Uno $0$ non aggiunge nulla alla somma delle cifre, quindi puoi saltarlo. $3051$ e $351$ hanno la stessa somma delle cifre $9$, e sono entrambi divisibili per $9$.

Perché il trucco non funziona per il 7?

Funziona per $3$ e $9$ perché $10$ è esattamente $1$ in più di un multiplo di $9$. Per il $7$ non è così ($10 = 7 + 3$), quindi i valori posizionali non spariscono. Il $7$ ha bisogno di un altro criterio.

Come ricavo il resto dalla somma delle cifre?

Riduci il numero a una sola cifra. Per il $9$ quella cifra è il resto, tranne che $9$ significa resto $0$. Per esempio $7654 \rightarrow 22 \rightarrow 4$, e infatti $7654 = 9 \times 850 + 4$.

Risorse per insegnanti

Divisibilità per 3 e 9

Q: Conta l'ordine delle cifre?

No. $4527$, $7254$ e $2745$ hanno tutti somma delle cifre $18$, quindi tutti e tre sono divisibili per $9$. Spostare le cifre non cambia mai la loro somma.

Impara il criterio della somma delle cifre: somma le cifre di un numero per capire subito se è divisibile per 3 o per 9, trova le cifre mancanti e controlla le addizioni.

Elementare20 minLezione

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Definizione

Per capire se un numero è divisibile per 3 o divisibile per 9, l'ultima cifra non serve. Invece, sommi tutte le sue cifre. Questo totale si chiama somma delle cifre.

Il criterio per 3

Un numero è divisibile per

3

quando la somma delle sue cifre è divisibile per

3

516: \quad 5 + 1 + 6 = 12, \quad 12 \div 3 = 4 \quad \checkmark \quad (516 \div 3 = 172)

Il criterio per 9

Un numero è divisibile per

9

quando la somma delle sue cifre è divisibile per

9

4527: \quad 4 + 5 + 2 + 7 = 18, \quad 18 \div 9 = 2 \quad \checkmark \quad (4527 \div 9 = 503)

Numeri grandi: somma di nuovo

Se la somma delle cifre è ancora grande, somma di nuovo le sue cifre finché resta una sola cifra:

987.654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3

L'ultima cifra che ottieni dice tutto:

3

6

9

significa divisibile per

3

, e solo

9

significa divisibile per

9

Il 9 è più severo del 3

Ogni numero divisibile per

9

è anche divisibile per

3

(perché

9 = 3 \times 3

). Il contrario non è vero:

516

è divisibile per

3

, ma la somma delle sue cifre

12

non è divisibile per

9

, quindi

516

non è divisibile per

9

Prova subito

Quale numero è divisibile per

3

Esempi svolti

516

è divisibile per

3

? È divisibile per

9

Somma tutte le cifre

5 + 1 + 6 = 12

→ Somma delle cifre:

12

Controlla la somma per il 3

12 \div 3 = 4

, senza resto →

516

è divisibile per

3

516 \div 3 = 172

Controlla la somma per il 9

12 \div 9 = 1

resto

3

→

516

non è divisibile per

9

Risposta: $516$ è divisibile per $3$ ( $516 \div 3 = 172$ ) ma non per $9$ , perché la somma delle sue cifre $12$ è multiplo di $3$ ma non di $9$ .

Errori comuni

Guardare l'ultima cifra, come per 2, 5 e 10

Perché è sbagliato: L'ultima cifra non dice nulla su 3 o 9. $23$ finisce con $3$ ma non è divisibile per $3$ , mentre $27$ finisce con $7$ ed è divisibile per $3$ e per $9$ .

Corretto: Somma sempre tutte le cifre: $2 + 7 = 9$ , quindi $27$ è divisibile per $3$ e per $9$ .

Pensare che ogni numero divisibile per 3 sia anche divisibile per 9

Perché è sbagliato: Il criterio per $9$ è più severo. Una somma delle cifre di $12$ o $15$ è multiplo di $3$ ma non di $9$ .

Corretto: $516$ (somma $12$ ) è divisibile per $3$ ma non per $9$ . Al contrario funziona sempre: ogni multiplo di $9$ è multiplo di $3$ .

Fermarsi alla prima cifra che va bene in un indovinello con cifra mancante

Perché è sbagliato: Per il $3$ di solito vanno bene tre o quattro cifre, perché i multipli di $3$ distano solo $3$ l'uno dall'altro.

Corretto: Per $52\square4$ e il $3$ , prova $12$ , $15$ e $18$ : la casella può contenere $1$ , $4$ o $7$ .

Credere che una prova del nove riuscita dimostri che il risultato è giusto

Perché è sbagliato: La prova del nove trova solo alcuni errori. Scambiare due cifre non cambia la somma delle cifre, quindi $4032$ supera la stessa prova di $4023$ .

Corretto: Se la prova non torna, il risultato è sicuramente sbagliato. Se torna, probabilmente è giusto, ma non è certo.

Visuale interattivo

Tocca a te: è divisibile per 3? E per 9? Prima indovina, poi controlla la somma delle cifre

0 su 0 giuste

372

Per 3: somma tutte le cifre.

Scegli un divisore, rispondi sì o no, poi guarda il criterio.

372 è divisibile per 3?

Per 3: somma tutte le cifre.

Perché funziona la somma delle cifre? Scomponi un numero lungo in 999..., 99..., 9 e la somma delle sue cifre

123456789012

Per 3: somma tutte le cifre.

Tocca un divisore per vedere il suo criterio su questo numero.

123.456.789.012 è divisibile per 3?

Somma tutte le cifre:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 + 1 + 2 = 48

Ha ancora più di una cifra, quindi somma di nuovo:

4 + 8 = 12

Ha ancora più di una cifra, quindi somma di nuovo:

1 + 2 = 3

3 è un multiplo di 3.

123.456.789.012 è divisibile per 3.

Verifica con la divisione: 123.456.789.012 ÷ 3 = 41.152.263.004

123.456.789.012 = 1 × 100.000.000.000 + 2 × 10.000.000.000 + 3 × 1.000.000.000 + 4 × 100.000.000 + 5 × 10.000.000 + 6 × 1.000.000 + 7 × 100.000 + 8 × 10.000 + 9 × 1000 + 1 × 10 + 2

= 1 × 99.999.999.999 + 2 × 9.999.999.999 + 3 × 999.999.999 + 4 × 99.999.999 + 5 × 9.999.999 + 6 × 999.999 + 7 × 99.999 + 8 × 9999 + 9 × 999 + 1 × 9 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 + 2)

10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1. Le parti con 9, 99, 999 sono multipli di 3, resta solo la somma delle cifre: decide lei.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale numero è divisibile per

3

Perché è importante

Il criterio della somma delle cifre è una delle scorciatoie più utili del calcolo:

Dividere in parti uguali: si possono dividere 378 adesivi tra 9 amici? $3 + 7 + 8 = 18$ , quindi sì, senza fare prima la divisione.
Semplificare le frazioni: in $\frac{51}{87}$ entrambe le somme delle cifre ( $6$ e $15$ ) sono divisibili per $3$ , quindi puoi dividere entrambi per $3$ : $\frac{17}{29}$ .
Controllare i calcoli: la somma delle cifre conserva il resto della divisione per $9$ , così puoi controllare una lunga addizione in pochi secondi (si chiama prova del nove).
Giochi con i numeri: gli indovinelli con una cifra mancante e i codici nascondono spesso un numero divisibile per $3$ o per $9$ .

Dopo i criteri per 2, 5 e 10 (che guardano l'ultima cifra), questo è il primo criterio che usa tutte le cifre, e ti prepara ai criteri per 6 e 12.

Applicazioni nel mondo reale

Formare squadre uguali

Allenatori e insegnanti devono spesso dividere un gruppo in squadre uguali. La somma delle cifre dice subito se è possibile.

Esempio:

$135$ corridori possono partire in $9$ gruppi uguali? $1 + 3 + 5 = 9$ , quindi sì: $135 \div 9 = 15$ corridori per gruppo.

1Provaci tu stesso

Alla giornata sportiva di una scuola ci sono $378$ alunni. Gli insegnanti vogliono formare $9$ squadre della stessa grandezza.

Quanti alunni ci saranno in ogni squadra?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dividi gli alunni in 9 squadre:

Controllare un conto

Prima delle calcolatrici, negozianti e contabili controllavano le lunghe addizioni con le somme delle cifre. È ancora un modo veloce per scoprire una svista nei tuoi calcoli.

Esempio:

$1236 + 2458 = 3694$ : i resti sono $3$ e $1$ , che sommati fanno $4$ , e anche $3694$ dà $3 + 6 + 9 + 4 = 22 \rightarrow 4$ . La prova torna.

2Provaci tu stesso

Un cassiere somma due bolle di consegna: $1236 + 2458 = 3694$ . Vuoi controllare il totale con i resti della divisione per $9$ .

Che resto dà il totale $3694$ nella divisione per $9$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova il resto di 3694 diviso 9:

Decifrare un codice

I libri di enigmi e le escape room adorano i codici con una cifra mancante. Un indizio di divisibilità dà spesso la risposta in un passo.

Esempio:

Un codice $7\square2$ è divisibile per $9$ : $7 + 2 = 9$ , quindi nella casella ci deve essere $0$ o $9$ ( $702$ o $792$ ).

3Provaci tu stesso

Il codice di un lucchetto per bici è $4\square71$ . Un biglietto dice: il codice è divisibile per $9$ .

Quale cifra manca?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova la cifra che porta la somma delle cifre al multiplo di 9 successivo:

Punti chiave

1La somma delle cifre è il totale di tutte le cifre di un numero: per $4527$ è $4 + 5 + 2 + 7 = 18$
2Un numero è divisibile per $3$ quando la somma delle sue cifre è divisibile per $3$ , e per $9$ quando la somma delle sue cifre è divisibile per $9$
3Per i numeri grandi, somma le cifre più volte finché resta una sola cifra: $3$ , $6$ , $9$ significano divisibile per $3$ , solo $9$ significa divisibile per $9$
4Ogni multiplo di $9$ è multiplo di $3$ , ma non ogni multiplo di $3$ è multiplo di $9$
5Funziona perché $10 = 9 + 1$ , $100 = 99 + 1$ , $1000 = 999 + 1$ : i nove spariscono e resta solo la somma delle cifre
6Un numero e la somma delle sue cifre danno lo stesso resto nella divisione per $3$ o per $9$ , e così trovi le cifre mancanti e controlli le addizioni (prova del nove)

Domande frequenti

No.

4527

7254

2745

hanno tutti somma delle cifre

18

, quindi tutti e tre sono divisibili per

9

. Spostare le cifre non cambia mai la loro somma.

Glossario

Somma delle cifre: Il totale che ottieni sommando tutte le cifre di un numero, per esempio $372 \rightarrow 3 + 7 + 2 = 12$
Somma delle cifre ripetuta: Sommare le cifre più volte finché resta una sola cifra, per esempio $987.654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3$
Divisibile per: Un numero è divisibile per $3$ se la divisione per $3$ non lascia resto, per esempio $372 \div 3 = 124$
Criterio di divisibilità: Una scorciatoia che dice se un numero è divisibile per un altro senza fare la divisione
Resto: Ciò che avanza dopo una divisione, per esempio $23 \div 9 = 2$ resto $5$
Prova del nove: Controllare un calcolo sostituendo ogni numero con il suo resto nella divisione per $9$ (la sua somma delle cifre ripetuta)

Scheda formule

Criterio per 3

3 \mid n \iff 3 \mid \text{somma delle cifre di } n

Un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 3

Criterio per 9

9 \mid n \iff 9 \mid \text{somma delle cifre di } n

Un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 9

Perché funziona

4527 = 4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 + (4 + 5 + 2 + 7)

Le parti con 999, 99 e 9 sono sempre multipli di 9, quindi decide solo la somma delle cifre

Stesso resto

7654 \rightarrow 22 \rightarrow 4, \quad 7654 = 9 \times 850 + 4

Un numero dà lo stesso resto della somma delle sue cifre nella divisione per 9 (o per 3)

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Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

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Esercizi pratici

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Formare squadre uguali

Controllare un conto

Decifrare un codice

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Criterio per 3

Criterio per 9

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