Controllare 3 e 9 con la somma delle cifre

$516$ è divisibile per $3$? È divisibile per $9$?

Somma tutte le cifre: $5 + 1 + 6 = 12$ = Somma delle cifre: $12$

Controlla la somma per il 3: $12 \div 3 = 4$, senza resto = $516$ è divisibile per $3$: $516 \div 3 = 172$

Controlla la somma per il 9: $12 \div 9 = 1$ resto $3$ = $516$ non è divisibile per $9$

Answer: $516$ è divisibile per $3$ ($516 \div 3 = 172$) ma non per $9$, perché la somma delle sue cifre $12$ è multiplo di $3$ ma non di $9$.

Un numero grande: somma delle cifre ripetuta

$987.654$ è divisibile per $3$? È divisibile per $9$?

Somma tutte e sei le cifre: $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39$ = Prima somma: $39$

La somma è ancora grande, quindi somma le sue cifre: $3 + 9 = 12$ = Seconda somma: $12$

Ancora una volta, fino a una sola cifra: $1 + 2 = 3$ = Cifra finale: $3$

Leggi il risultato: $3$ è divisibile per $3$ ma non è $9$ = Divisibile per $3$, non per $9$

Answer: $987.654$ è divisibile per $3$ ($987.654 \div 3 = 329.218$) ma non per $9$.

Perché il criterio funziona

Mostra perché $4527$ è divisibile per $9$ esattamente quando lo è $4 + 5 + 2 + 7$.

Scrivi il numero con il valore posizionale: $4527 = 4 \times 1000 + 5 \times 100 + 2 \times 10 + 7$ = Migliaia, centinaia, decine, unità

Dividi ogni valore posizionale in nove più 1: $1000 = 999 + 1, \; 100 = 99 + 1, \; 10 = 9 + 1$ = $4527 = 4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 + (4 + 5 + 2 + 7)$

Guarda la prima parte: $4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 = 3996 + 495 + 18 = 4509$ = $4509 = 9 \times 501$, sempre un multiplo di $9$

Resta da controllare solo la somma delle cifre: $4527 = 4509 + 18$ e $18 = 9 \times 2$ = $4527 = 9 \times 503$

Answer: Le parti con $999$, $99$ e $9$ sono sempre multipli di $9$ (e di $3$), quindi decide solo la somma delle cifre. Poiché $18$ è divisibile per $9$, lo è anche $4527$.

Trovare una cifra mancante

Quali cifre possono andare nella casella perché $52\square4$ sia divisibile per $3$? Quale lo rende divisibile per $9$?

Somma le cifre che conosci: $5 + 2 + 4 = 11$ = Somma nota: $11$

Elenca i multipli di 3 che puoi raggiungere con una cifra (da 0 a 9): $11 + \square$ può essere $12$, $15$ o $18$ = $\square = 1$, $4$ o $7$

Ora cerca un multiplo di 9: Tra $11$ e $20$ l'unico multiplo di $9$ è $18$ = $\square = 7$

Controlla con una divisione: $5274 \div 9 = 586$ = Nessun resto

Answer: Per il $3$ la casella può contenere $1$, $4$ o $7$ ($5214$, $5244$, $5274$). Solo il $7$ lo rende anche divisibile per $9$: $5274 = 9 \times 586$.

Prova del nove: controllare un'addizione

Mia ha calcolato $2345 + 1678$ e ha ottenuto $4023$. Usa le somme delle cifre per controllare il risultato.

Riduci il primo numero a una cifra: $2 + 3 + 4 + 5 = 14 \rightarrow 1 + 4 = 5$ = $2345$ dà resto $5$ nella divisione per $9$

Riduci il secondo numero: $1 + 6 + 7 + 8 = 22 \rightarrow 2 + 2 = 4$ = $1678$ dà resto $4$

Somma i due resti: $5 + 4 = 9$, e $9$ conta come resto $0$ = La somma dovrebbe dare resto $0$

Riduci il risultato di Mia: $4 + 0 + 2 + 3 = 9$, resto $0$ = I due lati coincidono

Answer: Entrambi i controlli danno resto $0$, quindi il risultato $4023$ supera la prova. Se avesse scritto $4013$, la prova darebbe $8$ e mostrerebbe subito che c'è un errore.

Mistake: Guardare l'ultima cifra, come per 2, 5 e 10

Why: L'ultima cifra non dice nulla su 3 o 9. $23$ finisce con $3$ ma non è divisibile per $3$, mentre $27$ finisce con $7$ ed è divisibile per $3$ e per $9$.

Correct: Somma sempre tutte le cifre: $2 + 7 = 9$, quindi $27$ è divisibile per $3$ e per $9$.

Mistake: Pensare che ogni numero divisibile per 3 sia anche divisibile per 9

Why: Il criterio per $9$ è più severo. Una somma delle cifre di $12$ o $15$ è multiplo di $3$ ma non di $9$.

Correct: $516$ (somma $12$) è divisibile per $3$ ma non per $9$. Al contrario funziona sempre: ogni multiplo di $9$ è multiplo di $3$.

Mistake: Fermarsi alla prima cifra che va bene in un indovinello con cifra mancante

Why: Per il $3$ di solito vanno bene tre o quattro cifre, perché i multipli di $3$ distano solo $3$ l'uno dall'altro.

Correct: Per $52\square4$ e il $3$, prova $12$, $15$ e $18$: la casella può contenere $1$, $4$ o $7$.

Mistake: Credere che una prova del nove riuscita dimostri che il risultato è giusto

Why: La prova del nove trova solo alcuni errori. Scambiare due cifre non cambia la somma delle cifre, quindi $4032$ supera la stessa prova di $4023$.

Correct: Se la prova non torna, il risultato è sicuramente sbagliato. Se torna, probabilmente è giusto, ma non è certo.

Formare squadre uguali

Allenatori e insegnanti devono spesso dividere un gruppo in squadre uguali. La somma delle cifre dice subito se è possibile.

$135$ corridori possono partire in $9$ gruppi uguali? $1 + 3 + 5 = 9$, quindi sì: $135 \div 9 = 15$ corridori per gruppo.

Controllare un conto

Prima delle calcolatrici, negozianti e contabili controllavano le lunghe addizioni con le somme delle cifre. È ancora un modo veloce per scoprire una svista nei tuoi calcoli.

$1236 + 2458 = 3694$: i resti sono $3$ e $1$, che sommati fanno $4$, e anche $3694$ dà $3 + 6 + 9 + 4 = 22 \rightarrow 4$. La prova torna.

Decifrare un codice

I libri di enigmi e le escape room adorano i codici con una cifra mancante. Un indizio di divisibilità dà spesso la risposta in un passo.

Un codice $7\square2$ è divisibile per $9$: $7 + 2 = 9$, quindi nella casella ci deve essere $0$ o $9$ ($702$ o $792$).

Q: Conta l'ordine delle cifre?

A: No. $4527$, $7254$ e $2745$ hanno tutti somma delle cifre $18$, quindi tutti e tre sono divisibili per $9$. Spostare le cifre non cambia mai la loro somma.

Q: E la cifra 0?

A: Uno $0$ non aggiunge nulla alla somma delle cifre, quindi puoi saltarlo. $3051$ e $351$ hanno la stessa somma delle cifre $9$, e sono entrambi divisibili per $9$.

Q: Perché il trucco non funziona per il 7?

A: Funziona per $3$ e $9$ perché $10$ è esattamente $1$ in più di un multiplo di $9$. Per il $7$ non è così ($10 = 7 + 3$), quindi i valori posizionali non spariscono. Il $7$ ha bisogno di un altro criterio.

Q: Come ricavo il resto dalla somma delle cifre?

A: Riduci il numero a una sola cifra. Per il $9$ quella cifra è il resto, tranne che $9$ significa resto $0$. Per esempio $7654 \rightarrow 22 \rightarrow 4$, e infatti $7654 = 9 \times 850 + 4$.