Devo lasciare il risultato in funzione di $\pi$ o usare $3{,}14$?

Fai quello che chiede il problema. Un risultato come $36\pi$ cm³ è esatto. Con $3{,}14$ ottieni un valore decimale approssimato ($113{,}04$ cm³). Con il tasto $\pi$ della calcolatrice il risultato è un po' diverso ($113{,}10$ cm³), quindi indica sempre quale valore di $\pi$ hai usato e come hai arrotondato.

Come trovo il raggio se conosco il volume?

Disfa la formula passo dopo passo: dividi il volume per $\pi$, moltiplica per $\frac{3}{4}$ per ottenere $r^3$, poi calcola la radice cubica. Per $V = 288\pi$: $288 \times \frac{3}{4} = 216$ e $\sqrt[3]{216} = 6$, quindi $r = 6$.

Se raddoppio il raggio, il volume raddoppia?

No, diventa $8$ volte più grande, perché $2^3 = 8$. Triplicando il raggio, il volume diventa $27$ volte più grande ($3^3 = 27$). Ecco perché un pallone da spiaggia contiene molta più aria di una pallina da tennis.

Risorse per insegnanti

Volume delle sfere

Impara a calcolare il volume di una sfera e di una semisfera con V = (4/3)πr³ e a ricavare il raggio dal volume.

Intermedio25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Una sfera è una figura 3D perfettamente rotonda, come una palla. Ogni punto della sua superficie è alla stessa distanza dal centro. Questa distanza è il raggio

r

. Il diametro

d

passa per il centro, quindi

d = 2r

r = \frac{d}{2}

Il volume di una sfera (lo spazio al suo interno) è:

V = \frac{4}{3}\pi r^3

Il raggio è al cubo (

r^3 = r \times r \times r

), perché il volume si misura in unità cubiche come cm³ o m³.

Una semisfera è esattamente metà di una sfera, quindi il suo volume è la metà:

V_{\text{semisfera}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3

Puoi dare il risultato in due modi:

In funzione di π: tieni il simbolo, per esempio $V = 36\pi$ cm³ (è il valore esatto).
Come numero decimale: usi $\pi \approx 3{,}14$ e arrotondi come chiede il problema, per esempio $36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ cm³.

Prova subito

Quale formula dà il volume di una sfera di raggio

r

Esempi svolti

Una palla ha un raggio di $3$ cm. Calcola il suo volume in funzione di $\pi$ , poi con $\pi \approx 3{,}14$ , arrotondando ai centesimi.

Scrivi la formula

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ → Formula pronta

Eleva il raggio al cubo

$r^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ → $r^3 = 27$

Moltiplica per $\frac{4}{3}$

$\frac{4}{3} \times 27 = \frac{108}{3} = 36$ → $V = 36\pi$ cm³

Sostituisci $\pi$ con $3{,}14$

$36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ → $V \approx 113{,}04$ cm³

Risposta: Il volume è $36\pi$ cm³, cioè circa $113{,}04$ cm³.

Errori comuni

Usare il diametro al posto del raggio

Perché è sbagliato: La formula richiede il raggio. Una sfera con diametro $10$ cm ha raggio $5$ cm. Con $10$ , $r^3$ vale $1000$ invece di $125$ , quindi il risultato è $8$ volte troppo grande.

Corretto: Dimezza sempre prima il diametro: $r = \frac{d}{2}$ . Poi eleva $r$ al cubo.

Elevare il raggio al quadrato invece che al cubo

Perché è sbagliato: L'area del cerchio usa $r^2$ , quindi è facile scrivere $r^2$ per abitudine. Ma il volume è tridimensionale e ha bisogno di tre fattori $r$ .

Corretto: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , quindi per $r = 3$ : $r^3 = 27$ , non $9$ . L'unità è cm³, non cm².

Dimezzare il raggio per una semisfera invece di dimezzare il volume

Perché è sbagliato: Una semisfera ha lo stesso raggio della sfera intera. Solo il volume si dimezza. Dimezzando il raggio, il volume diventa $8$ volte più piccolo, non $2$ volte.

Corretto: Semisfera: tieni $r$ e usa $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (metà di $\frac{4}{3}\pi r^3$ ).

Dividere per $3$ invece di calcolare la radice cubica per trovare $r$

Perché è sbagliato: Quando arrivi a $r^3 = 216$ , il raggio non è $216 \div 3 = 72$ . $r^3$ significa $r \times r \times r$ , quindi serve il numero che, moltiplicato tre volte per sé stesso, dà $216$ .

Corretto: $r = \sqrt[3]{216} = 6$ , perché $6 \times 6 \times 6 = 216$ . Impara i cubi $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$ .

Visuale interattivo

Visualizzatore 3D

Seleziona forma

Rotazione X (20°)

Rotazione Y (30°)

Raggio (3)

Facce

Spigoli

Vertici

Volume

V = ⁴⁄₃πr³

V = ⁴⁄₃π · 3³ = 36π ≈ 113,1

113,1 cm³

Area di superficie

SA = 4πr²

SA = 4π · 3² = 36π ≈ 113,1

113,1 cm²

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Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale formula dà il volume di una sfera di raggio $r$ ?

Perché è importante

Gli oggetti rotondi sono ovunque, e il loro volume ti dice quanto possono contenere o quanto materiale serve:

Sport: quanta aria c'è in un pallone da calcio, in un pallone da basket o in una pallina da tennis
Cibo: quanto gelato c'è in una pallina, o quante palline escono da una vaschetta
Scienze: le bolle di sapone, le gocce di pioggia e le goccioline d'acqua sono quasi sfere perfette
Spazio: pianeti e stelle sono quasi sferici, quindi gli astronomi confrontano le loro dimensioni con questa formula
Ingegneria: i serbatoi di gas sferici e le cupole (semisfere) si progettano con questi volumi

Circa 2200 anni fa, Archimede scoprì che una sfera occupa esattamente i

\frac{2}{3}

del cilindro che la contiene. Ne era così orgoglioso che chiese di far incidere una sfera e un cilindro sulla sua tomba!

Applicazioni nel mondo reale

Palloni sportivi

Chi produce palloni usa la formula della sfera per sapere quanta aria contiene un pallone e quanto materiale serve al suo interno.

Esempio:

Una pallina da tennis ha un diametro di circa $6{,}6$ cm, quindi $r = 3{,}3$ cm. Il suo volume è circa $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 3{,}3^3 \approx 150$ cm³.

1Provaci tu stesso

Un pallone da pallamano ha un diametro di $18$ cm.

Qual è il suo volume? Usa $\pi \approx 3{,}14$ e arrotonda ai centesimi.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dimezza il diametro, eleva il raggio al cubo, moltiplica per $\frac{4}{3}$ e per $3{,}14$ :

Pianeti e spazio

I pianeti sono quasi sfere perfette. Dato che il raggio è al cubo, un pianeta con un raggio più grande ha un volume molto, molto più grande.

Esempio:

Il raggio della Terra è circa $6371$ km, quindi il suo volume è circa $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 6371^3 \approx 1{,}08 \times 10^{12}$ km³ (più di mille miliardi di chilometri cubi).

2Provaci tu stesso

Il raggio di Giove è circa $11$ volte il raggio della Terra.

Circa quante Terre entrerebbero in Giove, in volume (se potessi fonderle e versarle dentro)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Se il raggio viene moltiplicato per $11$ , il volume viene moltiplicato per $11^3$ :

Palline di gelato e bolle di sapone

Un porzionatore per gelato fa palline tutte uguali, e una bolla di sapone è una pellicola sottile attorno a una sfera d'aria. In entrambi i casi è un volume di sfera.

Esempio:

Una bolla di sapone di raggio $5$ cm contiene circa $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 125 \approx 523{,}33$ cm³ d'aria, più o meno mezzo litro.

3Provaci tu stesso

Una vaschetta contiene $2$ litri ( $2000$ cm³) di gelato. Ogni pallina è una sfera di raggio $3$ cm.

Quante palline intere puoi servire? Usa $\pi \approx 3{,}14$ .

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dividi il volume della vaschetta per il volume di una pallina:

Punti chiave

1Il volume di una sfera è $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , dove $r$ è il raggio
2Se ti danno il diametro, prima dimezzalo: $r = \frac{d}{2}$
3Una semisfera è metà sfera: $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (stesso raggio, metà volume)
4Dai i risultati esatti in funzione di $\pi$ (come $36\pi$ cm³) oppure usa $\pi \approx 3{,}14$ e arrotonda come richiesto
5Per trovare $r$ da $V$ : dividi per $\pi$ , moltiplica per $\frac{3}{4}$ , poi calcola la radice cubica
6Una sfera occupa esattamente i $\frac{2}{3}$ del cilindro che la contiene (Archimede)

Domande frequenti

Dalla scoperta di Archimede. Il cilindro che contiene esattamente una sfera ha raggio

r

e altezza

2r

, quindi il suo volume è

\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3

. La sfera ne occupa i

\frac{2}{3}

\frac{2}{3} \times 2\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3

Glossario

Sfera: Una figura 3D perfettamente rotonda in cui ogni punto della superficie è alla stessa distanza dal centro
Raggio ( $r$ ): La distanza dal centro di una sfera alla sua superficie
Diametro ( $d$ ): La distanza da una parte all'altra della sfera passando per il centro; $d = 2r$
Semisfera: Esattamente metà di una sfera, tagliata passando per il centro; il suo volume è $\frac{2}{3}\pi r^3$
Radice cubica: Il numero che, moltiplicato tre volte per sé stesso, dà un valore; $\sqrt[3]{27} = 3$
In funzione di $\pi$: Un risultato esatto che mantiene il simbolo $\pi$ , come $36\pi$ cm³

Scheda formule

Volume delle sfere

V = \frac{4}{3}\pi r^3

Quattro terzi per pi greco per il raggio al cubo

Volume della semisfera

V = \frac{2}{3}\pi r^3

Metà del volume della sfera con lo stesso raggio

Raggio dal diametro

r = \frac{d}{2}

Dimezza il diametro prima di usare la formula

Raggio dal volume

r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}

Dividi per pi greco, moltiplica per 3/4, poi calcola la radice cubica

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Visualizzatore 3D

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Perché è importante

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Palloni sportivi

Pianeti e spazio

Palline di gelato e bolle di sapone

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Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Volume delle sfere

Volume della semisfera

Raggio dal diametro

Raggio dal volume

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Introduzione al volume

Unità di volume metriche (mL, L)

Volume dei parallelepipedi rettangoli

Unità di volume imperiali (tazza, pinta, gallone)