Risolvere un'equazione come dimostrazione

**Ipotesi:** $3x + 5 = 20$. **Tesi:** $x = 5$. Scrivi la dimostrazione a due colonne.

Scrivi l'ipotesi come affermazione 1: Affermazione: $3x + 5 = 20$ = Giustificazione: ipotesi

Sottrai 5 da entrambi i membri: $3x + 5 - 5 = 20 - 5$, quindi l'affermazione è $3x = 15$ = Giustificazione: proprietà dell'uguaglianza (sottrazione)

Dividi entrambi i membri per 3: $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$, quindi l'affermazione è $x = 5$ = Giustificazione: proprietà dell'uguaglianza (divisione)

Controlla che l'ultima affermazione sia la tesi: L'affermazione 3 è $x = 5$, proprio ciò che dovevamo dimostrare = La dimostrazione è completa

Answer: 1. $3x + 5 = 20$ (ipotesi); 2. $3x = 15$ (proprietà dell'uguaglianza, sottrazione); 3. $x = 5$ (proprietà dell'uguaglianza, divisione).

Completare le giustificazioni mancanti

**Ipotesi:** $2(x - 4) = 10$. **Tesi:** $x = 9$. Le affermazioni sono 1. $2(x - 4) = 10$, 2. $2x - 8 = 10$, 3. $2x = 18$, 4. $x = 9$. Trova la giustificazione di ogni affermazione.

L'affermazione 1 è l'informazione di partenza: $2(x - 4) = 10$ ci è stata data = Giustificazione 1: ipotesi

Confronta le affermazioni 1 e 2: $2(x - 4)$ è diventato $2x - 8$: il 2 è stato moltiplicato dentro la parentesi = Giustificazione 2: proprietà distributiva

Confronta le affermazioni 2 e 3: $2x - 8 + 8 = 10 + 8$: si è aggiunto 8 a entrambi i membri = Giustificazione 3: proprietà dell'uguaglianza (addizione)

Confronta le affermazioni 3 e 4: $\frac{2x}{2} = \frac{18}{2}$: entrambi i membri sono stati divisi per 2 = Giustificazione 4: proprietà dell'uguaglianza (divisione)

Answer: Ipotesi, proprietà distributiva, proprietà dell'uguaglianza (addizione), proprietà dell'uguaglianza (divisione). Verifica: $2(9 - 4) = 2 \cdot 5 = 10$.

Una dimostrazione con i segmenti

I punti $A$, $B$, $C$, $D$ stanno su una retta in quest'ordine. **Ipotesi:** $AB = CD$. **Tesi:** $AC = BD$.

Parti dall'ipotesi: Affermazione: $AB = CD$ = Giustificazione: ipotesi

Scrivi che $BC$ è uguale a sé stesso: Affermazione: $BC = BC$ = Giustificazione: proprietà riflessiva

Aggiungi $BC$ a entrambi i membri dell'affermazione 1: Affermazione: $AB + BC = CD + BC$ = Giustificazione: proprietà dell'uguaglianza (addizione)

Usa l'addizione di segmenti da entrambe le parti: Affermazione: $AB + BC = AC$ e $BC + CD = BD$ = Giustificazione: postulato dell'addizione di segmenti

Sostituisci le due somme nell'affermazione 3: Affermazione: $AC = BD$ = Giustificazione: sostituzione

Answer: $AC = BD$. Verifica con i numeri: se $AB = CD = 4$ e $BC = 7$, allora $AC = 11$ e $BD = 11$.

Angoli supplementari

**Ipotesi:** $\angle 1$ e $\angle 2$ sono supplementari, $m\angle 1 = 65^\circ$. **Tesi:** $m\angle 2 = 115^\circ$.

Scrivi l'ipotesi: Affermazione: $\angle 1$ e $\angle 2$ sono supplementari, $m\angle 1 = 65^\circ$ = Giustificazione: ipotesi

Usa il significato di supplementari: Affermazione: $m\angle 1 + m\angle 2 = 180^\circ$ = Giustificazione: definizione di angoli supplementari

Metti $65^\circ$ al posto di $m\angle 1$: Affermazione: $65^\circ + m\angle 2 = 180^\circ$ = Giustificazione: sostituzione

Sottrai $65^\circ$ da entrambi i membri: Affermazione: $m\angle 2 = 115^\circ$ = Giustificazione: proprietà dell'uguaglianza (sottrazione)

Answer: $m\angle 2 = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$, e ogni passo ha la sua giustificazione.

Dimostrare il teorema degli angoli opposti al vertice

Due rette si incontrano e formano, uno dopo l'altro, $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$: quindi $\angle 1$ e $\angle 3$ sono opposti al vertice. **Ipotesi:** $\angle 1$ e $\angle 2$ sono angoli adiacenti, così come $\angle 2$ e $\angle 3$. **Tesi:** $m\angle 1 = m\angle 3$.

Scrivi l'ipotesi: Affermazione: $\angle 1, \angle 2$ e $\angle 2, \angle 3$ sono coppie di angoli adiacenti = Giustificazione: ipotesi

Due angoli adiacenti formano insieme un angolo piatto: Affermazione: $m\angle 1 + m\angle 2 = 180^\circ$ e $m\angle 2 + m\angle 3 = 180^\circ$ = Giustificazione: gli angoli adiacenti sono supplementari

Entrambe le somme valgono $180^\circ$, quindi sono uguali tra loro: Affermazione: $m\angle 1 + m\angle 2 = m\angle 2 + m\angle 3$ = Giustificazione: sostituzione

Sottrai $m\angle 2$ da entrambi i membri: Affermazione: $m\angle 1 = m\angle 3$ = Giustificazione: proprietà dell'uguaglianza (sottrazione)

Answer: Gli angoli opposti al vertice hanno sempre la stessa ampiezza. D'ora in poi puoi usarlo come giustificazione: teorema degli angoli opposti al vertice.

Mistake: Scrivere che cosa hai fatto invece di una giustificazione, per esempio "ho portato il 5 dall'altra parte"

Why: Una giustificazione deve nominare una regola accettata da tutti. "Portare" un numero dall'altra parte non è una regola e nasconde che cosa è successo davvero.

Correct: Nomina la proprietà: passare da $3x + 5 = 20$ a $3x = 15$ è la proprietà dell'uguaglianza (sottrazione), perché si è sottratto 5 da entrambi i membri.

Mistake: Scegliere la divisione invece della moltiplicazione per passare da $\frac{x}{4} = 3$ a $x = 12$

Why: Il passaggio annulla una divisione, ma quello che fai davvero è moltiplicare entrambi i membri per 4.

Correct: Chiediti che cosa hai fatto a entrambi i membri. $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ è la proprietà dell'uguaglianza (moltiplicazione).

Mistake: Usare la tesi come giustificazione o come affermazione 1

Why: La tesi è il traguardo. Se la usi prima di arrivarci, il ragionamento gira in tondo e non dimostra nulla.

Correct: L'affermazione 1 è sempre un'informazione dell'ipotesi. La tesi compare una sola volta, come ultima affermazione.

Mistake: Fare due passaggi in una riga con una sola giustificazione

Why: Passare da $2(x - 4) = 10$ direttamente a $2x = 18$ usa due proprietà diverse, quindi una sola giustificazione non basta.

Correct: Un passaggio per riga: prima $2x - 8 = 10$ (proprietà distributiva), poi $2x = 18$ (proprietà dell'uguaglianza, addizione).

Controllare il codice riga per riga

I programmatori dimostrano che un calcolo è corretto giustificando ogni riga, proprio come le righe di una dimostrazione a due colonne.

Un programma risolve $4x - 7 = 21$. Una revisora controlla ogni riga: aggiungere 7 (proprietà dell'uguaglianza, addizione), poi dividere per 4 (proprietà dell'uguaglianza, divisione).

Montare una staffa per mensola

I falegnami usano l'addizione di angoli quando un puntone diagonale divide l'angolo retto tra il muro e la mensola.

Il muro e la mensola si incontrano a $90^\circ$. Un puntone divide questo angolo retto in due angoli che sommati danno $90^\circ$.

Distanze su una strada diritta

Su una strada diritta, le distanze tra i paesi seguono il postulato dell'addizione di segmenti, così si può dimostrare una distanza mancante.

Se il paese $B$ si trova tra i paesi $A$ e $C$, allora $AB + BC = AC$.

Q: Una dimostrazione a due colonne è diversa dal risolvere un'equazione?

A: I passaggi sono gli stessi. La differenza è che in una dimostrazione scrivi la giustificazione di ogni passaggio: mostri non solo il risultato, ma anche perché ogni passaggio è permesso.

Q: Come faccio a sapere quale giustificazione scrivere?

A: Confronta la nuova affermazione con quella precedente e chiediti che cosa è cambiato. Si è aggiunto qualcosa a entrambi i membri? Si è svolta una parentesi? Si è messo un valore al posto di un altro? Il cambiamento ti dice la giustificazione.

Q: Qual è la differenza tra sostituzione e proprietà transitiva?

A: La transitiva lavora con tre quantità uguali: se $a = b$ e $b = c$, allora $a = c$. La sostituzione è più generale: sostituisci una quantità con una uguale dentro qualsiasi affermazione, per esempio $65^\circ$ al posto di $m\angle 1$. Molti insegnanti accettano entrambe quando vanno bene tutte e due.

Q: Una dimostrazione può avere più versioni corrette?

A: Sì. A volte puoi fare i passaggi in un altro ordine o usare un'altra proprietà. Una dimostrazione è corretta finché ogni affermazione segue dalle precedenti e ogni giustificazione è valida.