Volume di una palla

Una palla ha un raggio di $3$ cm. Calcola il suo volume in funzione di $\pi$, poi con $\pi \approx 3{,}14$, arrotondando ai centesimi.

Scrivi la formula: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ = Formula pronta

Eleva il raggio al cubo: $r^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ = $r^3 = 27$

Moltiplica per $\frac{4}{3}$: $\frac{4}{3} \times 27 = \frac{108}{3} = 36$ = $V = 36\pi$ cm³

Sostituisci $\pi$ con $3{,}14$: $36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ = $V \approx 113{,}04$ cm³

Answer: Il volume è $36\pi$ cm³, cioè circa $113{,}04$ cm³.

Partire dal diametro

Un mappamondo ha un diametro di $12$ cm. Calcola il suo volume in funzione di $\pi$, poi con $\pi \approx 3{,}14$, arrotondando ai centesimi.

Trova il raggio (metà del diametro): $r = 12 \div 2 = 6$ = $r = 6$ cm

Eleva il raggio al cubo: $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$ = $r^3 = 216$

Moltiplica per $\frac{4}{3}$: $216 \div 3 = 72$, poi $72 \times 4 = 288$ = $V = 288\pi$ cm³

Sostituisci $\pi$ con $3{,}14$: $288 \times 3{,}14 = 904{,}32$ = $V \approx 904{,}32$ cm³

Answer: Il mappamondo ha un volume di $288\pi$ cm³, circa $904{,}32$ cm³. Usando $12$ come raggio otterresti un volume $8$ volte troppo grande!

Volume di una semisfera

Una ciotola ha la forma di una semisfera con raggio interno di $6$ cm. Quanta zuppa può contenere? Usa $\pi \approx 3{,}14$ e arrotonda ai centesimi.

Scrivi la formula della semisfera (metà sfera): $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ = Formula pronta

Eleva il raggio al cubo: $6^3 = 216$ = $r^3 = 216$

Moltiplica per $\frac{2}{3}$: $216 \div 3 = 72$, poi $72 \times 2 = 144$ = $V = 144\pi$ cm³

Sostituisci $\pi$ con $3{,}14$ e converti in mL ($1$ cm³ $= 1$ mL): $144 \times 3{,}14 = 452{,}16$ = $V \approx 452{,}16$ cm³ $\approx 452$ mL

Answer: La ciotola contiene $144\pi$ cm³, circa $452{,}16$ cm³, cioè più o meno $452$ mL di zuppa. Verifica: è esattamente metà del mappamondo dell'esempio 2 ($288\pi \div 2 = 144\pi$).

Ricavare il raggio dal volume

Una sfera ha un volume di $4500\pi$ cm³. Qual è il suo raggio?

Uguaglia la formula al volume: $\frac{4}{3}\pi r^3 = 4500\pi$ = Equazione pronta

Dividi entrambi i membri per $\pi$: $\frac{4}{3} r^3 = 4500$ = $\pi$ è sparito

Moltiplica entrambi i membri per $\frac{3}{4}$: $r^3 = 4500 \times \frac{3}{4} = 3375$ = $r^3 = 3375$

Calcola la radice cubica (quale numero moltiplicato tre volte per sé stesso dà $3375$?): $15 \times 15 \times 15 = 3375$ = $r = 15$ cm

Answer: Il raggio è $15$ cm. Verifica: $\frac{4}{3} \times 15^3 = \frac{4}{3} \times 3375 = 4500$, quindi $V = 4500\pi$ cm³.

Archimede: la sfera nel cilindro

Una palla di raggio $3$ cm entra esattamente in un barattolo: il barattolo ha raggio $3$ cm e altezza $6$ cm. Quale frazione del barattolo occupa la palla?

Volume del barattolo (cilindro): $V = \pi r^2 h$: $\pi \times 3^2 \times 6 = \pi \times 9 \times 6$ = $V_{\text{barattolo}} = 54\pi$ cm³

Volume della palla: $\frac{4}{3} \times 27 = 36$ = $V_{\text{palla}} = 36\pi$ cm³

Confronta i due volumi: $\frac{36\pi}{54\pi} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$ = La palla occupa i $\frac{2}{3}$ del barattolo

Answer: La palla occupa i $\frac{2}{3}$ del barattolo e $\frac{1}{3}$ (qui $18\pi$ cm³) resta vuoto. Vale per ogni sfera nel cilindro che la contiene: è la scoperta di Archimede.

Mistake: Usare il diametro al posto del raggio

Why: La formula richiede il raggio. Una sfera con diametro $10$ cm ha raggio $5$ cm. Con $10$, $r^3$ vale $1000$ invece di $125$, quindi il risultato è $8$ volte troppo grande.

Correct: Dimezza sempre prima il diametro: $r = \frac{d}{2}$. Poi eleva $r$ al cubo.

Mistake: Elevare il raggio al quadrato invece che al cubo

Why: L'area del cerchio usa $r^2$, quindi è facile scrivere $r^2$ per abitudine. Ma il volume è tridimensionale e ha bisogno di tre fattori $r$.

Correct: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, quindi per $r = 3$: $r^3 = 27$, non $9$. L'unità è cm³, non cm².

Mistake: Dimezzare il raggio per una semisfera invece di dimezzare il volume

Why: Una semisfera ha lo stesso raggio della sfera intera. Solo il volume si dimezza. Dimezzando il raggio, il volume diventa $8$ volte più piccolo, non $2$ volte.

Correct: Semisfera: tieni $r$ e usa $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (metà di $\frac{4}{3}\pi r^3$).

Mistake: Dividere per $3$ invece di calcolare la radice cubica per trovare $r$

Why: Quando arrivi a $r^3 = 216$, il raggio non è $216 \div 3 = 72$. $r^3$ significa $r \times r \times r$, quindi serve il numero che, moltiplicato tre volte per sé stesso, dà $216$.

Correct: $r = \sqrt[3]{216} = 6$, perché $6 \times 6 \times 6 = 216$. Impara i cubi $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$.

Palloni sportivi

Chi produce palloni usa la formula della sfera per sapere quanta aria contiene un pallone e quanto materiale serve al suo interno.

Una pallina da tennis ha un diametro di circa $6{,}6$ cm, quindi $r = 3{,}3$ cm. Il suo volume è circa $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 3{,}3^3 \approx 150$ cm³.

Pianeti e spazio

I pianeti sono quasi sfere perfette. Dato che il raggio è al cubo, un pianeta con un raggio più grande ha un volume molto, molto più grande.

Il raggio della Terra è circa $6371$ km, quindi il suo volume è circa $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 6371^3 \approx 1{,}08 \times 10^{12}$ km³ (più di mille miliardi di chilometri cubi).

Palline di gelato e bolle di sapone

Un porzionatore per gelato fa palline tutte uguali, e una bolla di sapone è una pellicola sottile attorno a una sfera d'aria. In entrambi i casi è un volume di sfera.

Una bolla di sapone di raggio $5$ cm contiene circa $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 125 \approx 523{,}33$ cm³ d'aria, più o meno mezzo litro.

Q: Da dove viene il $\frac{4}{3}$?

A: Dalla scoperta di Archimede. Il cilindro che contiene esattamente una sfera ha raggio $r$ e altezza $2r$, quindi il suo volume è $\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$. La sfera ne occupa i $\frac{2}{3}$: $\frac{2}{3} \times 2\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Q: Devo lasciare il risultato in funzione di $\pi$ o usare $3{,}14$?

A: Fai quello che chiede il problema. Un risultato come $36\pi$ cm³ è esatto. Con $3{,}14$ ottieni un valore decimale approssimato ($113{,}04$ cm³). Con il tasto $\pi$ della calcolatrice il risultato è un po' diverso ($113{,}10$ cm³), quindi indica sempre quale valore di $\pi$ hai usato e come hai arrotondato.

Q: Come trovo il raggio se conosco il volume?

A: Disfa la formula passo dopo passo: dividi il volume per $\pi$, moltiplica per $\frac{3}{4}$ per ottenere $r^3$, poi calcola la radice cubica. Per $V = 288\pi$: $288 \times \frac{3}{4} = 216$ e $\sqrt[3]{216} = 6$, quindi $r = 6$.

Q: Se raddoppio il raggio, il volume raddoppia?

A: No, diventa $8$ volte più grande, perché $2^3 = 8$. Triplicando il raggio, il volume diventa $27$ volte più grande ($3^3 = 27$). Ecco perché un pallone da spiaggia contiene molta più aria di una pallina da tennis.