Dimostrazioni discorsive

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
In una dimostrazione discorsiva, quale connettivo introduce una nuova affermazione (una conclusione) e non una giustificazione?
1. a)poiché
2. b)quindi
3. c)perché
4. d)per definizione di
Risposta: quindi
Quindi introduce una nuova affermazione che segue da ciò che precede. Perché, poiché e per definizione di introducono giustificazioni.
2.
Una dimostrazione discorsiva contiene la frase: *Poiché $a$ è dispari, $a = 2m + 1$ per un opportuno intero $m$ .* Quale giustificazione usa questa frase?
1. a)La definizione di intero dispari
2. b)La proprietà dell'uguaglianza (sottrazione)
3. c)La tesi della dimostrazione
4. d)Il teorema degli angoli opposti al vertice
Risposta: La definizione di intero dispari
Un intero dispari è, per definizione, un intero che si può scrivere come $2m + 1$ con $m$ intero. La frase usa questa definizione.
3.
$\angle 1$ e $\angle 2$ sono angoli adiacenti, e $\angle 1 = 72^\circ$ . Quanti gradi misura $\angle 2$ ?
Risposta: 108
Poiché gli angoli sono adiacenti, $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ , quindi $\angle 2 = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .
4.
Una dimostrazione discorsiva mostra che tre interi consecutivi $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ hanno somma $3(n + 1)$ . Per $20 + 21 + 22$ , la somma è il triplo di quale numero?
Risposta: 21
Con $n = 20$ la somma è $3(n + 1) = 3 \times 21 = 63$ . Verifica: $20 + 21 + 22 = 63$ . Il numero è quello centrale, 21.
5.
Due rette si intersecano. $\angle 1 = 58^\circ$ , $\angle 2$ è accanto e $\angle 3$ è opposto a $\angle 1$ . Segui la dimostrazione del teorema degli angoli opposti al vertice per trovare $\angle 3$ .
Risposta: 58
1. $\angle 1$ e $\angle 2$ sono adiacenti. Quanti gradi fa $\angle 1 + \angle 2$ ? 180
2. Quindi quanti gradi misura $\angle 2$ ? 122
3. Anche $\angle 2$ e $\angle 3$ sono adiacenti. Quanti gradi misura $\angle 3$ ? 58
6.
Segui la dimostrazione che dispari + dispari è pari con i numeri dispari $a = 7$ e $b = 11$ , scritti come $a = 2m + 1$ e $b = 2n + 1$ .
Risposta: 18
1. Poiché $7 = 2m + 1$ , quanto vale $m$ ? 3
2. Poiché $11 = 2n + 1$ , quanto vale $n$ ? 5
3. Quanto fa $m + n + 1$ ? 9
4. Quanto vale quindi $a + b = 2(m + n + 1)$ ? 18
7.
In questa dimostrazione che la somma di due interi dispari è pari manca una frase: *Siano $a$ e $b$ dispari. Allora $a = 2m + 1$ e $b = 2n + 1$ per interi $m$ e $n$ . [ ? ] Poiché $m + n + 1$ è un intero, $a + b$ è pari.* Quale frase riempie la lacuna?
1. a)Quindi $a + b = 2(m + n) + 1$ .
2. b)Per esempio, $3 + 5 = 8$ è pari.
3. c)Sommando si ottiene $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ .
4. d)Pertanto $a = b$ .
Risposta: Sommando si ottiene $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ .
Solo la somma $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ collega l'inizio all'ultima frase. $2(m + n) + 1$ è un calcolo sbagliato, $a = b$ non è mai stato dato e un esempio non dimostra nulla in generale.
8.
Quale frase di questa dimostrazione discorsiva è sbagliata? (1) Siano $a$ pari e $b$ un intero qualsiasi, quindi $a = 2k$ per un intero $k$ . (2) Allora $ab = 2kb$ . (3) Quindi $ab = 2(kb)$ . (4) Poiché $kb$ è un intero, $ab$ è dispari.
1. a)Frase 2
2. b)Frase 1
3. c)Frase 3
4. d)Frase 4
Risposta: Frase 4
Le frasi da 1 a 3 sono corrette. La frase 4 trae la conclusione sbagliata: il doppio di un intero è pari per definizione, non dispari.
9.
Una dimostrazione a due colonne parte dall'ipotesi $4x - 7 = 21$ e termina con $x = 7$ . Nella versione discorsiva la seconda frase è: *Sommando 7 a entrambi i membri si ottiene $4x = \square$ per la proprietà dell'uguaglianza (addizione).* Quale numero va nel riquadro?
Risposta: 28
$4x - 7 + 7 = 21 + 7$ , quindi $4x = 28$ . Dividendo per 4 si ottiene poi $x = 7$ , l'ultima riga della tabella.
10.
La dimostrazione che un pari per un intero qualsiasi è pari scrive $a = 2k$ e ottiene $ab = 2(kb)$ . Per $a = 6$ e $b = 5$ , quanto vale $kb$ ?
Risposta: 15
$6 = 2 \times 3$ , quindi $k = 3$ e $kb = 3 \times 5 = 15$ . Verifica: $ab = 30 = 2 \times 15$ .
11.
Trasforma questa dimostrazione discorsiva in una a due colonne: *Per ipotesi $2(x + 3) = 18$ . Per la proprietà distributiva, $2x + 6 = 18$ . Sottraendo 6 a entrambi i membri si ottiene $2x = 12$ . Dividendo entrambi i membri per 2 si ottiene $x = 6$ .* Completa le affermazioni.
Risposta: 6
1. Riga 2 (proprietà distributiva): $2x + \square = 18$ . Quale numero va nel riquadro? 6
2. Riga 3 (proprietà dell'uguaglianza (sottrazione)): $2x = \square$ 12
3. Riga 4 (proprietà dell'uguaglianza (divisione)): $x = \square$ 6
4. Quante righe ha la dimostrazione a due colonne, contando l'ipotesi? 4
12.
Tre interi consecutivi hanno somma 96. Usa il risultato della dimostrazione, $n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)$ , per trovarli.
Risposta: 31, 32, 33
1. Poiché $3(n + 1) = 96$ , quanto vale $n + 1$ , l'intero centrale? 32
2. Qual è l'intero più piccolo $n$ ? 31
3. Qual è l'intero più grande $n + 2$ ? 33
13.
Segui la dimostrazione che un pari per un intero qualsiasi è pari con $a = 14$ e $b = 9$ : scrivi $a = 2k$ , poi $ab = 2(kb)$ .
Risposta: 126
1. Poiché $14 = 2k$ , quanto vale $k$ ? 7
2. Quanto vale $kb$ ? 63
3. Quanto vale quindi $ab = 2(kb)$ ? 126
14.
Uno studente scrive: *Siano $a$ e $b$ dispari, quindi $a = 2k + 1$ e $b = 2k + 1$ . Allora $a + b = 4k + 2 = 2(2k + 1)$ , quindi $a + b$ è pari.* Qual è la lacuna di questa dimostrazione?
1. a)Una dimostrazione deve usare numeri, non lettere
2. b)Non c'è nessuna lacuna, la dimostrazione è completa
3. c) $4k + 2$ è sempre dispari
4. d)Usare la stessa $k$ per entrambi i numeri lo dimostra solo quando $a = b$
Risposta: Usare la stessa $k$ per entrambi i numeri lo dimostra solo quando $a = b$
Scrivere i due numeri con la stessa $k$ impone $a = b$ , quindi la dimostrazione copre solo somme come $7 + 7$ . Il calcolo è corretto e $4k + 2$ è pari. La correzione è $a = 2m + 1$ , $b = 2n + 1$ .
15.
Una dimostrazione discorsiva mostra che cinque interi consecutivi hanno somma $n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5(n + 2)$ . Usa questo risultato per calcolare $21 + 22 + 23 + 24 + 25$ .
Risposta: 115
Con $n = 21$ : $5(n + 2) = 5 \times 23 = 115$ . Verifica: $21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 115$ .
16.
Due angoli opposti al vertice misurano $(3x + 10)^\circ$ e $(5x - 30)^\circ$ . Ragiona come in una dimostrazione discorsiva: poiché gli angoli opposti al vertice sono uguali, $3x + 10 = 5x - 30$ . Trova $x$ , l'angolo e l'angolo adiacente.
Risposta: 20
1. Sottrai $3x$ a entrambi i membri e somma 30. L'equazione diventa $\square = 2x$ . Quale numero c'è nel riquadro? 40
2. Quanto vale $x$ ? 20
3. Quanti gradi misura ciascun angolo opposto al vertice? 70
4. L'angolo accanto è adiacente a esso. Quanti gradi misura? 110
17.
Due rette si intersecano. $\angle 1 = (2x + 15)^\circ$ e $\angle 2 = (4x + 45)^\circ$ sono adiacenti, e $\angle 3$ è opposto al vertice a $\angle 1$ . Trova $x$ , $\angle 1$ e $\angle 3$ .
Risposta: 55
1. Poiché gli angoli sono adiacenti, $6x + 60 = 180$ . Quanto vale $6x$ ? 120
2. Quanto vale $x$ ? 20
3. Quanti gradi misura $\angle 1$ ? 55
4. Quanti gradi misura $\angle 3$ ? 55
18.
Dimostra che la somma di tre interi pari consecutivi $2n$ , $2n + 2$ , $2n + 4$ è divisibile per 6, poi verifica il risultato con 18, 20 e 22.
Risposta: 60
1. Somma: $2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + \square$ . Quale numero c'è nel riquadro? 6
2. Quindi la somma è $6(n + 1)$ . Per 18, 20, 22 si ha $2n = 18$ . Quanto vale $n$ ? 9
3. Quanto vale $6(n + 1)$ ? 60
4. Dividi la somma per 6. Quale numero intero ottieni? 10