Casetta da giardino: parallelepipedo con tetto a piramide

Una casetta da giardino ha una base a forma di scatola lunga $4$ m, larga $3$ m e alta $2{,}5$ m. Sopra c'è un tetto a forma di piramide con la stessa base rettangolare di $4$ m per $3$ m e un'altezza di $1{,}5$ m. Qual è il volume totale della casetta?

Dai un nome alle parti: Parallelepipedo ($4 \times 3 \times 2{,}5$) + piramide (base $4 \times 3$, altezza $1{,}5$) = Due parti unite

Volume del parallelepipedo: $V_1 = 4 \times 3 \times 2{,}5 = 30$ = $30$ m³

Area di base della piramide: $B = 4 \times 3 = 12$ = $12$ m²

Volume della piramide: $V_2 = \frac{1}{3} \times 12 \times 1{,}5 = 6$ = $6$ m³

Somma le parti: $V = 30 + 6 = 36$ = $36$ m³

Answer: La casetta ha un volume di $36$ m³.

Matita temperata: cilindro con cono

Un modellino di matita è un cilindro con raggio $3$ cm e altezza $10$ cm. A un'estremità è attaccato un cono con lo stesso raggio di $3$ cm e altezza $4$ cm. Calcola il volume. Usa $\pi \approx 3{,}14$ e arrotonda ai decimi.

Dai un nome alle parti: Cilindro ($r = 3$, $h = 10$) + cono ($r = 3$, $h = 4$). La lunghezza totale di $14$ cm NON si usa in nessuna formula. = Due parti unite

Cilindro in funzione di $\pi$: $V_1 = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi$ = $90\pi$ cm³

Cono in funzione di $\pi$: $V_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi$ = $12\pi$ cm³

Somma, poi moltiplica una sola volta per $3{,}14$: $90\pi + 12\pi = 102\pi \approx 102 \times 3{,}14 = 320{,}28$ = $\approx 320{,}3$ cm³

Answer: La matita ha un volume di $102\pi \approx 320{,}3$ cm³.

Silo per il grano: cilindro con semisfera

Un silo per il grano è un cilindro con raggio $2$ m e altezza $6$ m. Il suo tetto è una semisfera (mezza sfera) con lo stesso raggio di $2$ m. Quanto grano contiene il silo quando è pieno? Usa $\pi \approx 3{,}14$ e arrotonda ai decimi.

Dai un nome alle parti: Cilindro ($r = 2$, $h = 6$) + semisfera ($r = 2$) = Due parti unite

Cilindro: $V_1 = \pi \times 2^2 \times 6 = 24\pi$ = $24\pi$ m³

Semisfera: metà di una sfera: $V_2 = \frac{2}{3} \times \pi \times 2^3 = \frac{16}{3}\pi$ = $\frac{16}{3}\pi$ m³

Somma in funzione di $\pi$: $24\pi + \frac{16}{3}\pi = \frac{72}{3}\pi + \frac{16}{3}\pi = \frac{88}{3}\pi$ = $\frac{88}{3}\pi$ m³

Usa $\pi \approx 3{,}14$ e arrotonda alla fine: $\frac{88 \times 3{,}14}{3} = \frac{276{,}32}{3} \approx 92{,}11$ = $\approx 92{,}1$ m³

Answer: Il silo contiene circa $92{,}1$ m³ di grano.

Cono gelato con una pallina

Un cono di altezza $10$ cm e raggio $3$ cm è pieno di gelato, e sopra c'è una pallina a forma di semisfera con raggio $3$ cm. Quanti millilitri di gelato sono? Usa $\pi \approx 3{,}14$ e arrotonda all'unità.

Dai un nome alle parti: Cono ($r = 3$, $h = 10$) + semisfera ($r = 3$) = Due parti unite

Cono: $V_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi$ = $30\pi$ cm³

Semisfera: $V_2 = \frac{2}{3} \times \pi \times 3^3 = 18\pi$ = $18\pi$ cm³

Somma e usa $3{,}14$: $30\pi + 18\pi = 48\pi \approx 48 \times 3{,}14 = 150{,}72$ = $\approx 150{,}72$ cm³

Trasforma in millilitri: $1$ cm³ $= 1$ mL, quindi $150{,}72$ cm³ $= 150{,}72$ mL = $\approx 151$ mL

Answer: Ci sono circa $151$ mL di gelato.

Tubo cavo: sottrarre un cilindro

Un tubo di calcestruzzo è lungo $100$ cm. Il suo raggio esterno è $5$ cm e il foro al centro ha raggio $4$ cm. Che volume di calcestruzzo c'è nel tubo? Usa $\pi \approx 3{,}14$.

Descrivi il solido: Cilindro grande ($r = 5$, $h = 100$) da cui si toglie un cilindro più piccolo ($r = 4$, $h = 100$) = Sottrazione

Cilindro esterno: $V_{\text{est}} = \pi \times 5^2 \times 100 = 2500\pi$ = $2500\pi$ cm³

Foro (cilindro interno): $V_{\text{foro}} = \pi \times 4^2 \times 100 = 1600\pi$ = $1600\pi$ cm³

Sottrai e usa $3{,}14$: $2500\pi - 1600\pi = 900\pi \approx 900 \times 3{,}14 = 2826$ = $2826$ cm³

Answer: Il tubo contiene circa $2826$ cm³ di calcestruzzo, cioè circa $2{,}8$ L.

Mistake: Usare l'altezza totale per ogni parte (una matita di $14$ cm calcolata come un cilindro di altezza $14$ più un cono di altezza $4$)

Why: Ogni parte ha la sua altezza. L'altezza totale appartiene all'oggetto intero, non a una singola parte, quindi la zona del cono viene contata due volte.

Correct: Dividi l'altezza: cilindro $h = 10$, cono $h = 4$. Controlla che le altezze delle parti diano l'altezza totale: $10 + 4 = 14$.

Mistake: Usare la formula della sfera intera per una cupola o una pallina di gelato

Why: Una cupola, una pallina sul cono o l'estremità arrotondata di un silo è solo mezza sfera. Con $\frac{4}{3}\pi r^3$ raddoppi quella parte.

Correct: Una semisfera ha $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$. Due semisfere (le due estremità di una capsula) formano una sfera intera.

Mistake: Sottrarre prima i raggi di un tubo: $\pi (5 - 4)^2 \times 100 = 100\pi$

Why: Il volume dipende da $r^2$, quindi non puoi sottrarre i raggi prima di elevarli al quadrato. La differenza dei volumi non è il volume della differenza.

Correct: Sottrai volumi interi: $\pi \times 5^2 \times 100 - \pi \times 4^2 \times 100 = \pi (25 - 16) \times 100 = 900\pi$.

Mistake: Arrotondare ogni parte prima di sommare

Why: I piccoli errori di arrotondamento di ogni parte si accumulano, e il risultato finale può essere sbagliato nell'ultima cifra.

Correct: Lascia ogni parte in funzione di $\pi$ (o tieni tutti i decimali), somma o sottrai e arrotonda una sola volta alla fine, alla cifra richiesta.

Serbatoi e capsule

I serbatoi per gas, acqua o latte sono spesso cilindri con una semisfera a ogni estremità, perché le estremità arrotondate resistono alla pressione meglio di quelle piatte. Le due semisfere insieme formano una sfera intera.

Una capsula di medicinale con raggio $3$ mm e un cilindro di $4$ mm al centro ha volume $\pi \times 3^2 \times 4 + \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi + 36\pi = 72\pi \approx 226{,}08$ mm³.

Fioriere in calcestruzzo

Le fioriere da giardino sono spesso gettate in calcestruzzo come un blocco con un foro per la terra. Il calcestruzzo necessario è il volume del blocco meno il volume del foro.

Un blocco di $8$ cm per $8$ cm per $5$ cm con un foro cilindrico di raggio $1$ cm che lo attraversa in altezza usa $320 - \pi \times 1^2 \times 5 \approx 304{,}3$ cm³ di materiale.

Modellini di razzi

Il corpo di un modellino di razzo è un cilindro con una punta a forma di cono. I progettisti usano il volume per pianificare lo spazio interno per i componenti e stimare il peso di un modellino pieno.

Un razzo con raggio $4$ cm, un cilindro di $15$ cm e una punta conica di $6$ cm ha volume $240\pi + 32\pi = 272\pi \approx 854{,}08$ cm³.

Q: Come capisco se devo sommare o sottrarre?

A: Chiediti di cosa è fatto il solido. Se due pezzi sono attaccati (un cono su un cilindro), sommi. Se qualcosa è ritagliato o vuoto (un foro, l'interno di un tubo), sottrai la parte vuota dal solido più grande.

Q: Non c'è un disegno. Come immagino la forma?

A: Leggi la descrizione con calma e fai uno schizzo veloce. Scrivi ogni parte con i suoi numeri, per esempio: cilindro $r = 2$, $h = 6$; semisfera $r = 2$. Quando le parti sono in elenco, il problema diventa due piccoli problemi.

Q: Devo usare $\pi \approx 3{,}14$ o il tasto $\pi$?

A: Usa quello che dice il testo. Questa lezione usa $3{,}14$. Il tasto $\pi$ dà un risultato un po' più grande e più preciso (per esempio $102\pi$ vale $320{,}28$ con $3{,}14$ e $320{,}44$ con il tasto). Se il testo chiede il risultato in funzione di $\pi$, scrivi qualcosa come $102\pi$.

Q: Devo contare la faccia piatta dove le due parti si toccano?

A: Per il volume no. La faccia dove due parti si uniscono non ha spessore, quindi non aggiunge volume. Conta solo per l'area della superficie, che è un'altra lezione (Area di superficie dei solidi composti).