Non c'è un disegno. Come immagino la forma?

Leggi la descrizione con calma e fai uno schizzo veloce. Scrivi ogni parte con i suoi numeri, per esempio: cilindro $r = 2$, $h = 6$; semisfera $r = 2$. Quando le parti sono in elenco, il problema diventa due piccoli problemi.

Devo usare $\pi \approx 3{,}14$ o il tasto $\pi$?

Usa quello che dice il testo. Questa lezione usa $3{,}14$. Il tasto $\pi$ dà un risultato un po' più grande e più preciso (per esempio $102\pi$ vale $320{,}28$ con $3{,}14$ e $320{,}44$ con il tasto). Se il testo chiede il risultato in funzione di $\pi$, scrivi qualcosa come $102\pi$.

Devo contare la faccia piatta dove le due parti si toccano?

Per il volume no. La faccia dove due parti si uniscono non ha spessore, quindi non aggiunge volume. Conta solo per l'area della superficie, che è un'altra lezione (Area di superficie dei solidi composti).

Risorse per insegnanti

Volume dei solidi composti

Impara a calcolare il volume di solidi formati da cubi, prismi, cilindri, coni, sfere e piramidi sommando o sottraendo i volumi delle loro parti.

Avanzato30 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Un solido composto è un oggetto tridimensionale formato da due o più solidi semplici uniti, oppure un solido semplice da cui è stata tolta una parte. Una matita è un cilindro con un cono in punta, un silo per il grano è un cilindro con una mezza sfera sopra, e un tubo è un cilindro da cui è stato tolto un cilindro più piccolo.

Non c'è nessuna formula nuova da imparare. Scomponi il solido in parti che conosci già, calcoli il volume di ogni parte e poi le combini:

V_{\text{totale}} = V_1 + V_2 \quad \text{(parti unite)}

V = V_{\text{esterno}} - V_{\text{tolto}} \quad \text{(foro o parte cava)}

Ripasso delle formule

Cubo: $V = s^3$
Parallelepipedo rettangolo: $V = a \times b \times h$
Cilindro: $V = \pi r^2 h$
Cono: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
Sfera: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , quindi una semisfera (mezza sfera) ha $V = \frac{2}{3}\pi r^3$
Piramide: $V = \frac{1}{3}Bh$ , dove $B$ è l'area di base

Un metodo che funziona sempre

1.Descrivi il solido a parole (o fai uno schizzo): quali solidi semplici, come sono uniti, quali misure appartengono a quale parte.
2.Trova le misure di ogni parte. Spesso le parti hanno lo stesso raggio, ma ognuna ha la sua altezza.
3.Calcola ogni volume. Lasciare i risultati in funzione di $\pi$ (come $90\pi$ ) rende facile la somma.
4.Somma o sottrai.
5.**Usa $\pi \approx 3{,}14$ e arrotonda solo alla fine**, alla cifra richiesta dal testo. Scrivi unità cubiche (cm³, m³). Ricorda: $1$ L $= 1000$ cm³ e $1$ m³ $= 1000$ L.

Prova subito

Un solido è un cilindro con un cono sopra, in modo che la base circolare del cono poggi esattamente sulla faccia superiore del cilindro. Come calcoli il volume dell'intero solido?

Esempi svolti

Una casetta da giardino ha una base a forma di scatola lunga $4$ m, larga $3$ m e alta $2{,}5$ m. Sopra c'è un tetto a forma di piramide con la stessa base rettangolare di $4$ m per $3$ m e un'altezza di $1{,}5$ m. Qual è il volume totale della casetta?

Dai un nome alle parti

Parallelepipedo ( $4 \times 3 \times 2{,}5$ ) + piramide (base $4 \times 3$ , altezza $1{,}5$ ) → Due parti unite

Volume del parallelepipedo

$V_1 = 4 \times 3 \times 2{,}5 = 30$ → $30$ m³

Area di base della piramide

$B = 4 \times 3 = 12$ → $12$ m²

Volume della piramide

$V_2 = \frac{1}{3} \times 12 \times 1{,}5 = 6$ → $6$ m³

Somma le parti

$V = 30 + 6 = 36$ → $36$ m³

Risposta: La casetta ha un volume di $36$ m³.

Errori comuni

Usare l'altezza totale per ogni parte (una matita di $14$ cm calcolata come un cilindro di altezza $14$ più un cono di altezza $4$ )

Perché è sbagliato: Ogni parte ha la sua altezza. L'altezza totale appartiene all'oggetto intero, non a una singola parte, quindi la zona del cono viene contata due volte.

Corretto: Dividi l'altezza: cilindro $h = 10$ , cono $h = 4$ . Controlla che le altezze delle parti diano l'altezza totale: $10 + 4 = 14$ .

Usare la formula della sfera intera per una cupola o una pallina di gelato

Perché è sbagliato: Una cupola, una pallina sul cono o l'estremità arrotondata di un silo è solo mezza sfera. Con $\frac{4}{3}\pi r^3$ raddoppi quella parte.

Corretto: Una semisfera ha $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$ . Due semisfere (le due estremità di una capsula) formano una sfera intera.

Sottrarre prima i raggi di un tubo: $\pi (5 - 4)^2 \times 100 = 100\pi$

Perché è sbagliato: Il volume dipende da $r^2$ , quindi non puoi sottrarre i raggi prima di elevarli al quadrato. La differenza dei volumi non è il volume della differenza.

Corretto: Sottrai volumi interi: $\pi \times 5^2 \times 100 - \pi \times 4^2 \times 100 = \pi (25 - 16) \times 100 = 900\pi$ .

Arrotondare ogni parte prima di sommare

Perché è sbagliato: I piccoli errori di arrotondamento di ogni parte si accumulano, e il risultato finale può essere sbagliato nell'ultima cifra.

Corretto: Lascia ogni parte in funzione di $\pi$ (o tieni tutti i decimali), somma o sottrai e arrotonda una sola volta alla fine, alla cifra richiesta.

Visuale interattivo

Solido composto

Rotazione X (20°)

Rotazione Y (30°)

Volume

Prisma rettangolare: V = lwh = 30 m³
+ Piramide a base rettangolare: V = ⅓lwh = 6 m³

Volume totale: 36 m³

Il volume di un solido composto è la somma dei volumi delle sue parti. Un foro si sottrae.

Area di superficie

Prisma rettangolare: 59 − 12 (facce a contatto) = 47 m²
+ Piramide a base rettangolare: 27,99 − 12 (facce a contatto) ≈ 15,99 m²

Area totale: 62,99 m²

Nell'area conta solo l'esterno: dove due parti si toccano, quella faccia è nascosta e si toglie da entrambe le parti. Un foro toglie le sue aperture e aggiunge la sua parete interna.

Calcolato con π ≈ 3,14.

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Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Un solido è un cilindro con un cono sopra, in modo che la base circolare del cono poggi esattamente sulla faccia superiore del cilindro. Come calcoli il volume dell'intero solido?

Esercizi pratici: Volume dei solidi composti

1. Un solido è un cilindro con un cono sopra, in modo che la base circolare del cono poggi esattamente sulla faccia superiore del cilindro. Come calcoli il volume dell'intero solido?
2. Un cubo con spigolo di 4 cm è incollato sopra un cubo più grande con spigolo di 6 cm. Qual è il volume totale del solido in cm³?
3. Un blocco a gradino è formato da due parallelepipedi. Quello in basso è lungo 8 cm, largo 4 cm e alto 2 cm. Sopra c'è un secondo parallelepipedo lungo 4 cm, largo 4 cm e alto 2 cm. Calcola il volume totale in cm³.
4. Quale espressione dà il volume di una semisfera (mezza sfera) di raggio r?
5. Un piccolo capanno è un cubo con spigolo di 2 m. Il tetto è una piramide a base quadrata di 2 m per 2 m (la faccia superiore del cubo) e altezza 1,5 m. Qual è il volume totale del capanno in m³?
6. Una casa modello è un parallelepipedo lungo 6 m, largo 4 m e alto 3 m, con un tetto a piramide sopra. Il tetto ha la stessa base rettangolare di 6 m per 4 m e un'altezza di 2 m. Calcola il volume totale in m³.
7. Un cubo di legno ha spigolo di 10 cm. Da un angolo si ritaglia un cubetto con spigolo di 4 cm. Quanto legno resta, in cm³?
8. Un modellino di razzo è alto 15 cm: un cilindro con raggio 2 cm e altezza 9 cm, con sopra un cono di raggio 2 cm e altezza 6 cm. Quale espressione dà il suo volume?
9. Un pastello a cera è un cilindro con raggio 1 cm e lunghezza 9 cm, con una punta a forma di cono di raggio 1 cm e altezza 3 cm. Usa π ≈ 3,14 per calcolare il suo volume in cm³.
10. Un cono gelato ha raggio 3 cm e altezza 8 cm ed è completamente pieno. Sopra c'è una pallina a forma di semisfera con raggio 3 cm. Il volume totale di gelato è kπ cm³. Quanto vale k?
11. Un contenitore a forma di capsula è un cilindro con raggio 3 cm e lunghezza 12 cm, con una semisfera di raggio 3 cm a ogni estremità. Usa π ≈ 3,14 e arrotonda il volume totale al cm³ intero.
12. Un blocco di legno è lungo 10 cm, largo 10 cm e alto 6 cm. Un foro cilindrico di raggio 2 cm lo attraversa dritto per tutta l'altezza di 6 cm. Con π ≈ 3,14, quanto legno resta, arrotondato ai decimi?
13. Un silo è un cilindro con raggio 2 m e altezza 8 m, con un tetto a forma di semisfera di raggio 2 m. Usa π ≈ 3,14. Qual è il volume del silo in m³, arrotondato all'unità?
14. Un cilindro pieno ha raggio 6 cm e altezza 10 cm. Al suo interno si scava un cono con la stessa base (raggio 6 cm) e la stessa altezza (10 cm), con la punta rivolta verso il basso. Usa π ≈ 3,14 per calcolare il volume di materiale che resta, in cm³.
15. Un tubo di metallo è lungo 50 cm. Il raggio esterno è 6 cm e il raggio interno (il foro) è 5 cm. Quale espressione dà il volume di metallo del tubo?
16. Un tubo di scarico in calcestruzzo è lungo 200 cm. Il raggio esterno è 10 cm e il raggio interno è 8 cm. Usa π ≈ 3,14 per trovare quanti litri di calcestruzzo contiene (1 L = 1000 cm³).
17. Un acquario è un parallelepipedo lungo 30 cm, largo 20 cm e alto 20 cm. Dentro c'è una decorazione piena a forma di cilindro, con raggio 5 cm e altezza 20 cm, in piedi. Con π ≈ 3,14, quanti litri d'acqua servono per riempire il resto dell'acquario? (1 L = 1000 cm³)
18. Un solido è un cilindro con sopra una semisfera, entrambi con raggio 3 cm. Il suo volume totale è 90π cm³. Quanto è alta la parte cilindrica? (Lavora in funzione di π.)

Perché è importante

Gli oggetti reali raramente hanno una sola forma perfetta:

Ingegneria: i serbatoi di gas e le capsule dei medicinali sono cilindri con le estremità arrotondate (due semisfere).
Agricoltura: un silo è un cilindro con una cupola o un cono sopra, e gli agricoltori hanno bisogno del suo volume per sapere quanto grano ci sta.
Edilizia: i costruttori ordinano il calcestruzzo per blocchi e tubi con dei fori, quindi devono sottrarre lo spazio vuoto.
Cibo: un cono gelato con una pallina sopra, una torta con il buco al centro, una caramella a forma di matita.
Architettura: una casa è un parallelepipedo con un tetto a piramide o a prisma, e il riscaldamento dipende dal volume d'aria all'interno.

Se sai scomporre una forma in parti semplici, puoi calcolare il volume di quasi tutto.

Applicazioni nel mondo reale

Serbatoi e capsule

I serbatoi per gas, acqua o latte sono spesso cilindri con una semisfera a ogni estremità, perché le estremità arrotondate resistono alla pressione meglio di quelle piatte. Le due semisfere insieme formano una sfera intera.

Esempio:

Una capsula di medicinale con raggio $3$ mm e un cilindro di $4$ mm al centro ha volume $\pi \times 3^2 \times 4 + \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi + 36\pi = 72\pi \approx 226{,}08$ mm³.

1Provaci tu stesso

Un serbatoio d'acqua è un cilindro con raggio $30$ cm e lunghezza $100$ cm, con una semisfera di raggio $30$ cm a ogni estremità. Usa $\pi \approx 3{,}14$ .

Quanti litri d'acqua contiene il serbatoio?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Cilindro più una sfera intera:

Fioriere in calcestruzzo

Le fioriere da giardino sono spesso gettate in calcestruzzo come un blocco con un foro per la terra. Il calcestruzzo necessario è il volume del blocco meno il volume del foro.

Esempio:

Un blocco di $8$ cm per $8$ cm per $5$ cm con un foro cilindrico di raggio $1$ cm che lo attraversa in altezza usa $320 - \pi \times 1^2 \times 5 \approx 304{,}3$ cm³ di materiale.

2Provaci tu stesso

Una fioriera è un cubo di calcestruzzo con spigolo di $50$ cm. In alto c'è un foro a forma di cilindro con raggio $20$ cm e profondità $40$ cm per la terra. Usa $\pi \approx 3{,}14$ .

Quanti cm³ di calcestruzzo servono per la fioriera?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Cubo meno il foro cilindrico:

Modellini di razzi

Il corpo di un modellino di razzo è un cilindro con una punta a forma di cono. I progettisti usano il volume per pianificare lo spazio interno per i componenti e stimare il peso di un modellino pieno.

Esempio:

Un razzo con raggio $4$ cm, un cilindro di $15$ cm e una punta conica di $6$ cm ha volume $240\pi + 32\pi = 272\pi \approx 854{,}08$ cm³.

3Provaci tu stesso

Un razzo giocattolo è un cilindro con raggio $2$ cm e altezza $12$ cm, sormontato da un cono con raggio $2$ cm e altezza $6$ cm. Usa $\pi \approx 3{,}14$ .

Qual è il volume del razzo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Cilindro più cono:

Punti chiave

1Un solido composto è formato da solidi semplici uniti, oppure da un solido semplice da cui è stata tolta una parte
2Scomponi il solido in parti note: parallelepipedi, cubi, cilindri, coni, sfere, semisfere, piramidi
3Parti unite: somma i volumi. Fori e parti cave: sottrai il volume tolto
4Ogni parte ha la sua altezza; le parti che si toccano hanno spesso lo stesso raggio
5Una semisfera ha volume $\frac{2}{3}\pi r^3$ , e due semisfere formano una sfera
6Lascia le parti in funzione di $\pi$ , usa $\pi \approx 3{,}14$ e arrotonda solo alla fine; scrivi unità cubiche o litri ( $1$ L $= 1000$ cm³)

Domande frequenti

Chiediti di cosa è fatto il solido. Se due pezzi sono attaccati (un cono su un cilindro), sommi. Se qualcosa è ritagliato o vuoto (un foro, l'interno di un tubo), sottrai la parte vuota dal solido più grande.

Glossario

Solido composto: Una figura tridimensionale formata da due o più solidi semplici, o un solido semplice da cui è stata tolta una parte
Semisfera: Metà di una sfera, tagliata passando per il centro; volume $\frac{2}{3}\pi r^3$
Scomporre: Dividere una figura in parti più semplici di cui sai calcolare il volume
Cilindro cavo: Un cilindro da cui è stato tolto al centro un cilindro più piccolo, come un tubo
Capacità: Quanto può contenere un recipiente, spesso in litri o millilitri ( $1$ L $= 1000$ cm³)

Scheda formule

Parti unite

V_{\text{totale}} = V_1 + V_2 + \dots

Somma i volumi delle parti

Parte tolta

V = V_{\text{esterno}} - V_{\text{tolto}}

Sottrai il volume del foro o della parte cava

Cilindro e cono

V = \pi r^2 h

\quad V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Un cono è un terzo del cilindro con la stessa base e la stessa altezza

Sfera e semisfera

V = \frac{4}{3}\pi r^3

\quad V = \frac{2}{3}\pi r^3

Una semisfera è metà di una sfera

Prisma e piramide

V = Bh

\quad V = \frac{1}{3}Bh

$B$ è l'area di base; una piramide è un terzo del prisma con la stessa base e la stessa altezza

Cilindro cavo (tubo)

V = \pi (R^2 - r^2) h

$R$ è il raggio esterno, $r$ il raggio interno

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Definizione

Ripasso delle formule

Un metodo che funziona sempre

Esempi svolti

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Serbatoi e capsule

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Introduzione al volume

Unità di volume metriche (mL, L)

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