Come faccio a sapere quale giustificazione scrivere?

Confronta la nuova affermazione con quella precedente e chiediti che cosa è cambiato. Si è aggiunto qualcosa a entrambi i membri? Si è svolta una parentesi? Si è messo un valore al posto di un altro? Il cambiamento ti dice la giustificazione.

Qual è la differenza tra sostituzione e proprietà transitiva?

La transitiva lavora con tre quantità uguali: se $a = b$ e $b = c$, allora $a = c$. La sostituzione è più generale: sostituisci una quantità con una uguale dentro qualsiasi affermazione, per esempio $65^\circ$ al posto di $m\angle 1$. Molti insegnanti accettano entrambe quando vanno bene tutte e due.

Una dimostrazione può avere più versioni corrette?

Sì. A volte puoi fare i passaggi in un altro ordine o usare un'altra proprietà. Una dimostrazione è corretta finché ogni affermazione segue dalle precedenti e ogni giustificazione è valida.

Risorse per insegnanti

Dimostrazioni a due colonne

Impara a scrivere dimostrazioni a due colonne: ogni affermazione a sinistra e la sua giustificazione a destra, con equazioni, segmenti e angoli.

Intermedio25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Una dimostrazione a due colonne è una dimostrazione scritta sotto forma di tabella. Nella colonna di sinistra ci sono le affermazioni (ciò che sappiamo a ogni passo), in quella di destra le giustificazioni (perché ogni affermazione è vera). La dimostrazione parte dall'ipotesi (ciò che ci viene dato) e termina con la tesi (ciò che dobbiamo dimostrare).

Ipotesi:

3x + 5 = 20

Tesi:

x = 5

N.	Affermazione	Giustificazione
1	$3x + 5 = 20$	Ipotesi
2	$3x = 15$	Proprietà dell'uguaglianza (sottrazione)
3	$x = 5$	Proprietà dell'uguaglianza (divisione)

Ogni giustificazione deve essere l'ipotesi, una definizione, una proprietà, un postulato o un teorema già dimostrato. Le giustificazioni che userai più spesso:

Giustificazione	Che cosa permette
Proprietà dell'uguaglianza (addizione e sottrazione)	Se $a = b$ , allora $a + c = b + c$ e $a - c = b - c$
Proprietà dell'uguaglianza (moltiplicazione e divisione)	Se $a = b$ , allora $ac = bc$ e $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ per $c \neq 0$
Sostituzione	Se $a = b$ , puoi sostituire $a$ con $b$ in qualsiasi affermazione
Proprietà distributiva	$a(b + c) = ab + ac$
Proprietà riflessiva	$a = a$
Proprietà simmetrica	Se $a = b$ , allora $b = a$
Proprietà transitiva	Se $a = b$ e $b = c$ , allora $a = c$

Con segmenti e angoli userai anche:

Postulato dell'addizione di segmenti: se $B$ sta tra $A$ e $C$ su una retta, allora $AB + BC = AC$
Postulato dell'addizione di angoli: se il punto $D$ è interno a $\angle ABC$ , allora $m\angle ABD + m\angle DBC = m\angle ABC$
Definizioni: due angoli complementari hanno somma $90^\circ$ , due angoli supplementari hanno somma $180^\circ$
Teorema degli angoli opposti al vertice: gli angoli opposti al vertice hanno la stessa ampiezza

Prova subito

In una dimostrazione a due colonne, quale giustificazione si scrive accanto all'affermazione 1?

Esempi svolti

Ipotesi: $3x + 5 = 20$ . Tesi: $x = 5$ . Scrivi la dimostrazione a due colonne.

Scrivi l'ipotesi come affermazione 1

Affermazione: $3x + 5 = 20$ → Giustificazione: ipotesi

Sottrai 5 da entrambi i membri

$3x + 5 - 5 = 20 - 5$ , quindi l'affermazione è $3x = 15$ → Giustificazione: proprietà dell'uguaglianza (sottrazione)

Dividi entrambi i membri per 3

$\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$ , quindi l'affermazione è $x = 5$ → Giustificazione: proprietà dell'uguaglianza (divisione)

Controlla che l'ultima affermazione sia la tesi

L'affermazione 3 è $x = 5$ , proprio ciò che dovevamo dimostrare → La dimostrazione è completa

Risposta: 1. $3x + 5 = 20$ (ipotesi); 2. $3x = 15$ (proprietà dell'uguaglianza, sottrazione); 3. $x = 5$ (proprietà dell'uguaglianza, divisione).

Errori comuni

Scrivere che cosa hai fatto invece di una giustificazione, per esempio "ho portato il 5 dall'altra parte"

Perché è sbagliato: Una giustificazione deve nominare una regola accettata da tutti. "Portare" un numero dall'altra parte non è una regola e nasconde che cosa è successo davvero.

Corretto: Nomina la proprietà: passare da $3x + 5 = 20$ a $3x = 15$ è la proprietà dell'uguaglianza (sottrazione), perché si è sottratto 5 da entrambi i membri.

Scegliere la divisione invece della moltiplicazione per passare da $\frac{x}{4} = 3$ a $x = 12$

Perché è sbagliato: Il passaggio annulla una divisione, ma quello che fai davvero è moltiplicare entrambi i membri per 4.

Corretto: Chiediti che cosa hai fatto a entrambi i membri. $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ è la proprietà dell'uguaglianza (moltiplicazione).

Usare la tesi come giustificazione o come affermazione 1

Perché è sbagliato: La tesi è il traguardo. Se la usi prima di arrivarci, il ragionamento gira in tondo e non dimostra nulla.

Corretto: L'affermazione 1 è sempre un'informazione dell'ipotesi. La tesi compare una sola volta, come ultima affermazione.

Fare due passaggi in una riga con una sola giustificazione

Perché è sbagliato: Passare da $2(x - 4) = 10$ direttamente a $2x = 18$ usa due proprietà diverse, quindi una sola giustificazione non basta.

Corretto: Un passaggio per riga: prima $2x - 8 = 10$ (proprietà distributiva), poi $2x = 18$ (proprietà dell'uguaglianza, addizione).

Visuale interattivo

Risolutore di equazioni

Risolvi per $x$ :

3x + 5 = 20

3x + 5 = 20

Sottrai

5

da entrambi i latiRimuovi il termine costante

Suggerimenti:

• Quello che fai da un lato, fallo dall'altro
• Annulla le operazioni in ordine inverso
• Verifica la risposta sostituendo

Segui mentre risolviamo l'equazione passo dopo passo.

Esploratore di angoli

∠1 = 65°∠2 = 115°∠3 = 65°∠4 = 115°

∠1 = ∠3 = 65°, ∠2 = ∠4 = 115°

Gli angoli opposti al vertice stanno uno di fronte all'altro dove due rette si incrociano. Sono sempre uguali.

Trascina il punto blu per ruotare la seconda retta e osserva i quattro angoli.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

In una dimostrazione a due colonne, quale giustificazione si scrive accanto all'affermazione 1?

Perché è importante

Le dimostrazioni a due colonne rendono visibile ogni passo di un ragionamento:

Nessun salto nascosto: ogni affermazione ha bisogno della sua giustificazione, così un buco o un errore si vede subito
Algebra con comprensione: risolvendo un'equazione sai esattamente quale proprietà permette ogni passaggio
Geometria: quasi tutte le dimostrazioni scolastiche su segmenti, angoli e triangoli si scrivono a due colonne
Programmazione: controllare un codice riga per riga, con un motivo per ogni riga, funziona allo stesso modo
Comunicazione chiara: chi legge può controllare la tua dimostrazione una riga alla volta

Quando sai giustificare ogni passo, puoi fidarti del tuo risultato, e anche gli altri possono farlo!

Applicazioni nel mondo reale

Controllare il codice riga per riga

I programmatori dimostrano che un calcolo è corretto giustificando ogni riga, proprio come le righe di una dimostrazione a due colonne.

Esempio:

Un programma risolve $4x - 7 = 21$ . Una revisora controlla ogni riga: aggiungere 7 (proprietà dell'uguaglianza, addizione), poi dividere per 4 (proprietà dell'uguaglianza, divisione).

1Provaci tu stesso

Il programma riceve $4x - 7 = 21$ come ipotesi e deve dimostrare che $x = 7$ .

Quale valore di $x$ raggiunge la dimostrazione?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il calcolo che annulla entrambe le operazioni:

Montare una staffa per mensola

I falegnami usano l'addizione di angoli quando un puntone diagonale divide l'angolo retto tra il muro e la mensola.

Esempio:

Il muro e la mensola si incontrano a $90^\circ$ . Un puntone divide questo angolo retto in due angoli che sommati danno $90^\circ$ .

2Provaci tu stesso

Il puntone forma un angolo di $38^\circ$ con il muro. I due angoli ai lati del puntone formano insieme l'angolo di $90^\circ$ tra muro e mensola.

Dimostra l'ampiezza dell'angolo tra il puntone e la mensola.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il calcolo per il secondo angolo:

Distanze su una strada diritta

Su una strada diritta, le distanze tra i paesi seguono il postulato dell'addizione di segmenti, così si può dimostrare una distanza mancante.

Esempio:

Se il paese $B$ si trova tra i paesi $A$ e $C$ , allora $AB + BC = AC$ .

3Provaci tu stesso

I paesi $A$ , $B$ , $C$ si trovano in quest'ordine su una strada diritta. $AB = 35$ km e $AC = 120$ km.

Dimostra quanto dista $B$ da $C$ .

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il calcolo per $BC$ :

Punti chiave

1Una dimostrazione a due colonne mette le affermazioni a sinistra e le loro giustificazioni a destra
2Parte dall'ipotesi e termina esattamente con la tesi da dimostrare
3Ogni giustificazione è l'ipotesi, una definizione, una proprietà, un postulato o un teorema precedente
4Proprietà dell'uguaglianza: ciò che aggiungi, sottrai, moltiplichi o dividi da una parte, lo fai anche dall'altra
5La sostituzione, le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva e la proprietà distributiva sono anch'esse giustificazioni valide
6Con segmenti e angoli usa l'addizione di segmenti e di angoli, le definizioni di angoli complementari ( $90^\circ$ ) e supplementari ( $180^\circ$ ) e gli angoli opposti al vertice

Domande frequenti

I passaggi sono gli stessi. La differenza è che in una dimostrazione scrivi la giustificazione di ogni passaggio: mostri non solo il risultato, ma anche perché ogni passaggio è permesso.

Glossario

Dimostrazione a due colonne: Una dimostrazione scritta come tabella, con le affermazioni a sinistra e le giustificazioni a destra
Affermazione: Un passo della dimostrazione: un fatto che sappiamo in quel momento, come $3x = 15$
Giustificazione: La regola che giustifica un'affermazione: ipotesi, definizione, proprietà, postulato o teorema
Ipotesi / tesi: L'ipotesi è l'informazione da cui parti; la tesi è l'affermazione a cui devi arrivare alla fine
Proprietà dell'uguaglianza: Una regola secondo cui un'uguaglianza resta vera se fai la stessa operazione su entrambi i membri
Postulato: Un'affermazione accettata senza dimostrazione, come il postulato dell'addizione di segmenti

Scheda formule

Proprietà dell'uguaglianza (addizione)

a = b \Rightarrow a + c = b + c

Aggiungere lo stesso numero a entrambi i membri

Proprietà dell'uguaglianza (sottrazione)

a = b \Rightarrow a - c = b - c

Sottrarre lo stesso numero da entrambi i membri

Proprietà dell'uguaglianza (moltiplicazione)

a = b \Rightarrow ac = bc

Moltiplicare entrambi i membri per lo stesso numero

Proprietà dell'uguaglianza (divisione)

a = b \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{c},\ c \neq 0

Dividere entrambi i membri per lo stesso numero diverso da zero

Proprietà distributiva

a(b + c) = ab + ac

Moltiplicare un numero per ogni termine della parentesi

Riflessiva, simmetrica, transitiva

a = a;\ a = b \Rightarrow b = a;\ a = b,\ b = c \Rightarrow a = c

Proprietà di base dell'uguaglianza

Postulato dell'addizione di segmenti

AB + BC = AC

Quando B sta tra A e C su una retta

Angoli complementari e supplementari

m\angle 1 + m\angle 2 = 90^\circ \text{ o } 180^\circ

Definizioni di angoli complementari e supplementari

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Errori comuni

Visuale interattivo

Risolutore di equazioni

Suggerimenti:

Esploratore di angoli

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Cronologia

Esercizi pratici

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Controllare il codice riga per riga

Montare una staffa per mensola

Distanze su una strada diritta

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Proprietà dell'uguaglianza (addizione)

Proprietà dell'uguaglianza (sottrazione)

Proprietà dell'uguaglianza (moltiplicazione)

Proprietà dell'uguaglianza (divisione)

Proprietà distributiva

Riflessiva, simmetrica, transitiva

Postulato dell'addizione di segmenti

Angoli complementari e supplementari

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