Divisibile per 12: usa 3 e 4

$7128$ è divisibile per $12$?

Scomponi 12 in fattori primi tra loro: $12 = 3 \times 4$, e 3 e 4 non hanno divisori comuni oltre a 1 = Verifica 3 e 4

Verifica il 3 con la somma delle cifre: $7 + 1 + 2 + 8 = 18$, e $18$ è divisibile per 3 = Divisibile per 3

Verifica il 4 con le ultime due cifre: Le ultime due cifre formano $28$, e $28 : 4 = 7$ = Divisibile per 4

Combina e controlla: Entrambe le verifiche sono superate, quindi 12 lo divide: $7128 : 12 = 594$ = Divisibile per 12

Answer: Sì, $7128$ è divisibile per $12$ ($7128 = 12 \times 594$).

La trappola del 2 e del 6

$18$ è divisibile per $2$ e per $6$. È divisibile per $2 \times 6 = 12$?

Controlla 2 e 6: $18 : 2 = 9$ e $18 : 6 = 3$ = Entrambi dividono 18

Controlla direttamente il 12: $18 = 12 \times 1 + 6$ = Resto 6, non divisibile

Trova il motivo: $2 = 2$ e $6 = 2 \times 3$ hanno il fattore comune 2, quindi il 2 viene contato due volte. Divisibile per 2 e 6 significa solo divisibile per $\text{mcm}(2, 6) = 6$ = 2 e 6 non sono primi tra loro

Answer: No. $18$ supera le verifiche del 2 e del 6 ma non è divisibile per 12. Usa invece la coppia di numeri primi tra loro 3 e 4.

Divisibile per 11: somma alternata

$82.918$ è divisibile per $11$?

Scrivi le cifre partendo dalle unità verso sinistra: $8, 1, 9, 2, 8$ = Inizia dalla cifra delle unità

Somma e sottrai a turno: $8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22$ = Somma alternata: 22

Verifica il risultato: $22 = 2 \times 11$ = Divisibile per 11

Controlla con la divisione: $82.918 : 11 = 7538$ = Nessun resto

Answer: Sì, $82.918$ è divisibile per $11$ perché la sua somma alternata $22$ è un multiplo di 11.

Ricerca veloce dei divisori

Quali numeri da $2$ a $12$ dividono $1980$?

Verifiche sull'ultima cifra: Finisce con 0: divisibile per 2, 5 e 10 = 2, 5, 10

Verifiche sulla somma delle cifre: $1 + 9 + 8 + 0 = 18$: divisibile per 3 e per 9 = 3, 9

Ultime due e tre cifre: $80 : 4 = 20$: divisibile per 4. $980 : 8 = 122{,}5$: non divisibile per 8 = 4 sì, 8 no

Somma alternata per l'11: $0 - 8 + 9 - 1 = 0$ = 11

Combina le coppie di numeri primi tra loro: $6 = 2 \times 3$ e $12 = 3 \times 4$ sono superati. Per il 7 non c'è un criterio semplice: $1980 = 7 \times 282 + 6$ = 6, 12; non il 7

Answer: $1980$ è divisibile per $2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11$ e $12$, ma non per $7$ né per $8$.

Cifra mancante con due criteri

Quali cifre $d$ rendono $38d4$ divisibile per $12$?

Criterio del 4: le ultime due cifre $d4$: $04, 24, 44, 64, 84$ sono multipli di 4 = $d$ = 0, 2, 4, 6 o 8

Criterio del 3: la somma delle cifre: $3 + 8 + d + 4 = 15 + d$ deve essere un multiplo di 3 = $d$ = 0, 3, 6 o 9

Tieni le cifre che superano entrambi: Comuni alle due liste: 0 e 6 = $d = 0$ o $d = 6$

Controlla: $3804 : 12 = 317$ e $3864 : 12 = 322$ = Vanno bene entrambe

Answer: $d = 0$ o $d = 6$: i numeri $3804$ e $3864$ sono entrambi divisibili per $12$.

Mistake: Verificare il 12 con i criteri del 2 e del 6

Why: 2 e 6 hanno il fattore comune 2, quindi superare entrambe le verifiche dimostra solo la divisibilità per 6. Controesempio: $18$ (e anche $30$) è divisibile per 2 e 6, ma non per 12.

Correct: Usa fattori primi tra loro: $12 = 3 \times 4$. Controlla la somma delle cifre per il 3 e le ultime due cifre per il 4.

Mistake: Verificare il 36 con 3 e 12

Why: 3 e 12 hanno il fattore comune 3. $24$ è divisibile per 3 e per 12, ma $24 : 36$ non è un numero intero.

Correct: Usa $36 = 4 \times 9$: ultime due cifre divisibili per 4 e somma delle cifre divisibile per 9.

Mistake: Pensare che basti una sola verifica superata

Why: Un criterio combinato richiede ENTRAMBE le verifiche. $25$ finisce con 5 ma la somma delle sue cifre è 7, quindi non è divisibile per 15.

Correct: Controlla ogni fattore della coppia. Se una verifica fallisce, il numero non è divisibile per il prodotto.

Mistake: Leggere una somma alternata di $0$ o $-11$ come non divisibile per 11

Why: Anche $0$, $-11$ e $-22$ sono multipli di 11. Per $9174$: $4 - 7 + 1 - 9 = -11$, e infatti $9174 = 11 \times 834$.

Correct: Il numero è divisibile per 11 ogni volta che la somma alternata è $0$ o un qualsiasi multiplo di 11, positivo o negativo.

Dividere in parti uguali

Insegnanti, allenatori e organizzatori devono spesso sapere se degli oggetti si possono distribuire senza resto.

Una scuola ha 1350 adesivi per 15 classi. $15 = 3 \times 5$: l'ultima cifra è 0 (divisibile per 5) e $1 + 3 + 5 + 0 = 9$ (divisibile per 3). Quindi gli adesivi si possono dividere in parti uguali.

Orari

Chi organizza i trasporti vuole partenze che si ripetono allo stesso modo ogni giorno. Un giorno ha $24 \times 60 = 1440$ minuti.

Un autobus ogni 12 minuti riempie esattamente un giorno: $1 + 4 + 4 + 0 = 9$ (divisibile per 3) e $40 : 4 = 10$, quindi 1440 è divisibile per 12, e si ottengono 120 partenze.

Il controllo delle 12 cifre

Molte calcolatrici mostrano solo da 8 a 10 cifre, quindi non possono dividere esattamente un numero di 12 cifre. I criteri di divisibilità funzionano con numeri di qualsiasi lunghezza.

Per $123.456.789.012$ la somma delle cifre è $48$ (divisibile per 3) e le ultime due cifre formano $12$ (divisibile per 4), quindi il numero è divisibile per 12.

Q: Perché i due fattori devono essere primi tra loro?

A: Un numero divisibile per $a$ e per $b$ è un multiplo comune di $a$ e $b$, quindi è divisibile per $\text{mcm}(a, b)$. Quando $a$ e $b$ sono primi tra loro, $\text{mcm}(a, b) = a \times b$. Quando hanno un fattore comune, il mcm è più piccolo: $\text{mcm}(2, 6) = 6$, non 12.

Q: Perché la somma alternata funziona per l'11?

A: $10 = 11 - 1$, quindi 10 dà resto $-1$ nella divisione per 11, $100 = 99 + 1$ dà $+1$, $1000 = 1001 - 1$ dà $-1$, e così via. Ogni cifra conta quindi con il segno $+, -, +, -, \dots$ a partire dalle unità, e il numero ha lo stesso resto della sua somma alternata.

Q: Conta se inizio la somma alternata da sinistra o da destra?

A: Per la risposta sì o no non conta: i due risultati sono uguali oppure opposti, e $-22$ è multiplo di 11 esattamente quando lo è $22$. Partire dalla cifra delle unità con $+$ conserva in più il resto del numero (aggiungi o togli 11 finché arrivi tra 0 e 10), quindi è l'abitudine più sicura.

Q: Posso verificare il 24 con 4 e 6?

A: No, 4 e 6 hanno il fattore comune 2. $12$ è divisibile per 4 e 6 ma non per 24. Usa la coppia di numeri primi tra loro $24 = 3 \times 8$: somma delle cifre divisibile per 3 e ultime tre cifre divisibili per 8.