Perché i due fattori devono essere primi tra loro?

Un numero divisibile per $a$ e per $b$ è un multiplo comune di $a$ e $b$, quindi è divisibile per $\text{mcm}(a, b)$. Quando $a$ e $b$ sono primi tra loro, $\text{mcm}(a, b) = a \times b$. Quando hanno un fattore comune, il mcm è più piccolo: $\text{mcm}(2, 6) = 6$, non 12.

Perché la somma alternata funziona per l'11?

$10 = 11 - 1$, quindi 10 dà resto $-1$ nella divisione per 11, $100 = 99 + 1$ dà $+1$, $1000 = 1001 - 1$ dà $-1$, e così via. Ogni cifra conta quindi con il segno $+, -, +, -, \dots$ a partire dalle unità, e il numero ha lo stesso resto della sua somma alternata.

Conta se inizio la somma alternata da sinistra o da destra?

Per la risposta sì o no non conta: i due risultati sono uguali oppure opposti, e $-22$ è multiplo di 11 esattamente quando lo è $22$. Partire dalla cifra delle unità con $+$ conserva in più il resto del numero (aggiungi o togli 11 finché arrivi tra 0 e 10), quindi è l'abitudine più sicura.

Posso verificare il 24 con 4 e 6?

No, 4 e 6 hanno il fattore comune 2. $12$ è divisibile per 4 e 6 ma non per 24. Usa la coppia di numeri primi tra loro $24 = 3 \times 8$: somma delle cifre divisibile per 3 e ultime tre cifre divisibili per 8.

Risorse per insegnanti

Criteri di divisibilità combinati

Combina criteri semplici per verificare 12, 15, 18 e 36, impara la somma alternata per l'11 e trova tutti i divisori da 2 a 12 in pochi secondi.

Intermedio25 minLezione

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Scheda da stampare

Definizione

Alcuni divisori non hanno un criterio proprio, ma puoi combinare due criteri semplici.

Criterio combinato: se

a

b

sono primi tra loro (coprimi: il loro unico divisore comune è

1

), allora un numero divisibile per

a

e per

b

è divisibile per

a \times b

Divisore	Verifica	Perché funziona
$12 = 3 \times 4$	somma delle cifre divisibile per 3 e ultime due cifre divisibili per 4	3 e 4 sono primi tra loro
$15 = 3 \times 5$	somma delle cifre divisibile per 3 e ultima cifra 0 o 5	3 e 5 sono primi tra loro
$18 = 2 \times 9$	ultima cifra pari e somma delle cifre divisibile per 9	2 e 9 sono primi tra loro
$36 = 4 \times 9$	ultime due cifre divisibili per 4 e somma delle cifre divisibile per 9	4 e 9 sono primi tra loro

Attenzione:

12 = 2 \times 6

NON è una verifica valida, perché 2 e 6 hanno il fattore comune 2. Il numero

18

è divisibile per 2 e per 6, ma

18 : 12 = 1{,}5

. In generale, superare le verifiche di

a

e di

b

dimostra la divisibilità per

\text{mcm}(a, b)

, che è uguale ad

a \times b

solo se

a

b

sono primi tra loro.

Divisibilità per 11 (somma alternata): parti dalla cifra delle unità e somma e sottrai le cifre a turno:

+ - + - \dots

Se il risultato è divisibile per 11 (compresi

0

11

-11

22

), il numero è divisibile per 11.

82.918: \quad 8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22 \Rightarrow 82.918 \text{ è divisibile per } 11

Prova subito

Quale coppia di verifiche dimostra insieme che un numero è divisibile per

12

Esempi svolti

7128

è divisibile per

12

Scomponi 12 in fattori primi tra loro

12 = 3 \times 4

, e 3 e 4 non hanno divisori comuni oltre a 1 → Verifica 3 e 4

Verifica il 3 con la somma delle cifre

7 + 1 + 2 + 8 = 18

, e

18

è divisibile per 3

Verifica il 4 con le ultime due cifre

Le ultime due cifre formano

28

, e

28 : 4 = 7

→ Divisibile per 4

Combina e controlla

Entrambe le verifiche sono superate, quindi 12 lo divide:

7128 : 12 = 594

→ Divisibile per 12

Risposta: Sì, $7128$ è divisibile per $12$ ( $7128 = 12 \times 594$ ).

Errori comuni

Verificare il 12 con i criteri del 2 e del 6

Perché è sbagliato: 2 e 6 hanno il fattore comune 2, quindi superare entrambe le verifiche dimostra solo la divisibilità per 6. Controesempio: $18$ (e anche $30$ ) è divisibile per 2 e 6, ma non per 12.

Corretto: Usa fattori primi tra loro: $12 = 3 \times 4$ . Controlla la somma delle cifre per il 3 e le ultime due cifre per il 4.

Verificare il 36 con 3 e 12

Perché è sbagliato: 3 e 12 hanno il fattore comune 3. $24$ è divisibile per 3 e per 12, ma $24 : 36$ non è un numero intero.

Corretto: Usa $36 = 4 \times 9$ : ultime due cifre divisibili per 4 e somma delle cifre divisibile per 9.

Pensare che basti una sola verifica superata

Perché è sbagliato: Un criterio combinato richiede ENTRAMBE le verifiche. $25$ finisce con 5 ma la somma delle sue cifre è 7, quindi non è divisibile per 15.

Corretto: Controlla ogni fattore della coppia. Se una verifica fallisce, il numero non è divisibile per il prodotto.

Leggere una somma alternata di $0$ o $-11$ come non divisibile per 11

Perché è sbagliato: Anche $0$ , $-11$ e $-22$ sono multipli di 11. Per $9174$ : $4 - 7 + 1 - 9 = -11$ , e infatti $9174 = 11 \times 834$ .

Corretto: Il numero è divisibile per 11 ogni volta che la somma alternata è $0$ o un qualsiasi multiplo di 11, positivo o negativo.

Visuale interattivo

Prima indovina: quali numeri da 2 a 12 dividono il numero? Poi controlla ogni criterio

0 su 0 giuste

3960

Per 2: guarda l'ultima cifra.

Scegli un divisore, rispondi sì o no, poi guarda il criterio.

3960 è divisibile per 2?

Per 2: guarda l'ultima cifra.

Un numero di 12 cifre: i criteri funzionano dove la calcolatrice non ha abbastanza cifre

123456789012

Per 2: guarda l'ultima cifra.

Tocca un divisore per vedere il suo criterio su questo numero.

123.456.789.012 è divisibile per 2?

L'ultima cifra è 2. È pari (0, 2, 4, 6 o 8).

123.456.789.012 è divisibile per 2.

Verifica con la divisione: 123.456.789.012 ÷ 2 = 61.728.394.506

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale coppia di verifiche dimostra insieme che un numero è divisibile per

12

Perché è importante

I criteri combinati trasformano una domanda grande in due controlli veloci:

Dividere in parti uguali: si possono dare 1350 adesivi a 15 classi senza resto? Due controlli dicono di sì.
Orari: un giorno ha 1440 minuti, quindi un tram ogni 36 minuti riempie il giorno esattamente se 1440 è divisibile per 36.
Frazioni: accorgersi che 12 o 18 divide numeratore e denominatore semplifica una frazione in un solo passaggio.
Numeri enormi: un numero di 12 cifre si verifica per 11 o 12 in pochi secondi, anche quando la calcolatrice mostra troppo poche cifre.

L'idea dietro ogni criterio combinato, i fattori primi tra loro, è anche la chiave del minimo comune multiplo e di tanti indovinelli con cifre mancanti.

Applicazioni nel mondo reale

Dividere in parti uguali

Insegnanti, allenatori e organizzatori devono spesso sapere se degli oggetti si possono distribuire senza resto.

Esempio:

Una scuola ha 1350 adesivi per 15 classi. $15 = 3 \times 5$ : l'ultima cifra è 0 (divisibile per 5) e $1 + 3 + 5 + 0 = 9$ (divisibile per 3). Quindi gli adesivi si possono dividere in parti uguali.

1Provaci tu stesso

Una scuola vuole dare 1350 adesivi a 15 classi, lo stesso numero a ogni classe.

Quanti adesivi riceve ogni classe?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi la divisione che dà gli adesivi per classe:

Orari

Chi organizza i trasporti vuole partenze che si ripetono allo stesso modo ogni giorno. Un giorno ha $24 \times 60 = 1440$ minuti.

Esempio:

Un autobus ogni 12 minuti riempie esattamente un giorno: $1 + 4 + 4 + 0 = 9$ (divisibile per 3) e $40 : 4 = 10$ , quindi 1440 è divisibile per 12, e si ottengono 120 partenze.

2Provaci tu stesso

Un tram parte ogni 36 minuti, giorno e notte, a partire da mezzanotte.

Quanti tram partono in un giorno di 1440 minuti?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi la divisione che dà il numero di partenze:

Il controllo delle 12 cifre

Molte calcolatrici mostrano solo da 8 a 10 cifre, quindi non possono dividere esattamente un numero di 12 cifre. I criteri di divisibilità funzionano con numeri di qualsiasi lunghezza.

Esempio:

Per $123.456.789.012$ la somma delle cifre è $48$ (divisibile per 3) e le ultime due cifre formano $12$ (divisibile per 4), quindi il numero è divisibile per 12.

3Provaci tu stesso

Un codice di 12 cifre è $123.456.789.012$ . Vuoi sapere se è divisibile per 12 e per 11, senza calcolatrice.

Qual è il resto della divisione di $123.456.789.012$ per 12?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il resto:

Punti chiave

1Se $a$ e $b$ sono primi tra loro, un numero divisibile per $a$ e per $b$ è divisibile per $a \times b$
2Verifica il 12 con 3 e 4, il 15 con 3 e 5, il 18 con 2 e 9, il 36 con 4 e 9
3Non verificare mai un prodotto con due fattori che hanno un fattore comune: 18 è divisibile per 2 e 6 ma non per 12
4Divisibile per 11: la somma alternata delle cifre ( $+ - + - \dots$ dalle unità) è un multiplo di 11, compresi $0$ e i multipli negativi
5Per una ricerca veloce dei divisori usa le verifiche sull'ultima cifra, la somma delle cifre e la somma alternata, poi combina le coppie di numeri primi tra loro
6Per una cifra mancante con due criteri, elenca le cifre che superano ciascun criterio e tieni quelle presenti in entrambe le liste

Domande frequenti

Un numero divisibile per

a

e per

b

è un multiplo comune di

a

b

, quindi è divisibile per

\text{mcm}(a, b)

. Quando

a

b

sono primi tra loro,

\text{mcm}(a, b) = a \times b

. Quando hanno un fattore comune, il mcm è più piccolo:

\text{mcm}(2, 6) = 6

, non 12.

Glossario

Primi tra loro (coprimi): Due numeri sono primi tra loro se il loro unico divisore comune è 1. Esempio: 4 e 9 sono primi tra loro, 2 e 6 no.
Criterio di divisibilità combinato: Una verifica per un prodotto $a \times b$ di numeri primi tra loro: il numero deve superare la verifica di $a$ e quella di $b$ .
Somma alternata: Le cifre sommate e sottratte a turno a partire dalle unità: per 2816 è $6 - 1 + 8 - 2 = 11$ .
Somma delle cifre: La somma di tutte le cifre di un numero. La somma delle cifre di 1980 è $1 + 9 + 8 + 0 = 18$ .
Resto: Ciò che avanza dopo la divisione. $18 : 12 = 1$ con resto $6$ .
Minimo comune multiplo (mcm): Il più piccolo numero che è multiplo di entrambi i numeri. $\text{mcm}(3, 4) = 12$ , $\text{mcm}(2, 6) = 6$ .

Scheda formule

Criterio combinato

a, b

primi tra loro:

a \mid n

b \mid n \Rightarrow a \times b \mid n

Funziona solo se i due fattori non hanno divisori comuni oltre a 1

Divisibile per 12

12 = 3 \times 4

Somma delle cifre divisibile per 3 e ultime due cifre divisibili per 4

Divisibile per 15

15 = 3 \times 5

Somma delle cifre divisibile per 3 e ultima cifra 0 o 5

Divisibile per 18

18 = 2 \times 9

Ultima cifra pari e somma delle cifre divisibile per 9

Divisibile per 36

36 = 4 \times 9

Ultime due cifre divisibili per 4 e somma delle cifre divisibile per 9

Divisibile per 11

d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \dots

La somma alternata dalle unità è un multiplo di 11 (compreso 0)

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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Divisibile per 15

Divisibile per 18

Divisibile per 36

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