
3. c)'Non $P$ implica non $Q$ ' (inversa)
4. d)Tutte le precedenti
Risposta: 'Non $Q$ implica non $P$ ' (contronominale)
La contronominale ('Non $Q$ implica non $P$ ') è sempre logicamente equivalente all'enunciato originale. La conversa e l'inversa NON sono garantite vere. Esempio: 'Se piove, il terreno è bagnato' è vero, ma 'Se il terreno è bagnato, ha piovuto' non è sempre vero (irrigatori!).
16.
Dimostra: Se $n^2$ è dispari, allora $n$ è dispari.
Risposta: $n$ è dispari
1. Dimostreremo la contronominale. Se $n$ è pari, allora $n^2$ è...? pari
2. Se $n = 2k$ (pari), cos'è $n^2$ ? 4k^2
3. Completa: $4k^2 = 2(\square)$ . Cosa va nel riquadro? 2k^2
4. Poiché $2(2k^2)$ è pari, abbiamo dimostrato: se $n$ è pari allora $n^2$ è pari. Per la contronominale, se $n^2$ è dispari, allora $n$ è... dispari