Volume a partire dal raggio

Un cilindro ha raggio $3$ cm e altezza $10$ cm. Calcola il suo volume in funzione di $\pi$ e poi con $\pi \approx 3{,}14$.

Scrivi la formula: $V = \pi r^2 h$ = Formula pronta

Eleva il raggio al quadrato: $r^2 = 3^2 = 9$ = $r^2 = 9$

Moltiplica per l'altezza: $V = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi$ = $V = 90\pi$ cm³ (esatto)

Usa $\pi \approx 3{,}14$: $90 \times 3{,}14 = 282{,}6$ = $V \approx 282{,}6$ cm³

Answer: $V = 90\pi$ cm³, cioè circa $282{,}6$ cm³

Attenzione: è dato il diametro

Una lattina ha un diametro di $8$ cm e un'altezza di $12$ cm. Calcola il suo volume con $\pi \approx 3{,}14$, arrotondato al cm³ intero.

Trova il raggio dal diametro: $r = 8 \div 2 = 4$ = $r = 4$ cm

Eleva il raggio al quadrato: $4^2 = 16$ = $r^2 = 16$

Moltiplica per l'altezza: $16 \times 12 = 192$ = $V = 192\pi$ cm³

Moltiplica per $3{,}14$ e arrotonda: $192 \times 3{,}14 = 602{,}88 \approx 603$ = $V \approx 603$ cm³

Answer: La lattina contiene circa $603$ cm³, cioè circa $603$ mL

Quanti litri in un serbatoio?

Un serbatoio d'acqua cilindrico ha raggio $50$ cm e altezza $120$ cm. Quanti litri contiene? Usa $\pi \approx 3{,}14$.

Eleva il raggio al quadrato: $50^2 = 2500$ = $r^2 = 2500$

Moltiplica per l'altezza: $2500 \times 120 = 300000$ = $V = 300000\pi$ cm³

Usa $\pi \approx 3{,}14$: $300000 \times 3{,}14 = 942000$ = $V \approx 942000$ cm³

Converti in litri ($1000$ cm³ $= 1$ L): $942000 \div 1000 = 942$ = $942$ L

Answer: Il serbatoio contiene circa $942$ litri

Trovare l'altezza

Un cilindro ha un volume di $471$ cm³ e un raggio di $5$ cm. Quanto è alto? Usa $\pi \approx 3{,}14$.

Calcola l'area di base: $B = 3{,}14 \times 5^2 = 3{,}14 \times 25 = 78{,}5$ = $B = 78{,}5$ cm²

Usa $V = B \times h$: $471 = 78{,}5 \times h$ = Equazione impostata

Dividi il volume per l'area di base: $h = 471 \div 78{,}5 = 6$ = $h = 6$ cm

Verifica: $78{,}5 \times 6 = 471$ = Corretto

Answer: L'altezza è $6$ cm

Trovare il raggio

Un cilindro è alto $20$ cm e ha un volume di $1004{,}8$ cm³. Qual è il suo raggio? Usa $\pi \approx 3{,}14$.

Scrivi la formula con i dati noti: $1004{,}8 = 3{,}14 \times r^2 \times 20$ = Equazione impostata

Moltiplica $\pi$ per l'altezza: $3{,}14 \times 20 = 62{,}8$ = $1004{,}8 = 62{,}8 \times r^2$

Dividi per trovare $r^2$: $r^2 = 1004{,}8 \div 62{,}8 = 16$ = $r^2 = 16$

Calcola la radice quadrata: $r = \sqrt{16} = 4$ = $r = 4$ cm

Answer: Il raggio è $4$ cm (quindi il diametro è $8$ cm)

Mistake: Usare il diametro invece del raggio

Why: La formula eleva al quadrato il raggio. Se elevi al quadrato il diametro, il risultato è 4 volte troppo grande. Per $d = 10$ cm e $h = 5$ cm, $\pi \times 10^2 \times 5 = 500\pi$ è sbagliato.

Correct: Dividi prima il diametro a metà: $r = 5$, quindi $V = \pi \times 5^2 \times 5 = 125\pi$ cm³.

Mistake: Raddoppiare il raggio invece di elevarlo al quadrato

Why: $r^2$ significa $r \times r$, non $r \times 2$. Per $r = 3$: $3^2 = 9$, non $6$.

Correct: Moltiplica sempre il raggio per se stesso: $r^2 = 3 \times 3 = 9$.

Mistake: Dividere per 100 invece che per 1000 per passare ai litri

Why: Un litro è un cubo con lo spigolo di $10$ cm, quindi contiene $10 \times 10 \times 10 = 1000$ cm³, non $100$.

Correct: $942000$ cm³ $\div 1000 = 942$ L. Ricorda: $1$ cm³ $= 1$ mL.

Mistake: Arrotondare troppo presto

Why: Se arrotondi l'area di base prima di moltiplicare per l'altezza, l'errore cresce. Per $r = 2{,}5$ cm e $h = 10$ cm, arrotondare $B = 19{,}625$ a $20$ dà $200$ cm³.

Correct: Tieni tutte le cifre fino alla fine: $19{,}625 \times 10 = 196{,}25$ cm³, e arrotonda solo il risultato finale.

Lattine per bevande

Le aziende di bevande progettano le lattine in modo che contengano una quantità fissa, come 330 mL. La formula del volume dice loro quanto deve essere alta e larga la lattina.

Una lattina con raggio $3{,}3$ cm e altezza $10$ cm contiene circa $3{,}14 \times 3{,}3^2 \times 10 \approx 342$ cm³, abbastanza per $330$ mL più un po' d'aria.

Cisterne per l'acqua piovana

Chi ha un orto raccoglie spesso l'acqua piovana in bidoni cilindrici. Il volume indica quanti litri si possono conservare per le settimane secche.

Un bidone con raggio $25$ cm e altezza $80$ cm contiene $3{,}14 \times 625 \times 80 = 157000$ cm³, cioè $157$ L.

Piscinette per bambini

Prima di riempire una piscinetta rotonda è utile sapere quanta acqua serve. Qui l'altezza è la profondità dell'acqua, non l'altezza del bordo.

Una piscina con raggio $1{,}5$ m riempita fino a $0{,}2$ m contiene $3{,}14 \times 2{,}25 \times 0{,}2 = 1{,}413$ m³, cioè $1413$ L.

Q: Perché nella formula c'è $\pi r^2$?

A: Perché $\pi r^2$ è l'area della base circolare. Il volume di ogni solido simile a un prisma è area di base per altezza, e un cilindro è come un prisma con un cerchio come base.

Q: Quando lascio il risultato in funzione di $\pi$?

A: Quando il problema chiede un risultato esatto o dice di darlo in funzione di $\pi$. Altrimenti usa $\pi \approx 3{,}14$ (o il tasto $\pi$ della calcolatrice) e arrotonda alla cifra richiesta.

Q: E se il cilindro è sdraiato?

A: Non cambia nulla. L'altezza è sempre la distanza tra le due basi circolari, quindi per un tubo o un mattarello appoggiato di lato l'altezza è la sua lunghezza.

Q: Cosa succede al volume se raddoppio il raggio?

A: Il volume diventa 4 volte più grande, perché il raggio è al quadrato: $(2r)^2 = 4r^2$. Se raddoppi solo l'altezza, il volume raddoppia.