Quando lascio il risultato in funzione di $\pi$?

Quando il problema chiede un risultato esatto o dice di darlo in funzione di $\pi$. Altrimenti usa $\pi \approx 3{,}14$ (o il tasto $\pi$ della calcolatrice) e arrotonda alla cifra richiesta.

E se il cilindro è sdraiato?

Non cambia nulla. L'altezza è sempre la distanza tra le due basi circolari, quindi per un tubo o un mattarello appoggiato di lato l'altezza è la sua lunghezza.

Cosa succede al volume se raddoppio il raggio?

Il volume diventa 4 volte più grande, perché il raggio è al quadrato: $(2r)^2 = 4r^2$. Se raddoppi solo l'altezza, il volume raddoppia.

Risorse per insegnanti

Volume dei cilindri

Q: Perché nella formula c'è $\pi r^2$?

Perché $\pi r^2$ è l'area della base circolare. Il volume di ogni solido simile a un prisma è area di base per altezza, e un cilindro è come un prisma con un cerchio come base.

Impara a calcolare il volume di un cilindro con V = πr²h, a usare il raggio invece del diametro e a convertire i cm³ in litri.

Intermedio25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Un cilindro è un solido con due basi circolari uguali e parallele, unite da una superficie curva. Pensa a una lattina, a una candela o a un serbatoio d'acqua.

Sai già che il volume di un prisma è area di base per altezza. Il cilindro funziona allo stesso modo: impila tanti cerchi sottili uno sopra l'altro fino a raggiungere l'altezza.

V = B \times h

La base è un cerchio, e l'area di un cerchio è

\pi r^2

. Quindi:

V = \pi r^2 h

Dove:

$r$ = raggio della base (dal centro al bordo)
$h$ = altezza (la distanza tra le due basi)
$\pi \approx 3{,}14$

Raggio o diametro? La formula usa il raggio. Se ti danno il diametro

d

(da un bordo all'altro passando per il centro), dividilo prima a metà:

r = d \div 2

Due modi per dare il risultato:

**In funzione di $\pi$ ** (esatto): lasci $\pi$ come simbolo, per esempio $90\pi$ cm³.
Come numero: usi $\pi \approx 3{,}14$ e arrotondi alla cifra richiesta dal problema, per esempio $90 \times 3{,}14 = 282{,}6$ cm³.

Litri:

1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}

, quindi

1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ L}

. Per i serbatoi grandi:

1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}

Prova subito

Quale formula dà il volume di un cilindro con raggio

r

e altezza

h

Esempi svolti

Un cilindro ha raggio $3$ cm e altezza $10$ cm. Calcola il suo volume in funzione di $\pi$ e poi con $\pi \approx 3{,}14$ .

Scrivi la formula

$V = \pi r^2 h$ → Formula pronta

Eleva il raggio al quadrato

$r^2 = 3^2 = 9$ → $r^2 = 9$

Moltiplica per l'altezza

$V = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi$ → $V = 90\pi$ cm³ (esatto)

Usa $\pi \approx 3{,}14$

$90 \times 3{,}14 = 282{,}6$ → $V \approx 282{,}6$ cm³

Risposta: $V = 90\pi$ cm³, cioè circa $282{,}6$ cm³

Errori comuni

Usare il diametro invece del raggio

Perché è sbagliato: La formula eleva al quadrato il raggio. Se elevi al quadrato il diametro, il risultato è 4 volte troppo grande. Per $d = 10$ cm e $h = 5$ cm, $\pi \times 10^2 \times 5 = 500\pi$ è sbagliato.

Corretto: Dividi prima il diametro a metà: $r = 5$ , quindi $V = \pi \times 5^2 \times 5 = 125\pi$ cm³.

Raddoppiare il raggio invece di elevarlo al quadrato

Perché è sbagliato: $r^2$ significa $r \times r$ , non $r \times 2$ . Per $r = 3$ : $3^2 = 9$ , non $6$ .

Corretto: Moltiplica sempre il raggio per se stesso: $r^2 = 3 \times 3 = 9$ .

Dividere per 100 invece che per 1000 per passare ai litri

Perché è sbagliato: Un litro è un cubo con lo spigolo di $10$ cm, quindi contiene $10 \times 10 \times 10 = 1000$ cm³, non $100$ .

Corretto: $942000$ cm³ $\div 1000 = 942$ L. Ricorda: $1$ cm³ $= 1$ mL.

Arrotondare troppo presto

Perché è sbagliato: Se arrotondi l'area di base prima di moltiplicare per l'altezza, l'errore cresce. Per $r = 2{,}5$ cm e $h = 10$ cm, arrotondare $B = 19{,}625$ a $20$ dà $200$ cm³.

Corretto: Tieni tutte le cifre fino alla fine: $19{,}625 \times 10 = 196{,}25$ cm³, e arrotonda solo il risultato finale.

Visuale interattivo

Visualizzatore 3D

Rotazione X (20°)

Rotazione Y (30°)

Raggio (3)

Altezza (10)

Facce

Spigoli

Vertici

Volume

V = πr²h

V = π · 3² · 10 = 90π ≈ 282,74

282,74 cm³

Area di superficie

SA = 2πr² + 2πrh

SA = 2π · 3² + 2π · 3 · 10 = 78π ≈ 245,04

245,04 cm²

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale formula dà il volume di un cilindro con raggio $r$ e altezza $h$ ?

Perché è importante

I cilindri sono ovunque, e il loro volume ti dice quanto possono contenere:

Bevande e cibo: quanti millilitri stanno in una lattina, in una bottiglia o in un bicchiere?
Serbatoi e cisterne per la pioggia: quanti litri puoi conservare in giardino?
Piscine: quanta acqua serve per riempire una piscinetta rotonda?
Ingegneria: i cilindri del motore, i tubi e i silos si calcolano tutti con $V = \pi r^2 h$ .
Cucina: una tortiera rotonda non contiene la stessa quantità di una teglia quadrata.

Con una sola formula puoi rispondere a tutte queste domande, e puoi anche fare il calcolo al contrario per trovare quanto deve essere alto o largo un contenitore.

Applicazioni nel mondo reale

Lattine per bevande

Le aziende di bevande progettano le lattine in modo che contengano una quantità fissa, come 330 mL. La formula del volume dice loro quanto deve essere alta e larga la lattina.

Esempio:

Una lattina con raggio $3{,}3$ cm e altezza $10$ cm contiene circa $3{,}14 \times 3{,}3^2 \times 10 \approx 342$ cm³, abbastanza per $330$ mL più un po' d'aria.

1Provaci tu stesso

Una lattina di succo è un cilindro con raggio $3$ cm e altezza $12$ cm.

Quanti millilitri contiene? Usa $\pi \approx 3{,}14$ .

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica $3{,}14$ per il quadrato del raggio e per l'altezza:

Cisterne per l'acqua piovana

Chi ha un orto raccoglie spesso l'acqua piovana in bidoni cilindrici. Il volume indica quanti litri si possono conservare per le settimane secche.

Esempio:

Un bidone con raggio $25$ cm e altezza $80$ cm contiene $3{,}14 \times 625 \times 80 = 157000$ cm³, cioè $157$ L.

2Provaci tu stesso

Un bidone per l'acqua piovana ha un diametro di $60$ cm e un'altezza di $90$ cm.

Quanti litri d'acqua può contenere? Usa $\pi \approx 3{,}14$ .

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dividi il diametro a metà, usa $V = \pi r^2 h$ e dividi per $1000$ :

Piscinette per bambini

Prima di riempire una piscinetta rotonda è utile sapere quanta acqua serve. Qui l'altezza è la profondità dell'acqua, non l'altezza del bordo.

Esempio:

Una piscina con raggio $1{,}5$ m riempita fino a $0{,}2$ m contiene $3{,}14 \times 2{,}25 \times 0{,}2 = 1{,}413$ m³, cioè $1413$ L.

3Provaci tu stesso

Una piscinetta rotonda ha un diametro di $2$ m. La riempi d'acqua fino a una profondità di $0{,}4$ m.

Quanti litri d'acqua ti servono? Usa $\pi \approx 3{,}14$ e $1$ m³ $= 1000$ L.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa il raggio in metri, poi converti i m³ in litri:

Punti chiave

1Un cilindro ha due basi circolari uguali, e il suo volume è area di base per altezza: $V = B \times h$
2Poiché la base è un cerchio, $V = \pi r^2 h$
3La formula usa il raggio: se ti danno il diametro, dividilo prima per $2$
4Dai il risultato in funzione di $\pi$ (esatto, come $90\pi$ cm³) oppure usa $\pi \approx 3{,}14$ e arrotonda solo alla fine
5Per trovare l'altezza, dividi il volume per l'area di base: $h = V \div (\pi r^2)$ ; per il raggio, trova prima $r^2$ e poi calcola la radice quadrata
6 $1$ cm³ $= 1$ mL, $1000$ cm³ $= 1$ L e $1$ m³ $= 1000$ L

Domande frequenti

Perché

\pi r^2

è l'area della base circolare. Il volume di ogni solido simile a un prisma è area di base per altezza, e un cilindro è come un prisma con un cerchio come base.

Glossario

Cilindro: Un solido con due basi circolari uguali e parallele, unite da una superficie curva
Base: Uno dei due cerchi alle estremità del cilindro; la sua area è $B = \pi r^2$
Raggio: La distanza dal centro della base al suo bordo ( $r$ )
Diametro: La distanza da un bordo all'altro della base passando per il centro; è il doppio del raggio ( $d = 2r$ )
Altezza: La distanza tra le due basi del cilindro ( $h$ )
Pi greco ( $\pi$ ): Il numero che si ottiene dividendo la lunghezza di una circonferenza per il suo diametro, circa $3{,}14$

Scheda formule

Volume del cilindro

V = \pi r^2 h

Pi greco per il raggio al quadrato per l'altezza

Area di base per altezza

V = B \times h

, con

B = \pi r^2

La stessa regola dei prismi

Raggio dal diametro

r = d \div 2

Dividi sempre il diametro a metà prima di usare la formula

Altezza mancante

h = V \div (\pi r^2)

Dividi il volume per l'area di base

Litri

1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ L}

Dividi i cm³ per 1000 per ottenere i litri ($1$ cm³ $= 1$ mL)

Altro su questo argomento

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Visuale interattivo

Visualizzatore 3D

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Cronologia

Esercizi pratici

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Lattine per bevande

Cisterne per l'acqua piovana

Piscinette per bambini

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Volume del cilindro

Area di base per altezza

Raggio dal diametro

Altezza mancante

Litri

Altro su questo argomento

Introduzione al volume

Unità di volume metriche (mL, L)

Volume dei parallelepipedi rettangoli

Unità di volume imperiali (tazza, pinta, gallone)