Dalle due colonne al testo

Una dimostrazione a due colonne mostra: ipotesi $3x + 5 = 20$, tesi $x = 5$. Le sue righe sono (1) $3x + 5 = 20$, ipotesi; (2) $3x = 15$, proprietà dell'uguaglianza (sottrazione); (3) $x = 5$, proprietà dell'uguaglianza (divisione). Riscrivila come dimostrazione discorsiva.

Trasforma la prima riga in una frase iniziale: La riga 1 è l'ipotesi, quindi il testo comincia così: *Per ipotesi $3x + 5 = 20$.* = Frase iniziale scritta

Unisci la riga 2 alla sua giustificazione: *Sottraendo 5 a entrambi i membri si ottiene $3x = 15$ per la proprietà dell'uguaglianza (sottrazione).* = $3x = 15$

Unisci la riga 3 alla sua giustificazione: *Dividendo entrambi i membri per 3 si ottiene $x = 5$ per la proprietà dell'uguaglianza (divisione).* = $x = 5$

Scrivi la conclusione: *Quindi $x = 5$.* La parola quindi segnala la conclusione, cioè l'ultima riga della tabella. = Dimostrazione discorsiva completata

Answer: Per ipotesi $3x + 5 = 20$. Sottraendo 5 a entrambi i membri si ottiene $3x = 15$ per la proprietà dell'uguaglianza (sottrazione). Dividendo entrambi i membri per 3 si ottiene $x = 5$ per la proprietà dell'uguaglianza (divisione). Quindi $x = 5$. c.v.d.

La somma di due interi dispari è pari

Scrivi una dimostrazione discorsiva: se $a$ e $b$ sono interi dispari, allora $a + b$ è pari.

Dai agli oggetti lettere diverse: Siano $a$ e $b$ interi dispari. Poiché sono dispari, $a = 2m + 1$ e $b = 2n + 1$ per opportuni interi $m$ e $n$. = $a = 2m + 1$, $b = 2n + 1$

Somma e semplifica: Quindi $a + b = (2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2$. = $a + b = 2m + 2n + 2$

Raccogli il 2: Ne segue che $a + b = 2(m + n + 1)$. = $a + b = 2(m + n + 1)$

Giustifica la conclusione: Poiché $m + n + 1$ è un intero (somma di interi), $a + b$ è il doppio di un intero, quindi è pari per definizione di numero pari. = $a + b$ è pari

Answer: Siano $a$ e $b$ interi dispari. Poiché sono dispari, $a = 2m + 1$ e $b = 2n + 1$ per opportuni interi $m$ e $n$. Allora $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$. Poiché $m + n + 1$ è un intero, $a + b$ è pari per definizione di numero pari. c.v.d.

Tre interi consecutivi

Dimostra in forma discorsiva: la somma di tre interi consecutivi qualsiasi è divisibile per 3. Poi verifica il risultato con $14 + 15 + 16$.

Dai un nome ai tre interi: Sia $n$ il più piccolo. Poiché gli interi sono consecutivi, gli altri due sono $n + 1$ e $n + 2$. = $n$, $n + 1$, $n + 2$

Sommali: La loro somma è $n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3$. = $3n + 3$

Raccogli e concludi: Quindi la somma vale $3(n + 1)$. Poiché $n + 1$ è un intero, la somma è il triplo di un intero, pertanto è divisibile per 3. = Somma $= 3(n + 1)$

Verifica con un esempio (non fa parte della dimostrazione): Per $14, 15, 16$ si ha $n = 14$, quindi la somma dovrebbe essere $3 \times 15 = 45$. Infatti $14 + 15 + 16 = 45$. = $45 = 3 \times 15$

Answer: Siano gli interi $n$, $n + 1$ e $n + 2$. La loro somma è $3n + 3 = 3(n + 1)$ e, poiché $n + 1$ è un intero, la somma è divisibile per 3. Fatto in più che emerge dalla dimostrazione: la somma è sempre il triplo del numero centrale. c.v.d.

Gli angoli opposti al vertice sono uguali

Due rette si intersecano e formano quattro angoli $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$, $\angle 4$, in ordine attorno al punto, quindi $\angle 1$ e $\angle 3$ sono opposti al vertice. Scrivi una dimostrazione discorsiva che $\angle 1 = \angle 3$ (la lezione Dimostrazioni a due colonne dimostra lo stesso teorema in forma di tabella).

Usa la prima coppia di angoli adiacenti: Poiché $\angle 1$ e $\angle 2$ insieme formano un angolo piatto, sono angoli adiacenti supplementari, quindi $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. = $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Usa la seconda coppia di angoli adiacenti: Allo stesso modo $\angle 2$ e $\angle 3$ formano un angolo piatto, quindi $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. = $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$

Combina le due uguaglianze: Entrambe le somme valgono $180^\circ$, quindi per sostituzione $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$. = $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$

Sottrai e concludi: Sottraendo $\angle 2$ a entrambi i membri (proprietà dell'uguaglianza (sottrazione)) si ottiene $\angle 1 = \angle 3$. Verifica: se $\angle 1 = 65^\circ$, allora $\angle 2 = 115^\circ$ e $\angle 3 = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. = $\angle 1 = \angle 3$

Answer: Gli angoli 1 e 2 sono adiacenti, quindi $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Anche gli angoli 2 e 3 sono adiacenti, quindi $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. Per sostituzione $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$, e sottraendo $\angle 2$ si ottiene $\angle 1 = \angle 3$. Quindi gli angoli opposti al vertice sono uguali. c.v.d.

Trovare la lacuna

Uno studente vuole dimostrare: il prodotto di un intero pari per un intero qualsiasi è pari. Scrive: *Siano $a = 2k$ e $b = 2k$. Allora $ab = 4k^2 = 2(2k^2)$, quindi $ab$ è pari.* Trova le lacune e correggi la dimostrazione.

Leggi che cosa dice davvero l'enunciato: L'enunciato parla di un intero pari $a$ e di un intero **qualsiasi** $b$, che può essere dispari e diverso da $a$. = $b$ può essere un intero qualsiasi

Controlla ogni frase: Scrivere $b = 2k$ presuppone due cose mai date: che $b$ sia pari e che $b = a$ (stessa lettera $k$). La dimostrazione copre solo prodotti come $6 \times 6$, non $6 \times 7$. = Lacuna: $b = 2k$ non è giustificato

Correggi l'inizio: Siano $a$ pari e $b$ un intero qualsiasi. Poiché $a$ è pari, $a = 2k$ per un opportuno intero $k$. Su $b$ non si suppone nulla. = $a = 2k$, $b$ qualsiasi

Concludi con le giustificazioni: Allora $ab = 2kb = 2(kb)$. Poiché $kb$ è un intero (prodotto di interi), $ab$ è pari per definizione. Verifica: $6 \times 7 = 42 = 2 \times 21$. = $ab = 2(kb)$ è pari

Answer: La dimostrazione originale ha una lacuna: presuppone senza dirlo che $b$ sia pari e uguale ad $a$. Dimostrazione discorsiva corretta: siano $a$ pari e $b$ un intero qualsiasi. Poiché $a$ è pari, $a = 2k$ per un opportuno intero $k$. Allora $ab = 2(kb)$ e, poiché $kb$ è un intero, $ab$ è pari. c.v.d.

Mistake: Scrivere una catena di uguaglianze senza parole

Why: Un elenco come $a = 2m + 1$, $a + b = 2(m + n + 1)$ non dice da dove viene ogni riga né che cosa dimostra. Il lettore deve indovinare le giustificazioni.

Correct: Associa una giustificazione a ogni affermazione (*Poiché $a$ è dispari, $a = 2m + 1$...*) e chiudi con una frase che enuncia la tesi.

Mistake: Usare la stessa lettera per due numeri diversi

Why: Scrivere $a = 2k + 1$ e $b = 2k + 1$ impone $a = b$, quindi la dimostrazione copre solo somme come $7 + 7$.

Correct: Dai a ogni oggetto una variabile propria: $a = 2m + 1$ e $b = 2n + 1$.

Mistake: Dimostrare con esempi

Why: $3 + 5 = 8$ e $7 + 9 = 16$ sono pari, ma pochi esempi non possono mai coprire tutti i numeri dispari.

Correct: Usa variabili che rappresentano ogni caso possibile. Gli esempi servono solo come verifica dopo la dimostrazione.

Mistake: Usare la tesi come giustificazione

Why: Scrivere *Poiché $a + b$ è pari, è uguale a $2(m + n + 1)$* presuppone proprio ciò che vuoi dimostrare (ragionamento circolare).

Correct: Le parole poiché e perché possono rimandare solo a fatti già acquisiti: l'ipotesi, le definizioni, le proprietà o le frasi precedenti.

Indovinelli con il calendario

Tre giorni vicini in una riga del calendario sono interi consecutivi, quindi la dimostrazione di questa lezione spiega un classico trucco con i numeri.

Scegli 12, 13 e 14: la somma è $39 = 3 \times 13$, il triplo del giorno centrale.

Forbici e strade che si incrociano

Dove due oggetti dritti si incrociano, come le lame delle forbici, due strade o le travi di un tetto, il teorema degli angoli opposti al vertice permette di misurare un angolo e conoscere subito quello opposto.

Se le lame di un paio di forbici aperte formano un angolo di $35^\circ$, anche i manici formano un angolo di $35^\circ$.

Imballare a coppie

Negozi e magazzini spesso imballano gli articoli a due a due. La dimostrazione che un numero pari per un intero qualsiasi è pari ti dice quando una griglia di oggetti si divide in coppie senza resto.

Una teglia con 8 file da 7 biscotti contiene $56 = 2 \times 28$ biscotti, quindi riempiono 28 sacchetti da due.

Q: Una dimostrazione discorsiva è meno rigorosa di una a due colonne?

A: No. Entrambi i formati contengono la stessa logica. La dimostrazione discorsiva è solo un'impaginazione diversa: ogni affermazione ha sempre bisogno di una giustificazione, che è scritta nella frase invece che in una seconda colonna.

Q: Quanto deve essere lunga una dimostrazione discorsiva?

A: Abbastanza perché un compagno possa seguire ogni passaggio senza chiedere perché. Per le dimostrazioni di questa lezione bastano di solito da 3 a 6 frasi. L'algebra semplice, come raccogliere il 2, non ha bisogno di una frase a sé.

Q: Posso usare esempi in una dimostrazione discorsiva?

A: Solo come verifica, ben separata dalla dimostrazione. Una frase come *per esempio, $3 + 5 = 8$* mostra l'idea, ma la dimostrazione vera e propria deve usare variabili che coprano ogni caso.

Q: Quale connettivo devo usare?

A: Usa poiché o perché prima di una giustificazione, e quindi, pertanto o ne segue che prima di una nuova affermazione. Alternali perché il testo suoni naturale, ma controlla che ogni affermazione abbia una giustificazione nella sua frase.